Bonjour,
Le but est de prouver que la suite
est divergente dans pour tout .
Pour p=3: On a que la suite s'écrit .
Comme on a que et donc . Ainsi . Ainsi la suite est divergente dans et de même pour p=5.
Pour p différent de 3 et 5 on a que et donc . Ainsi mais comment je peux démontrer que la suite ne converge pas dans ces cas?
Merci
Pour p différent de 3 et 5. Si (u_n) (qui est une suite d'entiers p-adique) convergeait, elle convergerait vers une certaine unité u. En particulier mod p tu aurais u_n constant à partir d'un certain rang mais 15^{-n} n'est pas constant mod p car (15,p)=1 et donc 15 génère (Z/p)^*
Ok Merci
Et le fait qu'en particulier u_n est constant à partir d'un certain rang ce démontre comment?
C'est parce que Q_p est complet et que toute suite convergente est une suite de Cauchy?
Je n'ai pas dit que (u_n) etait constant à partir d'un certain rang mais que (u_n mod p) l'etait.
Cela provient directement de la définition en fait, v_p(u_n-u)>0 impose u_n=u mod p. Ou aussi par exemple parce que la projection Z_p -> Z_p/(p) est continue où Z_p/(p) est muni de la topologie disrete (l'image réciproque d'un singleton est un ouvert compact de la forme a+pZ_p)
Au passage tu peux aussi remarquer que (15^{-n})_n n'est pas de cauchy en effet. Ce qui règle également le problème d'une façon encore différente.
C'était peut etre le sens de ta remarque
Soient p un entier premier et u : Qp , la suite n 15-n .
Si u convergeait la suite w : n u(n-1) - u(n) = 2.7.3-n.5-n convergerait vers 0 càd que n vp(2.7.3-n.5-n) convergerait vers + .
Il est facile de voir que ce n'est jamais le cas .
Pour prolonger : Si a et a > 1 , la suite ua : n a-n converge-t-elle dans un Qp ?
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