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Niveau autre
Convergence (probabilités)
Posté par robby3
Bonjour tout le monde!
Me revoilà avec pleins de nouveau exercices...de probas!
La bete:
Citation :
Soit)
une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi exponentielle ,\lambda>0.)
Pour tout
,on pose:
a)Montrer que}))
converge presque surement vers 
b)Montrer que}{\lambda})
converge en loi vers 
ou suit une loi de Gumbel de paramètre 
Alors j'ai voulus montrer pour a) que à
fixé la série: }-\frac{1}{\lambda}|>\epsilon)<\infty.)
alors j'ai écrit que![6$ P\(|M_n.\lambda-ln(n)|\ge \lambda.ln(n).\epsilon\)\le \frac{1}{(\lambda.ln(n).\epsilon)^2}.E[(M_n.\lambda-ln(n))^2]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?6$ P\(|M_n.\lambda-ln(n)|\ge \lambda.ln(n).\epsilon\)\le \frac{1}{(\lambda.ln(n).\epsilon)^2}.E[(M_n.\lambda-ln(n))^2])
par Markov mais aprés bah je suis bloqué...je sais pas si c'est une bonne idée...
Soit
Pour tout
a)Montrer que
b)Montrer que
Alors j'ai voulus montrer pour a) que à
alors j'ai écrit que
par Markov mais aprés bah je suis bloqué...je sais pas si c'est une bonne idée...
Merci d'avance de votre aide!
Salut robby
C'est une bonne idée de chercher à utiliser Borel-Cantelli, par contre Markov je ne sais pas.
j'essaierais plutôt de me débarrasser des valeurs absolues pour faire apparaître du P(Mn > quelque chose) puis me servirais du fait que Mn est un sup et qu'on a donc P(Mn < quelque chose)=P(chacun des Xk < ce quelque chose) = P(X1<...).P(X2<...)...P(Xn<...) par indépendance.
Il faut bien faire intervenir quelque part le fait que Mn est un sup!
Enfin sers-toi de la définition de la loi exponentielle.
Sans garantie bien sûr!
Salut Tigweg!
c'est ce que j'avais fais au début...ça m'a fait peur
voilà ce que j'avais fait:
P
on va dire que c'est positif donc j'enlève la valeur absolue:
Aprés je fais
puis DL du ln ??
Citation :
On va dire que c'est positif donc j'enlève la valeur absolue
On va dire que c'est positif donc j'enlève la valeur absolue
->Sacré farceur, qui te dit que c'est positif?
On n'en sait rien!
Tu peux utiliser l'équivalence |x-a| a-b< x
Ensuite après cette même phrase il y a une erreur d'isolement de Sup Xk, on récupère plutôt epsilon.ln(n)+ln(n)/lambda.
Enfin ça n'a pas de sens une intersection de v.a.!
Ca ferait 1-P(pour tout k, Xk>...)
Ou encore l'intersection doit porter sur chacun des événements (Xk<...).
Corrigeons déjà tout ceci pour y voir plus clair!
J'avoue que le côté gauche de l'inégalité me pose problème a priori.
Le mieux est sans doute de commencer par déterminer la loi suivie par le sup des Xk, on tombera avec un peu de chance sur une certaine densité f puis il suffira d'intégrer f entre le côté gauche et le côté droit de l'inégalité.
Malheureusement je ne connais plus très bien mes théorèmes...
Donc calculons P(sup Xk
Citation :
commencer par déterminer la loi suivie par le sup des Xk
commencer par déterminer la loi suivie par le sup des Xk
>c'est pas une loi exponentielle?
le sup va etre atteint en un certains
or chaque
je dis peut-etre une betise encore?
Ton argument n'est pas bon, sup(Xk) n'est pas l'un des Xk en général!
De même, la fonction max(x²,x) n'est ni l'une ni l'autre, c'est en chaque x qu'on regarde.
Donc on écrit P(sup Xk
Euh...X1 varie de 0 à x, il n'y a pas de -infini me semble-t-il dans la loi exponentielle (ça ne converge pas en -infini!)
Je trouve du coup.
Citation :
Qu'en déduis-tu pour la densité de la loi de max(Xk)?
Qu'en déduis-tu pour la densité de la loi de max(Xk)?
>??
on a
mais pourquoi on a fait ça au juste?
ah oui c'est pour calculer la densité se sup(Xk),on s'en sert ensuite pour faire le calcul de mon post de 17:16.
Donc en fait on a
c'est ça?
Citation :
Le mieux est sans doute de commencer par déterminer la loi suivie par le sup des Xk, on tombera avec un peu de chance sur une certaine densité f puis il suffira d'intégrer f entre le côté gauche et le côté droit de l'inégalité.
Le mieux est sans doute de commencer par déterminer la loi suivie par le sup des Xk, on tombera avec un peu de chance sur une certaine densité f puis il suffira d'intégrer f entre le côté gauche et le côté droit de l'inégalité.
->Pour ça!
On vient de calculer la fonction de répartition de sup(Xk).
Comment en déduire qu'elle admet une densité par rapport à la mesure de Lebesgue et comment la calculer?
Comment ça pas encore?
j'avoue je comprend pas trop Tigweg...
pourquoi mon post de 19:51 n'est pas correct?
moi j'ai pour la densité:
est la densité.
et avec la fonction de répartition,on a que
(ici 0 car loi exponentielle)
donc nous on a ,on veut
,je dérive par rapport à
le truc qu'on a ??
??
parce que d'habitude j'aime bien la proba...là ça commence à mal partir
donc mon espèce de chose de 20:28 c'est la densité.
je reprend donc 19:51 en remplaçant par la bonne chose dans l'integrale?
Aucun problème!
Une primitive de ce machin étant la fonction de répartition F, il suffit de prendre F(du haut)-F(du bas)
D'ailleurs c'était évident, même sans calcul de densité...
J'ai plus l'habitude!
ahh mince!!!
j'avais zappé que les puissances n portaient sur le tout!
ok ok d'accord.
et tu trouve ça cool Tigweg?
on passe à l'expo puis on fait un DL?
C'est ce que je viens de faire, mais ça m'a l'air de diverger grossièrement ce satané truc!
Je revérifie.
Non, c'est pas cool finalement!!
Décidément ça ne veut pas converger ce machin, j'ai refait les calculs!
Ce qui voudrait dire que Borel-Cantelli est un critère trop grossier dans cette situation! 
La vache!
Bonne soirée quand même, robby!
Tigweg
Salut robby, je l'ai!
Je poste la solution, en fait il n'y a aucune astuce et surtout pas de Borel-Cantelli, il suffit d'écrire les choses conformément à leur définition.
C'est marrant j'ai trouvé ça en 5 minutes sur un papier alors que la dernière fois j'étais bloqué sur ce problème de convergence de série...comme quoi Borel-Cantelli est un critère trop grossier ici
Bon je poste ce que j'ai trouvé!
Tigweg
Attends mais non je dis une bêtise, je me rends compte que j'ai simplement prouvé la convergence en probabilités!
Je regarde à nouveau.
Désolé! Finalement je regarde à nouveau la série!
Mais en fait on avait confondu, le bon terme général c'est 1 moins ce qu'on avait regardé puisqu'on avait changé les > en < !
Ca pourrait expliquer qu'on s'était heurté à un mur!
Bon, il faut prouver la convergence de la série de terme général
Faut faire très attention à ce machin!
T'es prêt?
Tu peux vérifier après quelques transformations avec exp et ln que ce que j'ai écrit aujourd'hui c'est bien 1 moins ce que j'ai écrit à 22h.
Bon là je l'ai refait sérieusement, apparemment ça diverge quand même cette vacherie! 
Je refais encore mes calculs, pour l'instant essaie de te convaincre que j'ai bien écrit aujourd'hui 1 moins ce que j'ai écrit à 22h.
Alors je trouve bien après vérifications(je ne détaille pas les calculs):
qui, d'après le critère de Riemann, est la somme du terme général d'une série divergente (car il est positif et équivaut à , or pour epsilon assez petit,
)
et du terme général d'une série convergente (l'exposant de 1/n est strictement plus grand que 1), ainsi ce premier terme est celui d'une série divergente.
Pour le deuxième terme, je trouve de même
Il est facile de voir que pour n assez grand, l'exposant du crochet est négatif.Le crochet est donc plus petit que 1.
Ainsi le deuxième terme est majoré par
qui est le terme général d'une série géométrique convergente; à ce titre, le deuxième terme est aussi celui d'une série convergente.
En résumé, notre terme général initial est celui d'une série divergente+celui d'une série divergente=celui d'une série divergente.
C'est déprimant. 
Tigweg,d'habitudes,je trouve la proba facile,du moins aprés quelques manipulations assez élémentaire,ça roule,là je crois qu'on est parti en vrille...
Faut changer de piste.
Essayons avec la définition,
converge presque surement vers
si
si tuvois comment s'en sortir....