Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

convergence simple

Posté par
mousse42
14-02-21 à 09:46

Bonjour,

Je dois montrer que \varphi_n(t):=e^{\lambda_n(e^{it}-1)} converge simplement vers  \varphi(t)=e^{\lambda(e^{it}-1)} sachant que \lambda_n\to \lambda.

J'ai un doute sur ma démo, enfin il me semble que c'est un peu maladroit, la voici :

\begin{array}{ll}\Large \left |e^{\lambda_n(e^{it}-1)}-e^{\lambda(e^{it}-1)}\right|&=\Large \left |e^{\lambda_n z}-e^{\lambda z}\right|=e^{\frac{\lambda_n+\lambda}{2}}\left|e^{\frac{\lambda_n-\lambda}{2}z}-e^{-\frac{\lambda_n-\lambda}{2}z}\right|=e^{\frac{\lambda_n+\lambda}{2}}2\left|\sinh(\frac{\lambda_n-\lambda}{2}z)\right| \\\\ &\le 2e^{\frac{\lambda_n+\lambda}{2}}\sinh\left(\left|\frac{\lambda_n-\lambda}{2}\right|\,|z|\right)\le 2e^{\frac{\lambda_n+\lambda}{2}}|\lambda_n-\lambda|\,|z|<\varepsilon\end{array}

avec  \large z:=e^{it}-1

___La première inégalité________________________________________________________________________________

Je la déduis à partir de la série entière  \sinh c'est à dire que :

\forall N\in \N,\forall z\in \C,\;\left| \sum_{k=0}^N\dfrac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}\right|\le  \sum_{k=0}^N\dfrac{|z|^{2k+1}}{(2k+1)!} donc \forall N\in \N,\forall z\in \C,\;\left| \sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}\right|\le  \sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{|z|^{2k+1}}{(2k+1)!}

i.e |\sinh z|\le \sinh|z|
___La seconde inégalité________________________________________________________________________________
Il existe un voisinage de 0 dans \R_+\sinh x\le 2x, une étude de la fonction (h: x\mapsto \sinh x-2x, donne pour dérivée \cosh x-2 et sachant que \cosh(0)=1 on a h décroissante sur un voisinage de 0 avec en plus h(0)=0, et donc h(x)\le 0

ça me paraît un peu compliqué, et j'ai l'impression qu'il y a plus simple...quelque chose qui permettrait de conclure immédiatement...

Posté par
GBZM
re : convergence simple 14-02-21 à 10:04

Bonjour,

Tu fixes t. Que peux tu dire de la fonction z\mapsto \exp(z(e^{it}-1)) ?

Posté par
mousse42
re : convergence simple 14-02-21 à 10:44

Bonjour,
J'ai fixé t dans ma démo, mais je vois où tu veux en venir, tu fais appel à la continuité, n'est pas?

Posté par
Ulmiere
re : convergence simple 14-02-21 à 12:12

Sinon (sans utiliser la continuité de l'exponentielle complexe), tu peux dire que

|e^{\lambda_n z} - e^{\lambda z}| = |e^{\lambda z}||e^{(\lambda_n-\lambda)z} - 1|.

Ca te ramène à montrer que |e^{u_n}-1| tend vers  0 quand u_n tend vers 0.

Et ça c'est facile parce que |u_n|\to 0 donc elle est bornée et la continuité de l'exponentielle réelle implique que \exists C<\infty tq e^{|u_n|}\leqslant C.

On aura donc

|e^{u_n}-1| = \left\lvert \sum_{k=1}^\infty \dfrac{u_n^k}{k!}\right\rvert \leqslant \sum_{k=1}^\infty \dfrac{|u_n|^k}{k!} = |u_n|\sum_{k=0}^\infty \dfrac{|u_n|^k}{(k+1)!} \leqslant |u_n|e^{|u_n|}\leqslant C|u_n|

(on a utilisé le fait que (k+1)!\geqslant k! pour tout k) tend vers 0.

Au passage, ça montre aussi que si (u_n) converge uniformément vers 0, alors e^{u_n}-1 aussi

Posté par
Ulmiere
re : convergence simple 14-02-21 à 12:19

Tu peux même te passer totalement du passage au sujet de la bornitude de u, de l'existence de C et de la continuité de l'exponentielle réelle.

Pour cela, prends e-1>\varepsilon>0 et applique la définition de la convergence de u vers 0 pour trouver un rang N et des n>=N assez grands pour que |u_n|<\varepsilon/(e-1)<1.
De sorte que |u_n|^k\leqslant (\varepsilon/(e-1))^k \leqslant \varepsilon/(e-1) et donc ton majorant sera |e^{u_n}-1| \leqslant \varepsilon /(e-1) \times (e-1)=\varepsilon.

Posté par
mousse42
re : convergence simple 14-02-21 à 12:23

Salut Ulmiere, j'aime bien ta demo, je prends !!

Posté par
mousse42
re : convergence simple 14-02-21 à 13:31

Au final ça donne ça


|e^{\lambda_n z} - e^{\lambda z}| = |e^{\lambda z}||e^{(\lambda_n-\lambda)z} - 1|= |e^{\lambda z}|\left|\sum_{k\ge 1}\dfrac{(\lambda_n-\lambda)^kz^k}{k!}\right|\le|e^{\lambda z}|\sum_{k\ge 1}\dfrac{|\lambda_n-\lambda|^k|z|^k}{k!}=|e^{\lambda z}|( e^{|\lambda-\lambda_n|\,|z|}-1)<\varepsilon

Avec ça il suffit que |\lambda_n-\lambda|<\dfrac{ \ln\left(\dfrac{\varepsilon}{|e^{\lambda z}|} +1\right) } {|z|}


ok, merci à tous

Posté par
GBZM
re : convergence simple 14-02-21 à 14:06

Franchement, n'as tu pas déjà vu que \exp est continue ?

Posté par
mousse42
re : convergence simple 14-02-21 à 14:19

Oui, mais on est dans C. Et je n ai pas fait d analyse complexe.
D ailleur il me semble que la demo de la continuité ressemble à ce qu on a fait.

Je reviens dessus plus tard, je suis au travail

Posté par
GBZM
re : convergence simple 14-02-21 à 15:42

mousse42 @ 14-02-2021 à 14:19


D ailleur il me semble que la demo de la continuité ressemble à ce qu on a fait.

Oui, en plus simple.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !