Niveau Licence Maths 1e ann

Convergence simple et uniforme : quelle différence ?

Posté par
Ennydra 10-05-16 à 17:15

Bonjour.

Mon titre est exagéré, enfin pas tant que ça, du moins sur cet exemple :

ETUDE DE LA CONVERGENCE SIMPLE

On considère la série de fonctions $\sum \dfrac{(-1)^n}{x+n}$ , $x \in \R_+$ .

Soit x 0 fixé, $\dfrac{1}{x+n}$ 0.
De plus, $(\dfrac{1}{x+n})$ décroit vers 0, donc la série converge pour tout x.

$|R_n(x)| \leq \dfrac{1}{x+n+1}$ tend vers 0 en l'infini.
Donc $\sum \dfrac{(-1)^n}{x+n}$ est donc convergente simple.

ETUDE DE LA CONVERGENCE UNIFORME

On a $|R_n(x)| \leq \dfrac{1}{x+n+1}$ , donc $M_n = \sup_{x\in\R_+} \{|R_n(x)|\} \leq \dfrac{1}{x+n+1}$ .
Donc $\lim_{x \rightarrow +\infty} M_n = 0$ .
Donc $\sum \dfrac{(-1)^n}{n+x}$ converge uniformément sur $\R$ .

Je n'arrive pas à saisir la différence, dans ce cas, entre l'étude de la convergence simple et l'étude de la convergence uniforme. Dans les deux cas, on majore la valeur absolue de Rn, on trouve un majorant qui tend vers 0 et on conclut.
Pourtant, j'avais cru comprendre que pour la convergence simple, on aurait pu s'arrêter à (en l'occurrence) "le terme général en valeur absolue converge, donc la série de fonctions converge simplement".

Merci d'avance à ceux ou celles qui voudront bien m'éclaircir...
Bonne journée.

Posté par re : Convergence simple et uniforme : quelle différence ? 10-05-16 à 17:18

Ennydra @ 10-05-2016 à 17:15

$M_n = \sup_{x\in\R_+} \{|R_n(x)|\} \leq \dfrac{1}{x+n+1}$

Ici, tu t'es trompée en recopiant. Le majorant ne doit pas dépendre de $x$ . C'est le sens de l'uniformité.

Posté par re : Convergence simple et uniforme : quelle différence ? 10-05-16 à 17:31

bonjour : )

Une discussion pour saisir le sens et la différence entre les deux types de convergences : Différence convergence uniforme et simple.

Posté par re : Convergence simple et uniforme : quelle différence ? 10-05-16 à 17:47

Bonjour
graphiquement, la convergence simple, ça ne donne pas grand chose : pour un x donné, les $f_n(x)$ se rapprochent de f(x), mais les courbes des $f_n$ ne se mettent pas à ressembler globalement à celle de f : il reste une sorte de bec, par exemple, en début d'intervalle.
Alors que pour une convergence uniforme, la courbe de $f_n$ dans son ensemble se rapproche de plus en plus de celle de f quand n augmente

Posté par re : Convergence simple et uniforme : quelle différence ? 10-05-16 à 17:54

Effectivement Recomic, petite bourde, le majorant est $\dfrac{1}{n+x}$ , plus grand que $\dfrac{1}{x+n+1}$ pour x positif.

Merci mdr_non, les définitions sont très claires sur ce topic ! J'ai bien compris que la convergence uniforme introduisait le reste qui doit converger vers 0, mais dans cet exemple-là, pourquoi avoir considéré le reste pour étudier la convergence simple ? J'ai un peu de mal à exprimer ce que je veux dire... Je vais tenter d'être un peu plus claire :

Tu dis que "Pour la convergence simple on sait qu'il y a convergence vers une certaine $\tilde{u}$ sans plus. "
Or ici, pourquoi ne se sont-ils pas arrêtés à "De plus, $(\dfrac {1}{x + n})$ décroit vers 0, donc la série converge pour tout x." ?
Dans ma tête, ça suffisait pour prouver la convergence simple...

Je ne sais pas si vous arrivez à comprendre ce que je ne comprends pas :/

Posté par re : Convergence simple et uniforme : quelle différence ? 10-05-16 à 17:58

Nan, tu t'es encore trompée. Tu ne m'as pas bien lu : j'ai pourtant écrit que $x$ ne doit pas figurer dans le majorant, et que c'est justement ça qui fait l'uniformité (= même majorant tendant vers 0 quand $n$ tend vers l'infini, indépendant de $x$ )

Posté par re : Convergence simple et uniforme : quelle différence ? 10-05-16 à 18:25

Ah oui en effet, je suis irrécupérable, je pensais à 1/(1+n) et j'écris 1/(x+n)...

Posté par re : Convergence simple et uniforme : quelle différence ? 10-05-16 à 18:27

Ah d'accord j'ai compris, mais je ne trouve pas que ce soit intuitif. Mais merci à tous !

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