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convergence uniforme

Posté par
Alexique 19-05-16 à 19:37

Bonjour,

j'aimerais montrer que \left(\left(1+\frac{z}{n}\right)^n\right)_n converge uniformément sur tout compact de \mathbb{C} sans avoir aucune connaissance sur la limite ie sur la fonction exponentielle (justement pour pouvoir ensuite parler de la régularité de la limite). Sur R, on y arrive bien (cf ).

J'essaie donc d'appliquer le critère de Cauchy uniforme et j'arrive à une expression de la forme \sum_{k=0}^n R^k(u_{n+p,k}-u_{n,k}) où u_{n,k}=  \dfrac{\binom{n}{k}}{n^k} } et je n'ai pas de majoration assez fine pour montrer que ceci tend vers 0 quand n tend vers l'infini (p entier fixé, R>0). J'ai bien une majoration de u_{n+p,k}-u_{n,k} par \dfrac{2}{k!} car u_{n,k}  \leq \frac{1}{k!} mais il me manquerait un facteur \frac1n..

Est-ce que quelqu'un connait les détails techniques ou aurait une référence ?

Merci bien...

Posté par
luzakre : convergence uniforme 19-05-16 à 22:22

Bonsoir !
C'est peut-être un peu "tricher" mais j'essaierais de comparer f_n(z)=\Bigl(1+\frac{z}n\Bigr)^n et g_n(z)=\sum_{k=0}^n\dfrac{z^k}{k!} car
g_n(z)-f_n(z)=\sum_{k=2}^n(1-\alpha_k)\dfrac{z^k}{k!} (développement du binôme, les \alpha_k sont des produits de termes de la forme 1-\frac{p}n)
et il me semble possible (c'est un lointain souvenir!) d'avoir un encadrement de la forme 0\leqslant1-\alpha_k\leqslant\dfrac{k(k-1)}{k!n} (à un coefficient près).

Posté par
luzakre : convergence uniforme 19-05-16 à 22:29

En fait c'est un peu tes calculs \alpha_k=n^{-k}\binom n k (mais en soustrayant g_n(z) le 1-\alpha_k) se majore...

Posté par
Alexiquere : convergence uniforme 19-05-16 à 23:25

moui... J'ai plutôt \alpha_k = n^{-k}k!\binom{n}{k} avec tes notations.
Et alors 1-\alpha_k = 1-\prod_{p=1}^{k-1}(1-\frac{p}{n})\leq \sum_{p=1}^{k-1} -\ln(1-\frac{p}{n})\leq \sum_{p=1}^{k-1}  \frac{p}{n}+\frac{p^2}{2n^2}\leq C\frac{k^3}{n} d'où une majoration uniforme tendant vers 0 car la série \sum \dfrac{k^3 R^k}{k!} converge donc avec le n ...

Merci bien, ça me parait clair mais solution pas très heuristique

Posté par
luzakre : convergence uniforme 20-05-16 à 08:05

Bonjour !
Oubli du k! : j'en dirais deux mots à mon "clavier"

Serait-ce plus heuristique en disant :  \alpha_k = n^{-k}k!\binom{n}{k}=\Bigl(1-(1-\alpha_k)\Bigr) ?

Pour l'encadrement je pensais plutôt à une récurrence.

\alpha_3=\Bigl(1-\dfrac1n\Bigr)\Bigl(1-\dfrac2n\Bigr)=1-\dfrac3n+\dfrac2{n^2} donc 1-\alpha_3\leqslant\dfrac{2.3}{2n}.

Si 1-\dfrac{k(k-1)}{2n}\leqslant\alpha_k\leqslant1, comme \alpha_{k+1}=\alpha_k\Bigl(1-\dfrac{k}n\Bigr) tu as l'hérédité et la série majorante n'est autre que \dfrac1{2n}e^R

Posté par
Alexiquere : convergence uniforme 20-05-16 à 14:14

Entendu, c'est en effet une majoration plus fine que la mienne ^

Pour le reste, ce que je voulais dire, c'est qu'il s'agit bien de tricher en introduisant la série entière g_n même si c'est légal bien sûr. Dans les Banach, le seul outil quand on ne connaît pas la limite, c'est le critère de Cauchy (uniforme ici) et c'est tout...

Posté par
Alexiquere : convergence uniforme 20-05-16 à 23:35

et sinon une de mes inégalité de convexité est fausse donc en fin de compte, ta méthode me va très bien !

Merci encore !

Posté par
luzakre : convergence uniforme 21-05-16 à 10:25

Ma suggestion (hypocrite) pour ne pas parler de g_n consistait à majorer
|\alpha_k|\leqslant|1|+|1-\alpha_k|, le majorant est alors le terme général d'une série normalement convergente sur les compacts de \C.

Mais comme tu le dis l'utilisation de g_n étant légale pourquoi compliquer...

Posté par
Alexiquere : convergence uniforme 22-05-16 à 14:48

heu certes, mais ce alpha_k vient bien du fait que l'on fait la différence entre f_n et g_n. On se l'invente pas, il ne sort pas de nulle part...

Posté par
Alexiquere : convergence uniforme 22-05-16 à 14:48

\alpha_k..

Posté par
luzakre : convergence uniforme 23-05-16 à 07:57

Bonjour !
Pour moi les \alpha_k viennent du développement du binôme pour f_n ce qui est plutôt "naturel".
Ayant la majoration tu peux t'en sortir par le critère de Cauchy : une des parties du majorant \dfrac1{k!} relève de la convergence uniforme d'une série entière, l'autre partie contenant \dfrac1n et le terme général d'une série convergente.

Encore une fois c'est "tourner autour du pot" mais tu "feins d'ignorer" que la limite est l'exponentielle.

Posté par
Alexiquere : convergence uniforme 23-05-16 à 11:40

ha ok, je comprends mieux, merci.

Disons que mon but étant de définir l'exponentielle par ce moyen (pour ensuite démontrer que f'=f etc...), je ne veux vraiment pas y faire recours et en fin de compte, si je n'y fais pas recours, ça reste très sous-jacent en effet...

Posté par
luzakre : convergence uniforme 24-05-16 à 08:01

Réflexion faite en essayant une mise en forme du critère de Cauchy, c'est un peu plus tordu que prévu.
En effet ce qu'on appelle \alpha_k est en fait un \alpha_{k,n} de sorte qu'en calculant f_{n+p}(z)-f_n(z) il faudra manipuler \alpha_{k,n+p}-\alpha_{k,n}=1-(1-\alpha_{k,n+p})-(1-(1-\alpha_{k,n})). C'est faisable mais ...

Posté par
Alexiquere : convergence uniforme 24-05-16 à 16:50

Il nous faudrait vraiment une inégalité du type \alpha_{k,n+p}-\alpha_{k,n} \leq \dfrac{k^r}{n}  (éventuellement pour n assez grand mais pour tout k entre 0 et n et quand k est proche de n, difficile d'avoir une majoration de \alpha_{k,n} (tu en as obtenu une minoration qui règle le cas du -\alpha_{k,n} mais pas du \alpha_{k,n+p). C'est bien ce problème que j'aurai voulu solutionner...

Je ne veux pas t'embêter plus d'autant que tu m'as déjà fourni une piste parfaitement valide pour conclure au problème de départ.  

Posté par
Alexiquere : convergence uniforme 25-05-16 à 15:37

Finalement, le théorème de convergence dominée permet de montrer que la somme de mon tout premier post tend vers 0 avec n (cf ) donc je pense que c'est correct.

Merci encore !


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