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Niveau Licence Maths 1e ann
convergence uniforme
Posté par babsou-58
Bonjour à tous,
Soit . On pose
Je dois montrer que la série de fonctions
converge uniformément sur tout compact de
. On procède en découpant en deux séries indexées par les entiers positifs et on regarde la convergence uniforme de ces deux séries l'une après l'autre. Pour cela je pensais montrer la convergence normale. Soit donc K un tel compact, le problème c'est que je ne m'en sort pas avec le calcul de
. Je trouve
et je ne vois pas trop quoi faire ensuite...
Merci de vos réponses.
Bonsoir babsou-58.
Le truc consiste à prendre une suite de compacts emboîtés ayant une certaine forme : des disques fermés, par exemple, ou autre à ta convenance, et tels que la réunions de ces compacts soient tout entier. On montre la CVU sur ces compacts et on conclut qu'alors la convergence uniforme a lieu sur tout compact de
.
il faut tout de même faire attention, les compacts doivent être dans . Donc ta stratégie serait de montrer que pour une certaine suite de compacts (à fabriquer ici...) on a convergence uniforme obtenue en montrant la convergence normale qui pourrait se calculer grace au choix précis des compacts ?
Bien entendu qu'il faut faire attention. 
Qu'est-ce qui t'empêche de prendre des disques emboîtés auxquels tu auras ôté des petits disques ouverts de diamètre de plus en plus petits autour des singularités ?
Mais tu peux prendre des carrés, des losanges ou toute forme qui t'inspire, à condition de "dénoyauter" les singularités.
A titre de comparaison, c'est ainsi que l'on montre que l'exponentielle complexe CVU sur tout compact, en considérant les disques fermés centrés en 0 et de rayon A > 0. Évidemment, l'exponentielle n'a pas de singularités, mais l'idée reste ...
Oui en effet les disques privés des singularités fonctionnent biens. je vais poursuivre le calcul et je pense que ça devrait aller.
Merci jsvdb
Je doute que ce soit ça qu'on te demande de montrer .
Car si la série de terme général (z - n)² (n > 0 ) converge , la suite n 
|z - n| 
0 . Or elle tend vers +
.
salut
soit K un compact de C ne rencontrant pas Z ... et soit z dans K
1/ K est borné donc il existe N > 0 tel que |z| < N et pour |n| >= N : |z - n| >= 2
donc
2/ K est fermé donc (car
)
donc converge uniformément ...
je ne comprend pas où il y aurait un problème dans ce qu'on a proposé de faire... si tu connais une autre façon de montrer la convergence uniforme de cette série je prend.
bon j'ai merdé à un endroit ...
carpediem @ 01-12-2016 à 00:04
salut
soit K un compact de C ne rencontrant pas Z ... et soit z dans K
1/ K est borné donc il existe N > 0 tel que |z| < N et pour |n| >= N : |z - n| >= |n|
donc| < \sum_{|n| \ge N} \dfrac 1 {n^2}} < + \infty)
2/ K est fermé donc| < + \infty )
(car 
)
donc)
converge uniformément ...
salut
soit K un compact de C ne rencontrant pas Z ... et soit z dans K
1/ K est borné donc il existe N > 0 tel que |z| < N et pour |n| >= N : |z - n| >= |n|
donc
2/ K est fermé donc
donc
si on prend la boule fermée de centre 0 et de rayon 1/2 et z=1/2 alors pour tout entier n on aura |z-n| = n-1/2 qui n'est pas plus grand ou égale à n....
On pose U = 
\
et , pour r > 0 , Vr = { z 
U│ |Re(z)| 
r } .
Si n 
, r > 0 , |n| > r + 1 et z Vr on a : |z - n | |n| - r > 1 donc .
La famille des fn ( n ) est donc uniformément sommable sur Vr .
Cela entraine la sommabilité uniforme des fn sur tout compact de U ,
et donc la CUK sur U des suites, n et n
oui j'hésitais ...
en fait sans aller aussi finement que les camarades l'ont fait :
il existe N > 0 tel que pour z dans K et n >= N : |z - n| > |n|/2
et c'est largement suffisant ... (ensuite on peut affiner le N et la minoration)
et évidemment la somme pour |n| < N est bornée (puisque K est compact et ne rencontre pas Z)
...
On peut aussi goupiller l'idée d'Etniopal avec la mienne et considérer .
Les majorations sont évidentes.