Bonjour, j'ai un petit doute quant à l'exercice suivant :
Soit la suite de fonction définie par : , où , , sur .
1) Etudier la convergence simple, puis uniforme de la suite de fonctions sur (sans faire d'étude de fonction).
2) En déduire sans calcul la valeur de .
__________________________________________________________________________________________________
Voici ce que j'ai fait pour le moment :
1)Soit .
Pour la convergence simple :
Lorsque , on a , pour tout .
Lorsque , on a que : .
Donc, la suite de fonctions converge simplement vers 0 sur .
Pour la convergence uniforme :
Et bien mise à part essayer de bidouiller avec la définition, je ne vois pas trop comment m'en sortir, sachant que je ne vois pas trop déjà comment bidouiller...
Bonjour,
Avec étude de fonctions, il suffit de montrer que : :
Pour un fixé, on calcule le sup de la fonction sur en fonction de , et on voit que la suite des sup tend vers . Donc la suite de fonctions converge uniformément vers la fonction nulle.
Bonjour !
1. Pour c'est facile puisque ...
Pour l'intervalle , sans étude de la fonction, je ne vois pas...
Mais il est exact que la convergence est uniforme sur .
2. Je pense qu'on demande, sans calcul, de donner la limite de la suite des intégrales
car le calcul des intégrales est facile et se fait de tête.
Dans l'esprit de "en déduire" je dirais que ( la convergence uniforme étant démontrée) la limite de est nulle.
Mais c'est un peu capillotracté car on peut majorer facilement par une suite de limite nulle...
Re-bonjour,
Je suis arrivé au même point que vous deux :
- J'ai fait l'étude de fonction pour voir...
- J'ai fais quelque chose de similaire à ça qu'à proposer luzac en m'inspirant d'un exercice du Gourdon analyse... mais je suis bloqué au même point...
salut
car 0 < a < 1
la croissances comparée des fonctions polynomiales et exponentielle nous permette de conclure que g_n tend uniformément vers 0 sur ]0, 1[
Bonsoir,
en reprenant les notations de luzak.
Sur on a
Et on fait tendre a vers 1 pour montrer la convergence uniforme.
Mais cela ne correspond pas à la définition de la convergence uniforme où le sup de la fonction doit tendre vers quand tend vers l'infini.
A mon avis, il faut arriver à montrer sans étude de fonction que pour tout , et tout .
. Or ceci est vrai par le développement en série entière de sur .
Donc qui tend vers quand tend vers l'infini. On obtient ainsi la convergence uniforme.
Bonsoir carpediem
Bonjour,
@luzak Pour rappel, l'énoncé de l'exercice demande une démonstration sans étude de fonction. Ce n'est donc pas une "trouvaille", mais une solution de l'exercice.
Par ailleurs, cela peut être bien de ne pas toujours se précipiter sans réfléchir sur les études de fonctions pour trouver des majorations ou des minorations. C'est certainement le but de l'exercice (je n'en vois pas d'autres pour la 1ère question).
D'ailleurs il y a des fois où l'étude de fonction ne mène à rien (dérivée trop compliquée, ingérable), tandis qu'une étude directe (ou un panaché des 2) peut être beaucoup plus simple et mener à la solution.
bonjour,
on a les fonctions sont continues sur le compact [0,1]
pour 0<x<1 qui tend vers quand n tend vers
on a donc la convergence simple vers 0, donc tend vers 0, la fonction constante nulle sur [O,1] est continue sur un compact, il y a donc convergence unifoerme
Bonjour DOMOREA
Tu as le classique :
affine par morceaux dont le graphe est formé des segments joignant les points .
est continue sur le segment et et il y a convergence simple vers la fonction nulle (traiter à part les cas ).
Je ne vois pas de convergence uniforme là-dedans.
.............................
@coa347
Bien lu ton message de 07:40 !
Je suis un "incompris" (snif,snif) !
Pour moi, "trouvaille" et "astuce" sont plutôt des compliments !
Et ma remarque concernant le "pourquoi faire simple..." s'adressait à l'auteur de l'exercice. J'avais bien vu que tu avais donné une solution selon les vœux de cet auteur.
Mais tu devrais reconnaître que trouver une série entière pour éviter une étude des variations d'un polynôme si simple n'est pas la démarche normale d'un étudiant .
Bonsoir,
@luzak Pour moi, ce n'est ni une trouvaille ni une astuce, mais au contraire un exercice intéressant où on doit pouvoir démontrer que x^n(1-x) < 1/n, pour x appartenant à [0,1], sans passer par une étude de fonction.
D'ailleurs il doit y avoir un moyen plus simple pour le démontrer que de passer par un DSE. Peut-être en distinguant x inférieur à 1/n, x supérieur à 1-1/n et x compris entre les 2. Je verrais ça demain.
dans tous les cas ça reste très proche de l'étude de fonction : encadrer la dite fonction sur différents intervalles (sans aller jusqu'au mécanique dérivée/signe/variation) ...
Bonjour à tous,
J'ai lu attentivement vos messages, comme l'a dit luzak je n'aurais pas pensé à aller chercher un DSE, et je pense qu'on attendait la réponse proposé par coa347 (bien que je n'y aurais pas pensé seul également.
Cela dit, je trouve cela bizarre quand même car comme le dit carpediem, on tourne quand même autour du pot, avec des considérations proche de l'étude de fonctions...
Merci, à tous !
bonjour à tous,
d'abords j'ai bien noté l'intervention de luzak , appuyée par coa347, pour ma défenxe, je dirais que le contre exemple de luzak que j'entends ne correspond pas ici au type de fonction de l'exercice, mais c'est ma faute, je me suis mal expliqué, dans le cas qui nous occupe, le maximum décroît, c'est ce que intuitivement je voyais.
je reprends donc avec l'idée de coa347 pour le : mais une récurrence est inutile , de même que l'intervention de l'intervalle
1. est croissante sur facile à démontrer sans dérivation.
or comme on a donc est croissante sur
donc sur
2. Sur fonction affine décroissante donc majorée par sur cet intervalle
bonjour,
@coa347
1. Oui en effet c'est directement, je me suis mélangé dans mes notes
2. errata c'est évidement [1-1/n;1]
ce n'est pas tout à fait une étude de fonction au sens classique et complet, mais comment faire pour comparer alors ?
j'ai bien vu ta méthode par DSE
bonjour,
Je vous propose une méthode très simple qui utilise la densité de dans et la continuité de
en choisissant x rationnel , dans [0,1] , avec ainsi que
l'inégalité
est équivalente à qui s'établit immédiatement avec la formule du binôme
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :