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convergences de limites.

Posté par spoutnik (invité) 11-04-07 à 19:39

bonjour,je vous propose de calculer la limite de la somme S:

Rq:sqrt=racine carree.

S=sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+sqrt(4+.......+sqrt((n-1)+sqrt n)


Pour vous aider,inspirez vous de la somme suivante:

Z=sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1.......),dont la limite est le nombre d'or.
Z se calcule en posant.

Z=sqrt(1+Z) par recurrence.
ce qui donne Z^2=1+Z.D'ou Z=le nombre d'or.

merci.

Posté par
infophilere : convergences de limites. 11-04-07 à 20:40

Bonjour

C'est un classique posté plusieurs fois.

Posté par spoutnik (invité)re : convergences de limites. 11-04-07 à 20:45

desole je suis nouveau sur le site.
Merci en tout cas.

Posté par
infophilere : convergences de limites. 11-04-07 à 20:49

Tu n'es pas obligé de passer par une récurrence, tu peux aussi élever au carré ou encore étudier la suite \{U_{n+1}=\sqrt{1+U_n}\\U_0=0

Posté par spoutnik (invité)re : convergences de limites. 11-04-07 à 20:53

oui,pour celle la c'est bon.
c'est la deuxieme qui m'interesse,parce que elle n'a pas de forme explicite ou recurrente.

Posté par
infophilere : convergences de limites. 11-04-07 à 20:55

Ah oui excuse moi j'ai mal lu

Posté par
kaiser Moderateurre : convergences de limites. 11-04-07 à 21:04

Bonsoir à tous

En fait, on peut se ramener à l'étude d'une suite récurrent du type \Large{x_{n+1}=f(x_{n)}} avec \Large{x_{0}=1} et \Large{f(x)=\sqrt{1+x}}

Kaiser

Posté par spoutnik (invité)re : convergences de limites. 11-04-07 à 21:06

oui,mais apres?on fait comment?

merci

Posté par
kaiser Moderateurre : convergences de limites. 11-04-07 à 21:10

tu n'as pas déjà étudié ce genre de suite en classe ?
Il faut regarder si la fonction est croissante ce qui est le cas et ensuite tu sais que ta suite est monotone donc ...

Kaiser

Posté par vendredi (invité)re : convergences de limites. 11-04-07 à 21:11


Bonsoir,

Je me trompe peut-etre mais il me semble que

u_{n}=\sqrt{n+u_{n-1}}

Donc, il n'y aurait pas de limite finie. La suite
diverge...

Posté par
infophilere : convergences de limites. 11-04-07 à 21:12

Mais Kaiser tu as vu que :

4$ S=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...+\sqrt{n}}}}

Posté par
kaiser Moderateurre : convergences de limites. 11-04-07 à 21:14

Au temps pour moi, je pensais que c'était la deuxième !
Il vaut mieux que je me rendorme !

Kaiser

Posté par
infophilere : convergences de limites. 11-04-07 à 21:15

Moi aussi je me suis planté

Posté par spoutnik (invité)re : convergences de limites. 11-04-07 à 21:16

une chose est sure,c'est que la somme admet une limite finie.
ma suite est monotone,bon d'accord mais ca ne t aide en rien pour le calcul de la limite.
normalemnt on aurait utilise le theoreme du point fixe,mais la je vous deconseille fortement.
donc kaiser si tu pourrais mieux t'expliquer s'il te plait.
merci

Posté par
kaiser Moderateurre : convergences de limites. 11-04-07 à 21:19

spountik > si par exemple, on arrive à montrer que la suite est bornée alors on obtiendra la convergence. Mais comme on a affaire à une suite récurrente, la limite est un point fixe de la fonction qu'on sait calculer facilement.

Kaiser

Posté par spoutnik (invité)re : convergences de limites. 11-04-07 à 21:20

tu parle de la deuxieme???parce que pour la premiere je sais faire.

Posté par vendredi (invité)re : convergences de limites. 11-04-07 à 21:20

Ma formule de recurrence est fausse alors...
Parce que sinon, la limite ne peut pas etre finie !  

Posté par
kaiser Moderateurre : convergences de limites. 11-04-07 à 21:21

Bon, OK, je pensais que tu me parlais de la première !
Je me rendors !

Kaiser

Posté par
infophilere : convergences de limites. 11-04-07 à 21:23

Posté par spoutnik (invité)re : convergences de limites. 11-04-07 à 21:24

vendredi, je ne sais pas si tu as vu les premiers termes que donnait ta formule mais en fait ca marche pas.

Posté par spoutnik (invité)re : convergences de limites. 11-04-07 à 21:28

je veux dire si on considere la suite definie par.
ta formule avec Un+1 au lieu de Un.et U0=1,on aura U1=1 et U2=sqrt(2+sqrt(1))or ce qu'on demande c'est

U2=sqrt(1+sqrt(2))

Posté par vendredi (invité)re : convergences de limites. 11-04-07 à 21:31


Bigre ! J'ai tout écrit à l'envers. Normal que ca diverge !

Bon, en fait, il n'y a pas de formule de recurence, c'est ca ?
Il va falloir se decroiser les neurones, ca a l'air complique...

Posté par spoutnik (invité)re : convergences de limites. 11-04-07 à 21:35

exact.
ca fait une semaine que je cherche une solution,mais le probleme c'est que je me suis propose l'exercice donc je ne sais pas si ca peut se resoudre facilement,mais j ai pu verifier que ca converge en utilisant un programme sur ordinateur.
bonne chance.

Posté par vendredi (invité)re : convergences de limites. 11-04-07 à 21:54

Tres joli exo que tu as imagine !

Mais es-tu sur que tu a laisse tourner l'ordinateur assez longtemps ?
Il peut y avoir des surprises...

Tiens, j'ai du mal à montrer que lim u_{n+1}/u_n <=1 (ce qui est une
condition necessaire de convergence)...

Je continue.

Posté par spoutnik (invité)re : convergences de limites. 11-04-07 à 22:00

pour la convergence je l'ai deja verifie,c sur.essaye d'etudier la differnce.

Posté par vendredi (invité)re : convergences de limites. 11-04-07 à 22:18

La difference ?
Tu fais ça comment ??

Posté par
infophilere : convergences de limites. 12-04-07 à 02:11

Bonsoir

Avec Excel on voit que ça converge vers 1,7579...etc et j'ai testé avec des nombres assez importants.

Reste plus qu'à le démontrer

Posté par
Cauchyre : convergences de limites. 12-04-07 à 02:27

Bonsoir,

on utilise la propriété suivante:

4$\forall x \geq y \geq 1 \; , \sqr{x}-\sqr{y} \leq \frac{(x-y)}{2}

Ceci provient de l'inégalité des accroissements finis par exemple.

On a ensuite:

4$U_{n+1}-U_{n} \leq \frac{1}{2}\left((1+\sqr{2+\cdots+\sqr{n+1}})-(1+\sqr{2+\cdots+\sqr{n}})\right)

Puis en itérant:

4$U_{n+1}-U_{n} \leq \frac{1}{2^n} d'ou la convergence rapide(géométrique) de la suite.

Sauf erreur

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergences de limites. 12-04-07 à 02:31

Bonsoir ;
En notant \fbox{S_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3..+\sqrt{n}}}}} pour \fbox{n\in\mathbb{N}^*}
on peut remarquer que \fbox{n+\sqrt{n+1}\ge n} d'où \fbox{\sqrt{n+\sqrt{n+1}}\ge\sqrt{n}}
d'où \fbox{n-1+\sqrt{n+\sqrt{n+1}}\ge n-1+\sqrt{n}} d'où \fbox{\sqrt{n-1+\sqrt{n+\sqrt{n+1}}}\ge\sqrt{n-1+\sqrt{n}}}
.
.
.
2$\blue\fbox{S_{n+1}\ge S_n} (sauf erreur)

Posté par
infophilere : convergences de limites. 12-04-07 à 02:34

Les grands esprits se rencontrent

Bravo !

Posté par
ottore : convergences de limites. 12-04-07 à 02:39

Juste au niveau du vocabulaire:
Une limite ne converge pas, c'est la suite qui converge (ou l'intégrale, mais c'est pareil).

Posté par
infophilere : convergences de limites. 12-04-07 à 02:43

Salut otto

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergences de limites. 12-04-07 à 02:43

Bonne idée Cauchy
il y'a un petit détail à préciser:
par itération il me semble que le dernier terme (le numérateur de 2^n) n'est pas 1 vu que
\underb{\sqrt{1+\sqrt{2+..+\sqrt{n+1}}}}_{(n+1)\hspace{5}radical} et \underb{\sqrt{1+\sqrt{2+..+\sqrt{n}}}}_{n\hspace{5}radical} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
infophilere : convergences de limites. 12-04-07 à 02:45

Merci ehlor d'avoir répondu à mon appel

Posté par
Cauchyre : convergences de limites. 12-04-07 à 02:47

Oui effectivement mais bon ca change pas le résultat

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergences de limites. 12-04-07 à 02:47

A ton service infophile

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergences de limites. 12-04-07 à 02:52

Oui Cauchy , la majoration devient 3$\fbox{\forall n\ge1\\0\le S_{n+1}-S_n\le\frac{\sqrt{n+1}}{2^n}} ce qui assure la convergence de la suite (S_n)
vu que la série de terme général \frac{\sqrt{n+1}}{2^n} est convergente.
Bravo Cauchy !

Posté par
Cauchyre : convergences de limites. 12-04-07 à 02:53

Merci

Des nouvelles de ton topic sur l'hyperplan?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergences de limites. 12-04-07 à 02:55

Pour ta question ou la mienne ?

Posté par
Cauchyre : convergences de limites. 12-04-07 à 02:56

Les deux

J'ai pas lu en détail ce qu'a écrit Camélia encore

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergences de limites. 12-04-07 à 02:59

J'ai lu ce qu'a écrit Camélia et j'y réfléchis encore

Posté par
infophilere : convergences de limites. 12-04-07 à 03:09

C'était un problème intéressant

Merci tout le monde !

Cauchy > bug

Bonne nuit

Posté par
Cauchyre : convergences de limites. 12-04-07 à 03:15

Bonne nuit à tous

Posté par vendredi (invité)re : convergences de limites. 12-04-07 à 09:16

Bonjour a tous,

Petite remarque: ca marche aussi avec la classique

   \sqrt{x}-\sqrt{y} = \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}

Ensuite on minore brutalement les dénominateurs par 2, à chaque
itération. Ca donne la meme chose, sans astuce aucune...

Bon, pour la limite ~ 1.75 ca va etre une autre paire de manche...

Qui pense qu'elle est calculable ?


:o

Posté par
Cauchyre : convergences de limites. 12-04-07 à 14:29

Ca est-elle exprimable avec des constantes usuelles je sais pas,faudrait trouver une équation de récurrence mais ca semble compromis,c'est peut être un nombre transcendant

On peut l'appeler la constante de spoutnik

Posté par
Camélia Correcteurre : convergences de limites. 12-04-07 à 14:35

Eh, les copains, je n'ai rien écrit ici! Pour une fois que je suis innocente!

Posté par
infophilere : convergences de limites. 12-04-07 à 17:37

La constante de spoutnik

Ca sonne bien

Posté par
infophilere : convergences de limites. 13-04-07 à 03:24

Up

Posté par
anonymere : convergences de limites. 13-04-07 à 13:43

bonjour,
je vous fais remarquer que la suite S proposée est adjacente avec la suite
sqrt(1+ sqrt(2+sqrt(...sqrt(n-1+sqrt(2n+1))
S est croissante et celle-ci décroissante ...  ce qui permet de conclure à l'existence d'une limite ...

Posté par
anonymere : convergences de limites. 13-04-07 à 14:25

j'ai vu qu'on peu même prolonger cet exercice en posant au lieu de 1, 2, .. ,n a0, a1, ...,an
l'exercice devient très intéressant !

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