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Posté par
alainpaulre : convexité d'une fonction à démontrer 30-08-12 à 10:58

Bonjour,

Le problème me semble très difficile;
une piste n'a peut-être pas été étudiée:

"Une fonction convexe f(x) sur un ensemble
convexe X admet en chaque point intérieur
x € X une dérivée suivant toute direction s.

Il faut considérer :
\frac{\delta f(x)}{\delta s}= \lim_{\lambda \to 0} \frac{f(x+\lambda s)-f(x)}{\lambda}



Alain

Posté par
Alexiquere : convexité d'une fonction à démontrer 30-08-12 à 18:40

Citation :
chouette ça me fait un exo à poser à mes premières années de fac

les pauvres ! Même en sup, on en a pas des comme ça (même le dernier de la feuille de TD qui est là pour nous achever est pas aussi dur !).

Et bravo à ovn, c'était magnifique !

Posté par
mikomariaconvexité d'une fonction à démontrer 30-08-12 à 21:40

D'autre part, c'est dommage que personne n'apprécie l'auteur de l'exo...

Posté par
Alexiquere : convexité d'une fonction à démontrer 30-08-12 à 21:46

C'est vrai que si tu l'as créé de toute pièce, tu as de très gros talents. Tu pourrais écrire des banques d'exos insurmontables et être un auteur très connu... Mais on a toujours tendance à louer celui qui résout plutôt que celui qui pose le problème parce qu'il a en général plus de mérite...

Posté par
mikomariaconvexité d'une fonction à démontrer 30-08-12 à 21:51

En plus, j'en ai crée toute une pile. Je les posterais ici...

Posté par
LeDinore : convexité d'une fonction à démontrer 30-08-12 à 22:16

Citation :
D'autre part, c'est dommage que personne n'apprécie l'auteur de l'exo...

C'est vrai qu'un melon pareil ça impose pourtant le respect !
Moi j't'aime beaucoup beaucoup miko .
Je suis total fan : on s'embête pas un instnt avec toi...

Posté par
Alexiquere : convexité d'une fonction à démontrer 30-08-12 à 22:25

fayot ! Miko, tu peux comprendre aussi que ton entêtement sur cette discussion du début (0 \in \N) en a découragé plus d'un de t'aider (et déjà que le problème était pas facile)...

Posté par
LeDinore : convexité d'une fonction à démontrer 30-08-12 à 22:32

Pfff !
Miko est bien au dessus de tout ça !
Miko est un majorant de tout.
Et en plusieurs langues en plus !

Posté par
mikomariaconvexité d'une fonction à démontrer 30-08-12 à 22:39

cher Alexique: tout simplement: il faut que tu sache, que je ne suis très hostile au Front National. Ainsi qu'à une version  « maths » du FN... Voilà l'explication...

Posté par
mikomariaconvexité d'une fonction à démontrer 30-08-12 à 22:48

faute de frappe: je suis très hostile...

Posté par
LeDinore : convexité d'une fonction à démontrer 30-08-12 à 22:55

Rrroooo le champion du monde !
C'est presque trop beau pour être vrai ...

Posté par
lolo271re : convexité d'une fonction à démontrer 31-08-12 à 14:44

J. P . Serre a dis : Faire des conjectures est facile, les résoudre est difficile.

M'enfin J.P Serre est surtout connu pour ses conjectures non ?

Bref, les deux sont indispensables et contribuent au développement des mathématiques.  Nous appelerons donc le résultat de ce post le
théorème de mikomaria-ovn  

(cela étant je considère que les grands esprits se moquent un peu qu'on leur attribue tel ou tel mérite ...ce qui n'est pas tjs facile humainement)

Posté par
Alexiquere : convexité d'une fonction à démontrer 02-09-12 à 13:05

Après la bataille mais quand même j'y arrive de façon plus simple qu'ovn...

J'en reviens à ma fonction h. On veut montrer qu'elle est convexe. Considérons x \mapsto h(-x) = \dfrac {1}{\sum_{k=0}^{n-1} (2+x)^k}, composée de la fonction inverse convexe et de la fonction x \mapsto \sum_{k=0}^{n-1} (2+x)^k convexe et croissante.
Je rappelle le résultat une bonne fois pour toute : a \circ b est convexe sur I si a et b le sont (b sur I et a sur b(I)) et si b est croissante sur I. Ce que j'ai écrit au début de ce topic est faux (celui-ci qui m'a fait réalisé ma bourde : Fonction linéaire quadratique multivariables).

Ainsi x \mapsto h(-x) est convexe.
x \mapsto h(-x)  convexe  \iff  x \mapsto -h'(-x)  croissante  \iff  h'  croissante  \iff  h  convexe. (on est tout le temps sur [0,1[).
h et g sont donc toutes deux convexes et croissantes d'où le résultat.

C'est tout de même plus court et moins lourd en calcul mais bon, je suis long à la détente.

On se souvient de Pythagore dont on n'est même pas sûr qu'il a démontré le théorème qui porte son nom. Depuis, ce théorème a été démontré de plein de façons différentes par plein de gens qui nous sont inconnus (dont Garfield, un président des Etats-Unis) : c'est dire à quel point ma démarche est désintéressée

Posté par
mikomariaconvexité d'une fonction à démontrer 02-09-12 à 14:26

cher Alexique,

Merci beaucoup pour tenacité. Pardonne-moi mais je ned comprends pas :

Nou avons:

\left[ a\cdot b\left( x\right) \right] ^{''}=\left[ a\left( b\left( x\right) \right) \right] ^{''}=\left[ a'\left( b\left( x\right) \right) \cdot b'\left( x\right) \right] ^{'} =a''\left( b\left( x\right) \right) \left[ b'\left( x\right) \right] ^{2}+a'\left( b\left( x\right) \right) b''\left( x\right) 0    ce qui est garantie par    a'\left( b\left( x\right) \right) \geqslant 0 (et - bien sûr - la convexité des deux fonctions )

donc la fonction exterieure ( chez nous a\left( t\right) =\dfrac {1} {t}) doit être croissante, ce qui n'est pas le cas...

Posté par
mikomariaconvexité d'une fonction à démontrer 02-09-12 à 14:28

...excuses pour les fautes de frappe...

Posté par
Alexiquere : convexité d'une fonction à démontrer 02-09-12 à 15:00

Et si on en reste à la dérivée première, (a \circ b)'= b' \times a' \circ b doit être croissante. Comme a' et b' sont croissantes, il nous faut b croissante. Le produit de deux fonctions croissantes et positives est croissant !
La condition que tu donnes est suffisante mais non nécessaire.

Avec a(x) = \frac 1x   et  b(x)=x^2,  a(b(x))= \frac{1}{x^2} de dérivée x \mapsto -\frac{2}{x^3} croissante donc ma fonction est convexe sur \R_+^* car l'inverse est convexe sur \R_+^*, la fonction carrée est tout le temps convexe.
Pourtant la fonction inverse décroit sur \R_+^* !

Posté par
Alexiquere : convexité d'une fonction à démontrer 02-09-12 à 16:08

ERRATA : Voici le théorème : \boxed{\text{Soient f et g deux fonctions convexes, respectivement sur I et sur J inclus dans f(I). Alors si g est croissante},  g \circ f \text { est convexe  sur  I}}

La réciproque est fausse (cf mon contre-exemple ci-dessus). Comme ça on avait tous les deux torts miko !

Démo : Puisque f est convexe, \forall \lambda \in [0,1], \forall x, y \in I,   f(\lambda x + (1-\lambda)y) \le \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)
g est croissante donc g \circ f(\lambda x + (1-\lambda)y) \le g \circ (\lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)) et enfin puisque g est convexe, g \circ f(\lambda x + (1-\lambda)y) \le \lambda g \circ f(x) + (1-\lambda)g \circ f(y)

Citation :
Le produit de deux fonctions croissantes et positives est croissant !


Seulement, la dérivée de la fonction inverse n'est pas positive donc on ne peut pas conclure !

Bon, allez, je vais pas insister ! Avec le mal que s'est donné ovn, je ne pense pas que s'il y avait eu plus simple, il l'aurait trouvé !

J'attends ton prochain problème avec impatience (enfin juste par curiosité...)

Bonne continuation !

Posté par
mikomariaconvexité d'une fonction à démontrer 02-09-12 à 18:17

@Alexique :

Je m'apprètais à écrire qqch de semblable. Mais - comme d'habitude - je suis trop lent. En plus, le déjeneur du dimanche a fait obstacle...
Le prochain problème  sera intutilé  « Equation diophantienne avec radicaux »
Je me demande encore dans quelle rubrique le poster ( Maths sup? licence? ) pour avoir un nombre important d'intervenants dans la discussion...

A +

mikomaria

Posté par
Alexiquere : convexité d'une fonction à démontrer 02-09-12 à 19:25

Juste pour m'achever, on a un résultat analogue : si f et g sont concaves et si g est croissante, g \circ g est concave (en veillant aux intervalles toujours). Ma fonction h est la composée de x \mapsto -\dfrac{1}{x} concave croissante et de x \mapsto - \sum_{k=0}^{n-1} (2-x)^k concave. Donc ma fonction h était concave (j'ai du mal voir les courbes). Pas possible de conclure !

Que ce soit en maths ou en licence, les gens regardent quoiqu'il en soit, peu importe la catégorie. Quand ton topic commence à prendre de l'ampleur et commencer à date (1 jour ou plus), il y en a forcément à qui ça met la puce à l'oreille et qui de facto vont jeter un oeil.

A+

Posté par
Alexiquere : convexité d'une fonction à démontrer 02-09-12 à 19:25

et c'est [tex]g \circ f[/tex évidemment !

Posté par
Alexiquere : convexité d'une fonction à démontrer 02-09-12 à 19:26

oui bon zut NA !

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