Bonjour à tous,
Voici un exercice ultra-difficile:
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Montrer, que
est convexe pour tout .
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J'ai déja fait le tour ( avec cet exercice ) de presque tous les forums du monde entier. Jusqu'à présent personne ne sait comment le prouver...
On arrive à démontrer ( à l'aide du théorème dit de « de l'Hôpital » pour la monotonie ) que f est croissante. Mais rien de plus...
Salut Artin,
J'y ai pensé, mais cela me paraît bien impossible! Essaye, STP... Peut-être tu auras plus de chance ?
Les maths, c'est pas une question de chance .
Déjà, fait l'initialisation, (pour n=0,j'ai l'impression quee ta fonction n'est pas définie).
Merci beaucop pour la leçon.
A propos de la « chance »: je recommande à ce sujet de lire n'importe quelle histoire des mathématiques....
En ce qui concerne le zéro, je suis issu d'une culture mathématique qui ne le considère point comme entier naturel. ( = {x
: x
1} )
Par ailleurs, je sais parfaitement ce qu'est le raisonnement par récurrence...
Cette discution ne fait pas avancer les choses...Je n'ai pas posté mon problème pou effectuer du bavardage en vain...
@ DHilbert:
Je ne voudrais pas passer à des ramifications tout à fait point à propos du problème posé. Pour répondre brièvement: lire à ce sujet
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
Si les anglo-saxons utilisent fréquemment le terme entier naturel pour les nombres strictement positifs, la notation est cependant très rares chez ces derniers. De même que pour les fonctions croissantes sont juste "non decreasing " ces anglicisme n'ont heureusement pas cours chez nous ici c'est un site Français.
Donc on restera avec notre bon vieux 0 .
Dommage que la discussion bifurque le problème de départ semble intéressant.
...et encore
http://de.wikipedia.org/wiki/Natürliche_Zahl
ou bien la version russe du même article...
La vérité française n'est pas la seule vérité au monde. C'est bien le temps de s'y rendre compte...
Certes, mais quand on poste sur un forum français, on parle français, et on essaye de s'adapter aux conventions mathématiques françaises.
Personne ne te reproche d'employer d'autre conventions que celles en cours ici, mais personne ne t'oblige non plus à critiquer comme tu le fais dans ton dernier message. Ce n'est pas en prenant un ton hautain que tu augmenteras le nombre de réponses, bien au contraire.
As-tu essayé math.stackexchange.com ?
Pour revenir au sujet : est-ce que tu as essayé de prouver que f( (x+y)/2) est plus petit (sens français) que (f(x) + f(y))/2 ?
@ Arkhor:
Bien sûr, ma question y est. Sans réponse...depuis 2 semaines! De même que sur mathoverflow.net
Je ne prends pas de ton hautin. Parlant plusieures langues et étant habitué à lire beaucoup de textes étrangers, je ne m'en fais plus hautant au sujet des conventions. Si qqch ne marche pas pour n = 0, mais marche pour tout autre n il est logique quelle convention a été admise. Par contre, si cela est un problème majeur pour qqn d'autre, jusq'au point de signaler une erreur dans l'enoncé - cela signifie qu'il est de mauvaise foi...
( Moi-même je suis un batard franco-slave...)
@ lolo271: Oui, j'ai essayé!
. Je rajoute que sur [0,1], g et h sont croissantes et g' est croissante donc g est convexe. Reste à montrer que h est convexe (le produit de deux fonctions croissantes et convexes étant convexe, on aura ce qu'on veut). h est la composée de la fonction inverse convexe décroissante et de
convexe (de dérivée croissante) donc h est bien convexe.
Sauf distraction !
ERRATA : est convexe si a est convexe, b est convexe et si a est croissante ! Mais wolfram donne des jolies courbes convexes pour h (en faisant varier n) donc ça doit se montrer malgré tout.
Il me semble difficile de le démontrer en revenant à la définition d'une fonction convexe ou en utilisant la monotonie des pentes des cordes de f.
Le seul outil utilisable me semble être l'équivalence .
Rien de mieux à suggérer !
Bonjour mikomaria,
Je suggère d'utiliser l'idée de alainpaul.
On a . La dérivation de l'expression (oui oui f est dérivable) donne
...[manipulations élémentaires]...on obtient donc
(non f ne s'annule jamais sur l'intervalle considéré).
On re-dérive (l'expression est toujours dérivable) et on obtient
. Il vient
et enfin
. On utilise
et nous avons:
.
Le terme de droite est visiblement positif. Donc cela implique qu'un des termes de gauche le soit (sinon les deux seraient strictement négatifs et leur somme le serait également, ce qui est faux). Or et
sont de signes positifs (pour
dans l'intervalle considéré), donc soit
est positive soit
est de signe positif. Gagné dans le premier cas. Pour le second on aurait donc
convexe. En reprenant la relation de alainpaul (sous la forme
), et en la dérivant deux fois (en appliquant la formule de dérivation d'un inverse), on montre que le numérateur (et de surcroit
) est positif.
Sauf erreur.
Coriace cet exercice. C'est tiré d'un livre, ou tu en as besoin pour ta recherche ?
J'ai calculé tout bêtement la dérivée seconde, et j'ai essayé de montrer qu'elle est positive à l'aide d'inégalité du type arithmético-géométrique, mais rien de concluant pour l'instant ...
Je ne vois pas certaines expressions LaTeX. Problème de l'interpréteur du site, ou c'est les commandes rentrées qui étaient incorrectes ?
Fox, on a l'art d'écrire d'écrire des choses convaincantes qui ne le sont pas
Mais le reste du raisonnement était remarquable, tout n'est pas à jeter à mon avis...
Si je peux me permettre d'aiguiller vos pensées, il suffit de montrer que ma fonction h est convexe...
Merci à Alexique, Foxdevil, Arkhor et Alainpaul pour tant d'intérét porté jusqu'à présent à mon problème. J'ai du m'absenter pour quelques heures de la maison, donc maintenant je m'empresse de répondre...
@ Arkhor : cet exercice n'est pas tiré d'un livre. Il m'est venu a l'idée en démontrant une inégalité : j'étais à la recherche de plusieures méthodes de démonstration, dont une avait nécéssité de montrer la convexité de cette fonction. Et puisque Wolfram donnait des courbes convenables...
C'est vrai, le raisonnement de Foxdevil est remarquable, mais on reste toujours piègé pour le dernier point...Il nous reste encore la fonction h(x) à explorer d'Alexique.
J'attends avec impatience la suite...
Petite précision: ma démonstration est conclue si on prouve que et
sont de même signe (ou de manière presque équivalente, que la convexité de la fonction
implique celle de
)...
Bon je ne conclus pas mais au cas où ça serve :
On a donc h(x) = 1/t(x) et on veut prouver que h est convexe. Après calcul il "suffit" donc de prouver que 2 (t ' ) 2 est supérieur à t t'' .
Comme t est un polynôme on obtient un truc qui ressemble de loin à Cauchy-Schwarz (un peu à l'envers en fait, mais peu être classique) ....mais bon...Au lit.
En fait si je n'ai pas dit de bêtise ci dessus l'inégalité sur le polynôme t est vraie avec 2 remplacé par 1 donc c'est fini ?
(en fait ça marche pour tous les polynômes réels)
Pour reprendre encore l'idée de Foxdevil:
Le raisonnement de Foxdevil serait conclusif si on pouvait - de façon générale - établir les conditions dans lesquelles une fonction g: +
+ est convexe si et seulement si 1/g est convexe.
Cela pourrait faire un nouveau topic très intéressant à mon avis...
Alexique : Si on prouve que les deux quantités susmentionnées sont de même signe, alors d'après la dernière ligne de mon calcul, ils seront nécessairement tout deux positifs, et en particulier le sera. Si la convexité de
entraine celle de
, alors on complète la partie qui manque car (toujours d'après la dernière ligne) soit
soit
est positif, mais si c'est
qui l'est (dans l'autre cas, on a fini), l'implication (à démontrer) donnerait finalement
convexe.
Je précise au passage que, d'après notre cher Wolfram, les quantités sont bien toutes deux positives (car chaque fonction est convexe sur ). Pour ce qui est des implications elles mêmes, je n'en sais rien (difficile de savoir si ce n'est pas en fait un problème équivalent à l'exercice), mais elles ont des chances (du moins j'intuite que oui) d'être "facilement" démontrable...
mikomaria : Tu as parfaitement compris! A vrai dire, j'essaie de déterminer les conditions qui obligent une fonction et son inverse à être ensemble convexe (ou ensemble non convexe). (Dit en passant, j'utiliserai par soucis de concision la dénomination "co-convexe"). J'ai l'impression qu'il y aurait une sorte de "caractérisation" de fonctions inverses co-convexes...
...si la généralité est trop dure à démontrer peut être faut-il s'intéresser à d'autres particularités de la fonction qui les rendrait co-convexes?
Dites vous êtes d'accord que l'exercice de départ est terminé ? Quand je poste le soir tard j'ai toujours des doutes sur ce que j'écris mais c matin oh surprise ça me semble toujours correct.
MERCI
Notons d'ailleurs qu'une caractérisation suffisament générale de la co-convexité, complèterait également la preuve de Alexique.
lolo271:
Ca c'est classique : on considère w(x) = P'(x)/P(x) avec P polynôme réel, cette fonction décroît (voir décomposition sur C puis R) .
j'avoue que si P est scindé sur R c'est clair, si P a des racines complexes....ça demande vérification
effectivement si P n'est pas scindé c'est faux, reste à voir la condition sur les racines de t . (X2+1 ne marche pas toujours)
il faut se méfier des résultats classiques qu'on trouve sur le net.
Bref il suffit quand même de prouver que t'(x)/t(x) est décroissante dans le domaine qui nous intéresse soit x entre 0 et 1.
Trouvez toutes les racines de t est facile, ensuite les regrouper astucieusement peut-être ? (je suis bloqué)
Bon alors sauf erreur il suffit donc de prouver que t'(x)/t(x) est décroissante.
Les racines a de t(x) sont caractérisées par 2-a = une racine de 1 différente de 1.
Maintenant dans la décomposition de la fraction rationnelle
1/(x-a) + 1/(x- conj(a)) je trouve qu'elle est décroissante hors de l'intervalle ( Re(a) + Im(a) , Re(a) - Im(a) )
comme Re(a) +/- Im (a) = 4 - cos(w) +/- sin(w) il me semble que ça évite [0,1] ?
A vérifier ....
encore des ratas : la partie réelle est bien 2 - cos(w) mais l'imaginaire est +/- sin(w) donc on tombe en plein dans (0,1).
Je voulais signaler une erreur dite dans mon message du 28-08-12 à 09:58. Montrer que et
sont toujours de même signe conclut bien la preuve, mais la convexité de
ne la conclut pas aussi simplement. Tout bonnement parce que la relation dit qu'au moins un des nombres (
ou
) est positif, mais évidemment cela dépend de
(ce que je disais laissait entendre qu'une fois qu'on en a un positif alors ça vaut pour tous les
de
, ce qui est archifaux.....ça pourrait très bien être
qui est positif pour tel
et
pour tel autre
...)!
Je voulais également préciser qu'on peut prouver facilement la convexité de (elle s'écrit simplement comme le produit de deux fonctions convexes). Est-ce que ça peut servir?
Enfin, j'ai pensé à un autre axe. J'ai calculé la valeur de (pour
différent de
). J'obtiens
(n'hésitez pas à vérifier! Je n'ai qu'à moitié confiance dans mon calcul (oui il était tard...
)), qui est strictement positif. Si on arrive à montrer que
est croissante sur
, c'est gagné...
oui en fait j'en suis aussi à ça : f est convexe sur un petit voisinage de 0 qui varie en fonction de n .....
Bonsoir, Foxdevil et lolo271,
@ Foxdevil: à quel produit pense-tu veuillant démontrer la convexité de ? Le produit de deux fonctions convexes n'est pas forcément convexe:
(fg)"(x) = f"(x)g(x) + 2f'(x)g'(x) + f(x)g"(x) est à priori 0
f, g, f' , g'
0.
Montrer que est croissante revient à calculer la troxième dérivée ou bien à utiliser le théorème dit de de l'Hôpital pour la monotonie. Ce qui - vu la complexité des formules obtenues dans les deux cas ( à l'aide de notre cher Wolfram...) et impossible!
Remarque en marge : ...
Bonsoir,
Sauf erreur :
Pour et
(le cas
peut être traité à la main) :
On peut déjà écrire
Pour et
, posons
Un calcul assez laborieux de dérivée seconde donne (Maple confirme), toujours pour :
Ici, tous les termes sont clairement positifs pour , à l'exception du terme
En regardant ce qu'il se passe avec Maple pour quelques cas, on peut conjecturer que le terme compense le terme négatif, rendant le tout positif.
Comme l'a fait remarquer lolo271, il s'agit donc de montrer que sur :
Ce qui s'écrit aussi, avec :
peut se réécrire :
, il suffit donc de montrer que la fonction
est croissante sur
.
En reprenant l'expression "simplifiée" de :
, on obtient, en dérivant
deux fois :
Ici, utiliser la règle de l'Hôpital sur la monotonie permet de faire sauter les au numérateur et au dénominateur, et surtout de pouvoir ensuite simplifier par
, rendant la fraction beaucoup plus simple. Vérification des hypothèses, en posant
et
, en appliquant sur
:
- Clairement
- est strictement positive sur
, en effet
Il suffit donc de montrer que est croissante sur
pour montrer que
l'est.
Après calcul et simplification, qui est croissante, donc
est croissante, donc
est convexe et
est convexe par somme de fonctions convexes.
Ha oui avec Maple, c'est plus simple déjà .
Mais bon je ne minimise pas ton mérite. Simplement, croissante
croissante ? J'ai raté quelque chose ?
Bravo ovn, exception faite des calculs horribles, la démonstration est claire et "simple".
mikomaria: Oui effectivement pour le produit je suis allé un peu vite. Pour l'autre idée de la croissance de f'', il s'agissait de trouver une méthode qui ne passe pas par la dérivée troisième ou alors qui l'utilise sans les calculs lourds impossibles à gérer (notamment l'équation fonctionnelle)...
En tout cas je tiens à remercier tout le monde, qui à bien voulu fructueusement contribuer à ce topic. Je vous dit à très bientôt sur ce forum!
Bonne soirée ovn, Foxdevil, lolo271, Alexique, et Alainpaul!
mikomaria
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