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Corps à 9 éléments

Posté par
H_aldnoer 01-03-08 à 10:47

Bonjour,

je travaille dans le corps \mathbb{F}_3[X]/(X^2+1) dont je montre qu'il est isomorphe à \mathbb{F}_9.
je cherche tous les éléments de \mathbb{F}_9 afin d'écrire X^9-X=\Bigprod_{a\in\mathbb{F}_9} Irr(a,\mathbb{F}_3,X).

j'en trouve aucun!
je note a=s(X) la classe de X.
on B=(1,a) une base de \mathbb{F}_9.

on obtient a^2+1=0 soit a^2=-1=1.
Comment on trouve les autres éléments ?

Posté par
lolo217re : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 10:49

x + y a   où   x   et  y sont quelconques dans  F3 .

Posté par
H_aldnoerre : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 10:53

Ah oui!

Donc je trouve 0,a,2a,1,1+a,1+2a,2,2+a,2+2a
?

Je dois maintenant trouver :
Irr(0,\mathbb{F}_3,X)=X
Irr(a,\mathbb{F}_3,X)=X^2+1

Posté par
lolo217re : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 10:56

euh l'égalité que tu cherches à prouver est fausse X^9-X= produit des (X-z)  où  z  est dans F9 .

Posté par
H_aldnoerre : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 10:57

On a Irr(1,\mathbb{F}_3,X)=X-1.
Je cherche les autres...

Posté par
lolo217re : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 10:57

ou alors  = produit des irréductibles se F3[X] de degré divisant  2 .

Posté par
H_aldnoerre : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 10:59

Euhh.
Soit X^q-X considéré comme élément de \mathbb{F}_3[X] !

Je suis d'accord que comme élément de \mathbb{F}_9[X], on a :
X^9-X=X(X-a)(X-2a)(X-1)...(X-2-2a) car \mathbb{F}_9 est un corps de décomposition de X^9-X.

Posté par
lolo217re : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 11:01

le problème dans ton égalité de départ c'est qu'il ne faut pas répéter plusieurs fois le même polynôme irréductible sur F3 (qui a parfois plusieurs racines dans F9)

Posté par
H_aldnoerre : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 11:02

Oui, mais dis moi lolo, si Q(X)\in\mathbb{F}_3[X] est un facteur irréductible de X^q-X avec q=p^n on a toujours que degQ | n ??

Posté par
lolo217re : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 11:04

oui

Posté par
H_aldnoerre : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 11:04

Citation :
le problème dans ton égalité de départ c'est qu'il ne faut pas répéter plusieurs fois le même polynôme irréductible sur F3 (qui a parfois plusieurs racines dans F9)


Comment j'écris cette égalité alors ?

Posté par
H_aldnoerre : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 11:04

Citation :
le problème dans ton égalité de départ c'est qu'il ne faut pas répéter plusieurs fois le même polynôme irréductible sur F3 (qui a parfois plusieurs racines dans F9)

Comment j'écris cette égalité alors ?

Posté par
lolo217re : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 11:06

produit des irréductibles de F3[X] de degré divisant 2 .(donc degré 2 ou 1)

Posté par
H_aldnoerre : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 11:08

En fait je l'écris comme dans l'autre post :
X^q-X=\Bigprod_{i\in%20I}Q_i(X)

Les Q_i sont nécessairement les polynômes minimaux ?

Posté par
lolo217re : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 11:10

vu qu'ils sont irréductibles unitaires, ce sont des polynômes minimaux oui

Posté par
lolo217re : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 11:11

tu pourrais aussi dire les polynômes minimaux des éléments de F9 mais chacun écrit une seule fois.

Posté par
H_aldnoerre : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 11:16

Ok bon j'essaye de tous les trouver.

déjà
Irr(0,\mathbb{F}_3,X)=X
Irr(1,\mathbb{F}_3,X)=X-1
Irr(2,\mathbb{F}_3,X)=X-2

puis
a^2+1=0 donc Irr(a,\mathbb{F}_3,X)=X^2+1
(2a)^2+1=4a^2+1=a^2+1=0 donc Irr(2a,\mathbb{F}_3,X)=X^2+1

il me reste 1+a,1+2a,2+a et 2+2a et j'ai plus de mal!

Posté par
lolo217re : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 11:20

Le plus direct est de lister les irréductibles : tu as fait ceux de degré 1 :
X, X-1, X-2  dont le produit est de degré 3  .

X2+1  ok, qui est de degré 2 ,
X^2+X-1  aussi  de degré 2
X^2-X -1   aussi de degré 2
3+2+2+2 = 9  donc c'est fini.

Posté par
H_aldnoerre : Corps à 9 éléments 01-03-08 à 11:24

Ok je vois.
J'ai bien compris.

Merci pour ton aide.


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