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Cosinus hyperbolique

Posté par Profil Ramanujan 15-04-19 à 17:58

Bonsoir,

Je bloque sur la question suivante :

Montrer que pour tout x \geq 0 , il existe un unique y \in [0,\dfrac{\pi}{2}[ tel que : ch(x) = \dfrac{1}{\cos(y)}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Cosinus hyperbolique 15-04-19 à 18:04

Bonjour,
Il suffit de justifier que pour tout c dans ]0;1] il existe un unique y dans [0;/2[ tel que cos(y) = c .

Posté par Profil Ramanujanre : Cosinus hyperbolique 15-04-19 à 19:02

On a : ch(x) = \dfrac{1}{\cos(y)} \Leftrightarrow \cos(y) = \dfrac{1}{ch(x)}

Il est évident que ch(x)>0.

Mais comment montre que ch(x) \leq 1 ? Je dois faire une étude de fonction ?

Après il faut utiliser que la restriction de la fonction cos à l'intervalle [tex][[,\pi]/tex] est une bijection ?

Posté par
matheuxmatoure : Cosinus hyperbolique 15-04-19 à 19:18

si tu apprends un peu mieux le minimum vital sur les fonctions de références, tu sauras que ch(x)1 pour tout x réel

Posté par
matheuxmatoure : Cosinus hyperbolique 15-04-19 à 19:20

c'est quand même incroyable de ne pas avoir la courbe de la fonction "ch" en tête !

Posté par Profil Ramanujanre : Cosinus hyperbolique 15-04-19 à 21:53

Ok merci je vais l'apprendre !

0 < ch(x) \leq 1 donc 0 < \dfrac{1}{ch(x)} \leq 1

Or on sait que \forall Y \in [-1,1] , \exists ! y \in [0,\pi] : \cos(y) = Y

\cos(y) = \dfrac{1}{ch(x)}  \Leftrightarrow  y = arcos(\dfrac{1}{ch(x)} )

arcos(0) = \dfrac{\pi}{2} et arcos(1)= 0

Par décroissance de la fonction arcos :

0 \leq  arcos( \dfrac{1}{ch(x)})=y < \dfrac{\pi}{2}

Donc y \in [0, \dfrac{\pi}{2}[

Posté par Profil Ramanujanre : Cosinus hyperbolique 15-04-19 à 21:59

En fait je me suis embrouillé

Comment justifier rapidement que :

0 < \dfrac{1}{ch(x)} par suite il existe un unique y \in [0,\dfrac{\pi}{2}[ tel que \cos(y) =\dfrac{1}{ch(x)}

Posté par
lionel52re : Cosinus hyperbolique 15-04-19 à 22:08

cosinus est une fonction continue et strictement décroissante sur ... etc

Posté par
luzakre : Cosinus hyperbolique 15-04-19 à 23:09

Bonsoir  !
Comment veux-tu qu'on te prenne au sérieux en lisant ça :

Citation :

0 < ch(x) \leq 1 donc 0 < \dfrac{1}{ch(x)} \leq 1


Pour ta question il suffit de prendre y=\arccos\dfrac1{\cosh x}

Posté par
carpediemre : Cosinus hyperbolique 15-04-19 à 23:40

salut

la fonction ch est surjective de R sur [1, +oo[ et paire donc bijective de [0, +oo[ dans [1, +oo[

la fonction cos est bijective de [0, pi/2[ dans ]0, 1] donc son inverse est bijective de [0, pi/2[ dans [1, +oo[

le problème est donc résolu

Posté par
matheuxmatoure : Cosinus hyperbolique 15-04-19 à 23:57

on a beau lui dire deux fois que ch(x) est toujours supérieur à 1 ... il continue contre vents et marées dans son délire...

faut arrêter le tir là !

Posté par
matheuxmatoure : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 00:43

carpediem

même si le résultat de ta première ligne est juste, le "donc" me parait abusif  ...

x4/4 - x²/2 + 1 est surjective de sur [1 ; +[ et paire ... mais pas bijective de [0 ; +[ sur  [1 ; +[

Posté par
carpediemre : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 10:03

je sais !!! j'ai un peu forcé le résultat ... avec des arguments insuffisants (mais F => V est vrai donc tout roule !!!  )

Posté par Profil Ramanujanre : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 11:44

Ok Luzak.
Carpediem, compliquée votre méthode pas compris.

\forall x \in \R : \cosh(x) \leq 1 donc : 0 < \dfrac{1}{\cosh(x)} \leq 1

Par décroissance de la fonction arcos sur [-1,1] :

\arccos(0) > \arccos( \dfrac{1}{\cosh(x)} ) \geq \arccos(1)

D'où : \dfrac{\pi}{2} > y= \arccos( \dfrac{1}{\cosh(x)} ) \geq 0

La fonction arcos est une bijection strictement décroissante de [-1,1] sur [0,\pi] c'est donc une bijection de ]0,1] sur [0,\dfrac{\pi}{2}[

Donc \forall X \in ]0,1] , \exists ! y \in [0,\dfrac{\pi}{2}[ :  y= \arccos( \dfrac{1}{\cosh(x)} )  

Ce qui est équivalent à \forall X \in ]0,1] , \exists ! y \in [0,\dfrac{\pi}{2}[ :  \cos(y)=  \dfrac{1}{\cosh(x)}    

Posté par
lionel52re : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 12:08

Mais en fait... on s'en contrefout de la fonction arcos et de déterminer la valeur de y.

1/ch(x)\in ]0,1] et cos réalise une bijection de [0,\pi/2[ dans ]0,1] exercice terminé

Posté par
carpediemre : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 12:16

c'est bien ce que j'ai dit ...et il y a unicité du couple (x, y) dans les ensembles considérés ...

Ramanujan @ 16-04-2019 à 11:44

Carpediem, compliquée votre méthode pas compris.
c'est bien dommage quand on sait que tu as parlé de bijection dans un autre post il y a .. moins de pas longtemps ...

Posté par
carpediemre : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 12:19

Ramanujan @ 16-04-2019 à 11:44

\forall x \in \R : \cosh(x) \leq 1 donc : 0 < \dfrac{1}{\cosh(x)} \leq 1  doublement faux !!!

Par décroissance de la fonction arcos sur [-1,1] :  on se fout de la décroissante ...

La fonction arcos est une bijection strictement décroissante  :: on s'en fout à nouveau de [-1,1] sur [0,\pi] c'est donc une bijection de ]0,1] sur [0,\dfrac{\pi}{2}[

Posté par Profil Ramanujanre : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 17:50

lionel52 @ 16-04-2019 à 12:08

Mais en fait... on s'en contrefout de la fonction arcos et de déterminer la valeur de y.

1/ch(x)\in ]0,1] et cos réalise une bijection de [0,\pi/2[ dans ]0,1] exercice terminé


Ok merci c'est la méthode la plus simple et la plus rapide !

Posté par
carpediemre : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 17:53

n'est-ce pas ce que j'ai dit ?

maintenant que tu écrire ch x = 1/cos y ou cos y = 1/ch x n'est-ce pas du kifkif au même ?

Posté par Profil Ramanujanre : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 18:50

Non vous avez donné plusieurs argument surjectivité etc...  Ce qui parait bien plus compliqué et fastidieux.

Puis pourquoi parler de la surjectivité de ch(x) et faire l'inverse du cos alors que la bijectivité du cos suffit ?

Posté par
carpediemre : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 19:08

carpediem @ 15-04-2019 à 23:40

la fonction ch est surjective de R sur [1, +oo[ et paire donc bijective de [0, +oo[ dans [1, +oo[

la fonction cos est bijective de [0, pi/2[ dans ]0, 1] donc son inverse est bijective de [0, pi/2[ dans [1, +oo[

le problème est donc résolu

donc non seulement tu ne comprends pas la réponse mais en plus tu ne comprends pas la question
Ramanujan @ 15-04-2019 à 17:58

Montrer que pour tout x \geq 0 , il existe un unique y \in [0,\dfrac{\pi}{2}[ tel que : ch(x) = \dfrac{1}{\cos(y)}
il faut évidemment que les fonctions ch et 1/cos aient le même ensemble image sur les ensembles de définition adéquat

on peut remarquer que pour ch on pouvait prendre R ... mais puisqu'elle est paire il suffit de prendre R+ ...

Posté par Profil Ramanujanre : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 19:56

Désolé je ne comprends pas quel théorème vous utilisez avec les 2 bijections et les mêmes ensemble images. Je n'ai jamais étudié cela.

J'ai besoin d'aller au plus simple.

Posté par
carpediemre : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 20:08

mais bon sang !!!

l'image de l'intervalle [0, +oo[ par la fonction ch est [1, +oo[

l'image de l'intervalle [0,pi/2[ par la fonction cos est ]0, 1]
donc l'image de ce même intervalle par la fonction 1/cos est [1, +oo[

donc puisque les fonctions ch et 1/cos ont même ensemble image cela signifie qu'il existe un x et un y tel que ch x = 1/cos y

épictou !!! (*)


de plus puisque les fonctions ch et 1/cos (sur les ensembles considérés) sont bijectives on peut même conclure que ce x et ce y sont uniques !!!

donc pour tout réel k >= 1 il existe un unique x >= 0 et un unique y de [0, pi/2[ tel que ch x = k et 1/cos y = k donc que ch x = 1/cos y

(niveau seconde) ...

Posté par
carpediemre : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 20:08

carpediem @ 16-04-2019 à 20:08

mais bon sang !!!

l'image de l'intervalle [0, +oo[ par la fonction ch est [1, +oo[

l'image de l'intervalle [0,pi/2[ par la fonction cos est ]0, 1]
donc l'image de ce même intervalle par la fonction 1/cos est [1, +oo[

donc puisque les fonctions ch et 1/cos ont même ensemble image cela signifie qu'il existe un x et un y tel que ch x = 1/cos y

épictou !!! (*)


de plus puisque les fonctions ch et 1/cos (sur les ensembles considérés) sont bijectives on peut même conclure que ce x et ce y sont uniques !!!

(*)  donc pour tout réel k >= 1 il existe un unique x >= 0 et un unique y de [0, pi/2[ tel que ch x = k et 1/cos y = k donc que ch x = 1/cos y

(niveau seconde) ...

Posté par Profil Ramanujanre : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 20:32

J'ai compris en gros mais votre méthode m'est moins intuitive et je la trouve plus difficile.

Par ailleurs, il faut connaître et maîtriser les composées de bijections.

Posté par
carpediemre : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 20:57

alors je ne peux rien pour toi ... si tu ne comprends pas que c'est la même chose que

lionel52 @ 16-04-2019 à 12:08

Mais en fait... on s'en contrefout de la fonction arcos et de déterminer la valeur de y.

1/ch(x)\in ]0,1] et cos réalise une bijection de [0,\pi/2[ dans ]0,1] exercice terminé

Posté par Profil Ramanujanre : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 21:25

Non en effet je ne comprends pas en quoi c'est la même chose. Tant pis.

Posté par
Zrunre : Cosinus hyperbolique 16-04-19 à 21:46

Qu'est ce que la définition d'une bijection ? Pourquoi ça nous intéresse ici ? Voilà les questions que tu doit te poser ...

Posté par
lafol Moderateurre : Cosinus hyperbolique 17-04-19 à 00:48

Bonjour
faudrait déjà colmater les brèches dans les maths de quatrième, là !
pas être foutu capable malgré plusieurs remarques de corriger un truc aussi énorme que

Ramanujan @ 16-04-2019 à 11:44


\forall x \in \R : \cosh(x) \leq 1 donc : 0 < \dfrac{1}{\cosh(x)} \leq 1

c'est grave !
(ok, {\rm ch} x \geq 1, c'est plus terminale que quatrième, mais a < 1 donc 1/a serait lui aussi inférieur à 1, à mon époque quelqu'un qui avait pas compris ça redoublait sa quatrième ...)

Posté par Profil Ramanujanre : Cosinus hyperbolique 20-04-19 à 00:18

Zrun @ 16-04-2019 à 21:46

Qu'est ce que la définition d'une bijection ? Pourquoi ça nous intéresse ici ? Voilà les questions que tu doit te poser ...


Oui j'ai compris la méthode de la bijection du cosinus c'est direct.

Mais Carpediem m'a embrouillé avec sa méthode que je trouve pas naturelle ni intuitive.

Lafol c'était une erreur de frappe j'ai bien compris en regardant la courbe que \forall x \in \R : ch(x) \geq 1

Posté par Profil Ramanujanre : Cosinus hyperbolique 20-04-19 à 00:21

Carpediem montre qu'il existe un x tel que ...

Alors qu'ici on voulait démontrer : "pour tout x supérieur ou égal à 0".

Je ne vois pas en quoi c'est la même chose.

Posté par
matheuxmatoure : Cosinus hyperbolique 20-04-19 à 00:30

de toute façon le problème est évident depuis le départ !

pour tout x réel
ch(x)1
donc
0<1/ch(x)1
donc il existe un unique y de [0;/2[ tel que
cos(y) = 1/ch(x)

un schéma du quart de cercle trigo l'établit sans ambiguïté !

Posté par Profil Ramanujanre : Cosinus hyperbolique 20-04-19 à 00:45

Oui Matheux, c'est direct car la fonction cos qui est décroissante sur [0,\pi] établit une bijection de [0,\dfrac{\pi}{2}[ sur ]0,1]

Posté par
matheuxmatoure : Cosinus hyperbolique 20-04-19 à 00:48

on s'n f*** de la décroissance !

si ça te parait évident, alors pourquoi tant d'échanges ?

Posté par Profil Ramanujanre : Cosinus hyperbolique 20-04-19 à 00:56

La décroissance permet de trouver l'intervalle [0,\dfrac{\pi}{2}[

Il faut inverser les bornes par rapport au ]0,1]


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