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Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 18-06-08 à 00:18

non t'a mal lu...c'est N(0,\sigma^2)

la loi que tu énonces,c'est une loi conditionnelle...

bonne nuit

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 10:23

Bonjour,

donc on a bien que \Large{S_n\sim\mathcal{N}(0,n\times\sigma^2)} ?
Sur le corrigé, je lis \Large{S_n\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2_n)} où \Large{\sigma^2_n=\frac{\sigma^2(n-1)}{n}} !

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 10:31

Voici une autre question :

Si l'on pose \Large{X=(X_1,S_n)}, comment justifier clairement que le vecteur \Large{X} est un vecteur gaussien ?

Si je ne me trompe pas, nous avons l'équivalence suivante : \Large{X_1\,,\,S_n} variables aléatoires gaussiennes indépendantes \Large{\Leftrightarrow}\,\Large{X} vecteur gaussien.

On a \Large{X_1\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)} par l'énoncé. Puis, on montre que \Large{S_n\sim\mathcal{N}(0,n\sigma^2)} (ou \Large{S_n\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2_n)} ?!). Donc ce sont bien des variables aléatoires gaussiennes. Comment montre-t-on l'indépendance ?

Help!

Posté par
stokastikre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 10:43


H_aldnoer, c'est comme je disais : (X_1,S_n) s'écrit comme une fonction linéaire de (X_1, ..., X_n), qui est un vecteur gaussien, donc (X_1,Sn) en est un.

Mais tu n'as pas encore compris quelque chose: les composantes d'un vecteur gaussien ne sont pas nécessairement indépendantes!!!! Justement on donne la matrice de covariance dans la loi d'un vecteur gaussien, qui représente la dépendance. Les composantes d'un vecter gaussien sont indépendantes si seulement si cette matrice de covariance est diagonale. Dans le cas général, elle est symétrique définie positive.

Posté par
stokastikre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 10:44

Dans ton post du 19/06/2008 à 10:23, c'est toi qui a raison.

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 10:51

Citation :
Mais tu n'as pas encore compris quelque chose: les composantes d'un vecteur gaussien ne sont pas nécessairement indépendantes!!!!

Dans mon cours, j'ai ceci :
Si \Large{X=(X_1,\cdots,X_n)} est un vecteur gaussien alors, pour tout \Large{1\le k\le n}, \Large{X_k} est une variable gaussienne.
La réciproque est fausse.
En revanche, nous avons :
Si \Large{X_1},\cdots,X_n sont des variables gaussiennes indépendantes alors \Large{X=(X_1,\cdots,X_n)} est un vecteur gaussien.

Ceci je pense l'avoir bien compris!
La ou j'ai plus de mal c'est dans la détermination de la loi d'un couple de variable aléatoire. Notamment, lorsque tu dis :
Citation :
(X_1,S_n) s'écrit comme une fonction linéaire de (X_1, ..., X_n), qui est un vecteur gaussien, donc (X_1,Sn) en est un.

Peux-tu expliciter la fonction ? Je vois mal ce à quoi tu fais allusion.
On regarde en fait si chaque composante du vecteur peut s'écrire comme combinaison linéaire de variable aléatoire gaussienne ?

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 10:57

Citation :
Dans ton post du 19/06/2008 à 10:23, c'est toi qui a raison.

J'ai remarqué que dans beaucoup de texte, on pose \Large{S_n=\Bigsum_{k=1}^n X_k} où \Large{X_k} est une variable aléatoire qui suit une certaine loi. Existe-il un moyen simple de déterminer la loi de \Large{S_n} ?

Je dis que \Large{S_n} s'écrit comme combinaison linéaire de variable aléatoire gaussienne, donc c'est une variable aléatoire gaussienne caractérisée par son espérance \Large{m} et sa matrice de covariance \Large{\Gamma}.
Il reste donc à calculer \Large{m} et \Large{\Gamma} et à dire que \Large{S_n\sim\mathcal{N}(m,\Gamma)}. Est-ce bien cela ?

Posté par
stokastikre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 10:59

Tu as écrit plus haut qu'il y a équivalence entre vecteur gaussien et v.a. gaussiennes indépendantes!! Es-tu sûr d'avoir compris que ceci es faux ?


Après c'est une question d'habitude avec l'algèbre linéaire.

On a  Je note  X=(X_1, ..., X_n)  mais en colonne. Alors on a  X_1=AX  avec A=(1,0,...,0) et  X_2=BX  avec B=(1,1,...,1). Donc

\begin{pmatrix} \\ X_1 \\ X_2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \\ A\\ B \\ \end{pmatrix}X \\ .


Quant à ta question:

Citation :
On regarde en fait si chaque composante du vecteur peut s'écrire comme combinaison linéaire de variable aléatoire gaussienne ?


oui, une fonction linéaire de R^n dans R^2, c'est sur chaque composante une fonction linéaire de R^n dans R.

Posté par
stokastikre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 11:01

correction: remplacer X_2 par S_n dans mon post précédent

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 11:04

pour 10:23 t'as raison,c'est moi qui ais biglé sur la correction!

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 11:14

Pour ton post de 10:59 :

Citation :
Tu as écrit plus haut qu'il y a équivalence entre vecteur gaussien et v.a. gaussiennes indépendantes!! Es-tu sûr d'avoir compris que ceci es faux ?

Ok, je m'en rends compte maintenant!

Donc si j'ai bien compris écrire que \Large{S_n=BX} signifie que \Large{S_n} est combinaison linéaire de v.a. gaussienne donc est c'est aussi une v.a. gaussienne ?

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 11:24

Citation :
oui, une fonction linéaire de R^n dans R^2, c'est sur chaque composante une fonction linéaire de R^n dans R.

Tu parles sans doute de la fonction \Large{F : \,\,\,\, \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\times\mathbb{R} \\ \,\,\,\, (X_1,\cdots,X_n) \to (X_1,S_n)}.

Cette fonction est clairement linéaire en \Large{(X_1,\cdots,X_n) donc \Large{(X_1,S_n) est un vecteur gaussien ?

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 11:34

Si c'est ok pour 11:14/24, il me reste à déterminer \Large{\mathbb{E}[S_n] et \Large{\mathbb{V}(S_n).

-
On a \Large{\mathbb{E}[S_n]=\Bigsum_{k=1}^n\mathbb{E}[X_k] par indépendance. Or \Large{X_k\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)} d'ou \Large{\mathbb{E}[X_k]=0 et donc \Large{\mathbb{E}[S_n]=0.
-
Plus de mal sur la variance.
On a \Large{\mathbb{V}(S_n)=\mathbb{E}[S_n^2]-(\mathbb{E}[S_n])^2=\mathbb{E}[S_n^2]}.
Je ne vois pas comment calculer \Large{\mathbb{E}[S_n^2].

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 11:36

relis ton post de 11:14...

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 11:48

Euh, \Large{S_n} est une variable gaussienne, donc c'est plutôt une matrice de covariance à calculer ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 11:57

je me pose une question:

dans la correction,il est dit que(X_1,S_n) suit la loi N_2(0,\Gamma)
avec \large \Gamma=\sigma^2\begin{pmatrix}1&1\\1&n\end{pmatrix}

or pour moi, cette matrice se lit ainsi:
les termes diagonauxsont les variance respectivement de \large X_1 puis de \large S_n...
donc je lis que la variance de \large S_n c'est \large n.\sigma^2

et aprés il dit que \large S_n suit la loi \large N(0,\sigma^2_n) avec \large \sigma^2_n=\frac{\sigma^2(n-1)}{n}

quel est le truc que je n'ai pas compris?

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 12:00

J'ai bien le même problème que toi!
Il faudra bien déterminer la loi de \Large{S_n}!

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 12:03

mais en fait je crois qu'on lit mal le corrigé...
H_aldnoer: tu vois quand il dit

----> avec \large \sigma^2_n=\frac{\sigma^2(n-1)}{n} car S_n \sim \large N(0,\sigma^2_n)

le \rm \large \sigma^2_n dans la parenthese du N(..)
ne serait-ce pas \large n.\sigma^2 ???

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 12:09

je crois que c'est ça...sinon j'ai rien compris

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 12:28

Mais regarde ce qu'il a dit stokastik :

Citation :
Dans ton post du 19/06/2008 à 10:23, c'est toi qui a raison.

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 12:33

bon, là je sais plus...j'attend que Stokastik m'éclaircisse...

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 12:50

ok, moi aussi!

Posté par
stokastikre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 12:56

robby3 a très bine lu la matrice à 11:57.


Avec mon post de 10:59 (attention de faire la correction indiquée dans le post suivant), j'ai écrit (X_1,S_n) comme le produit d'une matrice par (X_1,..X_n). Il y a un théorème dans ton cours qui te permet alors de déterminer la loi du vecteur gaussien (X_1,S_n) à partir de celle de (X_1,..X_n). C'est le lemme 2.56 de cette page ouebbe:

Je ne comprends pas pourquoi vous pataugez comme ça. qu'est-ce qui vous bloque ?

Posté par
stokastikre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 12:57

Donc je répète que le \sigma_n du corrigé c'est faux, comme vous le pensiez.

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 13:08

Moi j'ai du mal dans la justification du fait que \Large{(X_1,S_n)} soit un vecteur gaussien.
Il semble que ce soit le cas car chaque composante de ce vecteur est une variable gaussienne.
Pour \Large{X_1}, pas de problème c'est donné par l'énoncé : \Large{X_1}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2).
Pour \Large{S_n}, écrire que \Large{S_n=AX} où \Large{A=(1,\cdots,1) et \Large{X=\begin{pmatrix}X_1\\...\\X_n\end{pmatrix} suffit ?

Posté par
stokastikre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 13:15

Citation :
Moi j'ai du mal dans la justification du fait que  soit un vecteur gaussien.


Désolé mais je ne répéterai pas ce que j'ai déjà dit.

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 13:20

Nous avons une propriété, visiblement très utile,  qui nous dit :
si \Large{X\sim\mathcal{N}(m,\Gamma)} et si \Large{B} est une application linéaire de \Large{\mathbb{R}^n} dans \Large{\mathbb{R}^p} et \Large{b\in\mathbb{R}^p}, alors le vecteur \Large{Y=BX+b} suit la loi \Large{\mathcal{N}(Bm+b,B\Gamma B^t)}.

On a par indépendance que \Large{X=\begin{pmatrix}X_1\\...\\X_n\end{pmatrix}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2I_n)}.
Le vecteur \Large{S_n=AX+0} suit donc la loi \Large{\mathcal{N}(0,A\Gamma A^t)}

On calcule \Large{A\Gamma A^t=n\sigma^2 pour avoir le résultat.
C'est bien ça ?

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 13:32

Ok je comprends mieux le lemme mais j'ai du mal à l'appliquer pour déterminer la loi de \Large{(X_1,S_n)}.

On pose :
\Large{Y=\begin{pmatrix}X_1\\S_n\end{pmatrix}
\Large{X=\begin{pmatrix}X_1\\...\\X_n\end{pmatrix}
\Large{A=\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\end{pmatrix}
\Large{B=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\end{pmatrix}

On a alors \Large{Y=\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}X.
Mais je crois bien que c'est faux car je ne saurai calculer \Large{\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\Gamma\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}^t

Posté par
stokastikre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 13:33

Mais nom d'un chien tu vas arrêter d'isoler Sn ?? On te demande la loi du coupe (X_1,S_n) !!!

Posté par
stokastikre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 13:33

aaaahhhhhhhh ben voilà!

Ensuite, débrouille-toi.

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 13:46

J'essaye pour n=3.

\Large{\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sigma^2&0&0\\0&\sigma^2&0\\0&0&\sigma^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&0\end{pmatrix}^t=\begin{pmatrix}\sigma^2&\sigma^2&\sigma^2\\\sigma^2&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&0\end{pmatrix}^t

Comment on calcule \Large{\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&0\end{pmatrix}^t ?

Posté par
stokastikre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 13:48

Je rêve tu ne sais pas ce qu'est la transposée d'une matrice ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 13:48

c'est la transposée d'une matrice!
la 1er ligne devient la 1er colonne...

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 13:51

Ah ouiiiiii!
Je trouve au final \Large{\sigma^2\begin{pmatrix}n&1\\1&1\end{pmatrix}, quand le prof lui trouve \Large{\sigma^2\begin{pmatrix}1&1\\1&n\end{pmatrix} : c'est grave docteur ?

Posté par
stokastikre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 13:55

Normal l'ami t'as interverti mes matrices A et B dont t'as calculé la loi du couple (S_n,X_1) au lieu de (X_1,S_n)

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 14:00


ah c'est pas mal ça!
bon toute façon,t'as compris le truc

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 14:05

Oufff!
Bon merci à tous, je reviens si je bug dans la suite du problème!

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 14:07

la suite est trés facile

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 14:14

robby, tu utilise après que \Large{f_{S_n}(y)=\Bigint_{\mathbb{R}}f_{(S_n,X_1)}(x,y)dx ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 14:38

attention c'est le couple (X_1,S_n) sinon tu vas trouver un truc à l'envers encore...
sinon oui.(enfin avec les bonnes variables aux bons endroits)

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 14:46

Ok! Donc j'arrive à quelque chose de ce type :
\Large{\frac{1}{2\pi\sigma^2\sqrt{n-1}}exp(-\frac{1}{2\sigma^2(n-1)}y^2)\Bigint_{\mathbb{R}}exp(nx^2-2xy)dx

Comment on calcule ce truc \Large{\Bigint_{\mathbb{R}}exp(nx^2-2xy)dx

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 14:50

attends mais écrit ce que tu as pour f_{(X_1,S_n)}(x,y)...

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 14:50

\large f_{(X_1,S_n)}(x,y)

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 14:53

Euh \Large{f_{(X_1,S_n)}(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma^2\sqrt{n-1}}exp(-\frac{1}{2\sigma^2(n-1)}(nx^2-2xy+y^2))} non ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 14:59

ok mais en fait
\large f_{S_n}(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{n}.\sigma}exp(-\frac{y^2}{2n\sigma^2}

sauf erreur...ça en fait c'est ducours sachant que
\large S_n \sim N(0,\sigma^2.n)

donc à 14:14,la réponse est non

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 15:09

Ok! Bon exercice bouclé, merci encore!

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 15:10

y'a pas de quoi!

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 15:10

c'est surtout Stokastik qu'il faut remercier

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 19-06-08 à 15:16

C'est vrai, c'est sa patience qui en a pris un coup!
Merci vieux!

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