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Couple de variable aléatoire

Posté par
H_aldnoer 13-06-08 à 19:13

Soit \Large{(X_n)_{n\ge 1}} une suite de variable aléatoire et de loi \Large{\mathcal{N}(0,\sigma^2)} avec \Large{\sigma^2>0}. On pose \Large{S_n=X_1+...+X_n}.

Comment montre-t-on que \Large{(X_1,S_n)\sim\mathcal{N}_2(0,\tau)} avec \Large{\tau=\sigma^2\begin{pmatrix}1&1\\1&n\end{pmatrix} ?

Posté par
stokastikre : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 19:49

Hello,

As-tu vu les vecteurs gaussiens en cours (en d'autres termes, les vecteurs aléatoires qui sont distribués selon une loi normale multivariée), où on t'a juste balancé la densité de la loi normale multivariée ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 19:56

Salut tout deux!

\large Var(X_1)=\sigma^2 \\ Var(S_n)\sigma^2.n

ceci te donne la diagonale de la matrice de dispersion.

le reste c'est la covariance sauf erreur,cad \large E(S_n.X_1)=E(X_1.S_n)

S_n est gaussien donc le couple de variable aléatoire (S_n,X_1) est gaussien
sauf erreur.

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 20:12

Bonsoir,

Citation :
As-tu vu les vecteurs gaussiens en cours (en d'autres termes, les vecteurs aléatoires qui sont distribués selon une loi normale multivariée), où on t'a juste balancé la densité de la loi normale multivariée ?

Oui, la dernière partit de mon cours y est consacrée.
L'introduction parle de la loi normale \Large{\mathcal{N}(m,\sigma^2)}. Ensuite j'ai la définition suivante :
\Large{X\in\mathbb{R}^n} est un vecteur gaussien ssi toute combinaison linéaire de ses coordonées est une variable aléatoire Gaussienne.

Citation :
ceci te donne la diagonale de la matrice de dispersion.

Qu'est-ce que la matrice de dispersion ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 20:35

la matrice de covariance,ton \large \Gammasi tu preferes

Posté par
stokastikre : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 20:37

Bref ici un seul résultat de la théorie des vecteurs gaussiens te permet de résoudre l'exercie.

C'est le résultat qui donne la loi de AZ où Z est un vecteur gaussien et A une matrice. Tu vas l'utiliser avec Z=(X_1, \ldots, X_n)^{t} et A la matrice telle que AZ=(X_1, S_n)^{t}.

Posté par
stokastikre : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 20:39

... ou en effet tu peux procéder comme robby3 et déterminer un par un les coefficients de la matrice de (X_1,S_n)^{t}. Mais dans le fond tu feras les mêmes calculs qu'avec ma matrice A.

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 20:46

je vous laisse y'a le match

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 22:44

Ah oui ok!
Je vois c'est \Large{\tau= \begin{pmatrix}\mathbb{E}[X_1] & cov(X_1,S_n)\\cov(S_n,X_1) & \mathbb{E}[S_n]\end{pmatrix}

Mais comment on calcule \Large{cov(X_1,S_n)} ?
(allez les bleus ?)

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 22:46

non plutot les variance sur la diagonale principale
et \rm \large Cov(X_1,S_n)=E(X_1.S_n) car E(X_1)=E(S_n)=0

j'ai déjà marquer à 19:56.

j'espere qu'il ont prévu le billet d'avion suisse/france pour mardi!

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 22:53

Ok!
Mais comment calcule-t-on \Large{\mathbb{E}[X_1S_n]} ?

(Msn?)

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 22:58

tu multiplies X_1 par S_n

tu vois que E[X_1^2]=\sigma^2
parce que tu peux remarquer que E[X_1X_2]=0....E[X_1X_n]=0...
tu le vois facilement en considérant les couples de var correspondant et leur matrice de dispersion.
(sauf erreur)

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 23:04

Si je ne me trompe pas :
\Large{\mathbb{E}[X_1S_n]=\mathbb{E}[X_1^2]+\mathbb{E}[X_1X_2]+...+\mathbb{E}[X_1X_n]}.

Puisque \Large{X_k\sim\mathcal{n}(0,\sigma^2)} on a \Large{\mathbb{E}[X_k]=0} et \Large{\mathbb{V}[X_k]=\sigma^2}.
Or \Large{\mathbb{V}[X_k]=\mathbb{E}[X_k^2]-(\mathbb{E}[X_k])^2}.
D'où \Large{\mathbb{E}[X_k^2]=\sigma^2.

En particulier \Large{\mathbb{E}[X_1^2]=\sigma^2.
Ok ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 23:06

oui mais devant le\large (0\sigma^2) y'a un n en trop non?

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 23:10

Ah oui, c'est un \Large{\mathcal{N}} plutôt.
Par contre je ne vois pas comment calculer \Large{\mathbb{E}[X_1X_2]}.

J'essaye de regarder la loi de \Large{(X_1,X_2)} ?
J'ai \Large{\tau=\begin{pmatrix}\sigma^2&\mathbb{E}[X_2X_1]\\\mathbb{E}[X_1X_2]&\sigma^2\end{pmatrix}.
Après je vois pas pourquoi \Large{\mathbb{E}[X_1X_2]=0}.

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 23:14

tu sais que X_1 et X_2 suivant la meme loi N(0,\sigma^2)
(tu as oublié de dire qu'elles étaient indépendantes)
donc le couple (X_1,X_2) est gaussien,comme X_1 et X_2 sont indépendantes, leur matrice de dispersion est diagonale...donc sauf erreur:
E[X_1,X_2]=0
(sauf erreur d'interprétation)

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 23:19

\Large{X=(X_1,X_2)} est une variable aléatoire gaussienne car combinaison linéaire de variable aléatoire gaussienne ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 23:26

Citation :
(X_1,X_2)est une variable aléatoire gaussienne car combinaison linéaire de variable aléatoire gaussienne ?

>euhh...y'a pas de combinaison linéaire là???

soit tu parle de var gaussiennes, soit de Vecteurs Gaussiens...
Dans le deuxieme cas, c'est ton message de 23:12...

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 23:29

Ok!
Si on a une question : \Large{X} est-il un vecteur Gaussien ?
Il faut regarder si toutes combinaisons linéaires de ces coordonnées est une variable aléatoire Gaussienne ?

Donc on regarde si la v.a.r \Large{aX_1+bX_2 est une v.a.r gaussienne ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 23:35

euh oui...

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 23:40

Et comment fait-on ?
Avec la fonction de répartition ?

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 23:40

(j'y suis sur msn!)

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 23:44

je comprend pas, tu veux faire quoi là???

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 13-06-08 à 23:47

J'aimerais montrer que \Large{X=(X_1,X_2)} est un vecteur Gaussien.

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 14-06-08 à 11:01

si tu veux montrer que (X_1,X_2) est un vecteur gaussien,regarde X_1+X_2...

Posté par
stokastikre : Couple de variable aléatoire 14-06-08 à 12:13

H_aldnoer, oui à ton post du 13/06/2008 à 23:29. Mais souvent en pratique, si on te demande de montrer que (X_1,X_2) est un vecteur gaussien, tu auras quelque part dans l'énoncé un vecteur gaussien donné (Z_1,Z_2) (classiquement des va. normales indépendantes, le plus "simple" des vecteurs gaussiens), et il s'agira pour toi d'exprimer (X_1,X_2) comme une fonction linéaire de (Z_1,Z_2) (ou simplement de remarquer que c'est comme ça), ce qui montre que (X_1,X_2) est aussi un vecteur gaussien.

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 15-06-08 à 12:24

Bonjour,

donc ici, puisque \Large{X_1,X_2\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2), ceci est une condition suffisante  pour que \Large{X=(X_1,X_2) soit un vecteur gaussien. Est-elle nécessaire ?

Ensuite je n'arrive toujours pas à comprendre comment déterminer \Large{\mathbb{E}[X_1X_2].

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 15-06-08 à 22:30

Une question que je me suis posé aujourd'hui au travail : comment trouve-t-on la loi de \Large{S_n} ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 15-06-08 à 23:10

Citation :
Une question que je me suis posé aujourd'hui au travail

>
(j'imagine!!)

S_n est CL entiere de var indépendantes gaussiennes donc c'est une var gaussienne caractérisé par son espérance et sa variance...

bonne nuit

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 16:54

Citation :
S_n est CL entiere de var indépendantes gaussiennes donc c'est une var gaussienne caractérisé par son espérance et sa variance...

C'est dans le cours ?
Ou est-ce un résultat ?

Comment se démontre-t-il ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 16:58

c'est dans le cours je crois bien!!
chapitre sur les vecteurs gaussiens,2/3 premieres pages

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 17:08

J'ai pas trouvé dans le cours!
On parle de combinaison linéaire uniquement dans la définition du vecteur gaussien.
Tu es sûr ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 17:12

bah oui,tu peux considérer S_n comme un vecteur Gaussien non?

S_n=B.X
ou X=(X1,...,X_n)
et B c'est une application linéaire de matrice (1,1....,1)
ou y'a n 1.

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 17:28

Tu écris \Large{S_n=\begin{pmatrix}1&\cdots &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X_1\\\cdots \\X_n\end{pmatrix} avec \begin{pmatrix}X_1\\\cdots \\X_n\end{pmatrix} un vecteur gaussien ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 17:30

oui

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 17:30

c'est autorisé par la CIA ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 17:30

et là y'a un théoreme du cours(à la fin avant ficher,student et compagnie..) qui donne la loi suivit par S_n

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 17:31

Citation :
c'est autorisé par la CIA ?

>non mais la NSA a dit que c'était ok

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 17:37

Citation :
et là y'a un théoreme du cours

Je le vois pas!
Le théorème juste avant le V- Chi Deux, Student, Fisher ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 17:44

oui oui!!
c'est un truc du genre...X suit la loi N_n(m,\Gamma)
B une application linéaire de R^n dans R^p
alors Y=BX+b
suit la loi N_p(Bm+n,B\Gamma.B^t)

ici B c'est (1,....,1)et b=0

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 17:45

erratum:N_p(Bm+b) pardon
(et b\in R^p)

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 17:58

Ah ouiiii!
Et ici, \Large{Bm+b=0} et \Large{B\tau B^t=\begin{pmatrix}1&...&1\end{pmatrix}\sigma^2\begin{pmatrix}1&...&1\end{pmatrix}^t c'est bien ça ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 18:05

euhhh va y'avoir un soucis là...non?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 18:09

au milieu don \sigma^2, ça doit etre une matrice nXn \Gamma diagonale avec pour termes diagonaux que des \sigma^2 car c'est la matrice de covariance de X=(X_1,...,X_n) et les X_isuivent la loi N(0\sigma^2) et sont indépendantes.
(sauf erreur)

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 18:22

On a que, pour tout \Large{k}, \Large{X_k\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)}.
Par indépendance, le vecteur \Large{X=\begin{pmatrix}X_1\\...\\X_k\end{pmatrix} est gaussien.
On détermine sa loi par son espérance \Large{m=\mathbb{E}[X]=0} et sa matrice de covariance. Celle-ci est diagonale, toujours pas indépendance, soit \Large{\tau=\begin{pmatrix}\sigma^2&\cdots&0\\0&\cdots&0\\0&\cdots&\sigma^2\end{pmatrix}.
Donc \Large{X\sim \mathcal{N}(0,\tau).
J'ai du mal à comprendre l'égalité \Large{B=(1\cdots1). \Large{B} est censé être une application linéaire! Ici, elle va de quoi dans quoi, et elle associe quoi à quoi ?

Ensuite, si \Large{b=0}, alors \Large{Y=BX+b=BX=(X_1+...+X_n)=(S_n)} suit la loi \Large{\mathcal{N}(Bm+b,B\tau B^t).
On détermine :
\Large{Bm+b=0
\Large{B\tau B^t=n\sigma^2

D'ou \Large{S_n\sim\mathcal{N}(0,n\sigma^2).

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 18:36

oui, il me semble que j'ai fais comme ça!

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 19:06

Ok, c'est déjà plus clair.
Y'a encore un truc : comment trouve-t-on que \Large{\mathbb{E}[(X_1,S_n)]=0 ?

Posté par
robby3re : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 19:09

(X_1,S_n) est un vecteur gaussien non,
on l'a pas déjà fait ça??

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 19:20

Euh, c'était pour \Large{\mathbb{E}[X_1X_2]=0 plutôt non ?
Je ne vois pas coment déterminer l'espérance du couple, bien que je me doute qu'il faille trouver 0 !

Posté par
H_aldnoerre : Couple de variable aléatoire 17-06-08 à 23:31

Euh, juste, dans le corrigé il trouve que \Large{S_n=\mathcal{N}(0,\frac{\sigma^2(n-1)}{n}) ?!?

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