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couple de variables aléatoires

Posté par
robby3 09-02-08 à 23:43

Bonsoir tout le monde,je vous soumet un exo qui me pose beaucoup de difficulté...

Soit (X,Y) un couple de variable aléatoires réelles de densité de probabilité
f_{X,Y}(x,y)=a.|x||y|.1_{\{(x,y)\in D\}

ou a>0
et \rm D=\{(x,y)\in R^2/ |y|\le 1 et |x|+|y|\le 1 \}

1)trouver a afin que (X,Y) suive une loi de proba
2)les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes?
3)Déterminer les lois marginales,les espérances et variances de X et Y
4)Calculer la covariance entre X et Y puis conclure.


j'arrive meme pas à faire la 1)
pour le reste j'ai quelques idées mais bon...


ps: j'ai de bonnes raisons de croire que c'est le genre d'exercice typique qui va tomber au ds,donc j'aimerais bien le comprendre

MERCI d'avance de vos explications

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 00:01

(je vais dormir,je reviens demain dans la soirée)

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 12:28

re,
pour la 1) je sais qu'il faut que:
\rm \\ \Bigint_D a.|x||y|.1_{(x,y)\in D}dx.dy=1

c'est en fait ceci que j'arrvie pas à faire,la suite,je pense pouvoir m'en sortir...

Posté par
kaiser Moderateurre : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 13:25

Salut robby

C'est une petite intégrale double à calculer.
L'intégrale se fait sur un carré. Utilise les symétries du domaine D et la parité de la fonction intégrée pour te ramener à l'intégrale sur un domaine plus petit.
Autre chose : dans la définition du domaine D, je crois que le "|y| inférieur à 1" est en trop : l'autre inégalité implique celle-ci (dans ton premier message, tu pourrais revérifier la définition de D , s'il te plaît?)

Kaiser

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 20:59

Salut Kaiser,
je t'assure que D est bien comme je l'ai défini dans mon 1er message.

est ce que j'ai une double intégrale sur [0,1]?

Posté par
kaiser Moderateurre : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 21:48

la fonction à intégrer est "paire par rapport à chacune de ses variables" et D est symétrique par rapport aux deux axes de coordonnées donc ton intégrale sur D est égale à 4 fois l'intégrale de la même fonction sur un quart du carré (mettons, celui qui se trouve dans le domaine des x et y positifs).
Ensuite, tu intègres : x varie entre 0 et 1 et y, entre 0 et 1-x.

Kaiser

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 22:39

\rm \large \\ 4.\Bigint_0^1 \Bigint_{0}^{1-x} a.|x|.|y| dx.dy=4a.\Bigint_0^1 x (\Bigint_0^{1-x} y dy) dx

je finis par trouver a=6.

Posté par
kaiser Moderateurre : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 22:50

Je trouve la même chose que toi.

Kaiser

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 22:53

si j'ai bien compris ce que tu as dit Kaiser,on a:

\rm \large \Bigint_D a.|x|.|y| dx.dy= \\ 4.\Bigint_0^1 \Bigint_0^{1-x} a.x.y dx.dy= \\ 4a.\Bigint_0^1 x (\Bigint_0^{1-x} y dy) dx=4a.\Bigint_0^1 x \frac{(1-x)^2}{2} dx=2a.\Bigint_0^1 (x^3-2x^2+x) dx=\frac{a}{6}

sauf erreur de calcul.

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 22:55

ahh pardon Kaiser,j'avais pas vu!
pour montrer qu'elles sont indépendantes,faut que je montre que la densité de (X,Y) est égale au produit des lois marginales de X et de Y.
c'est bien ça?

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 22:59

je fais ceci:
\rm \large f_X(x)=\Bigint_D 6.|x|.|y| dy
ais-je le droit de me restreindre comme précédemment?
je pense que non mais ça m'arrangerait bien parce là sinon je vois pas trop comment faire.

Posté par
kaiser Moderateurre : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 22:59

J'ai l'impression qu'elles ne le sont pas justement. De plus, tu ne peux pas parler des lois marginales maintenant : on t'en parle qu'à la question 3.

Essaie plutôt de montrer qu'elles ne sont pas indépendantes en exhibant un contre-exemple.

Kaiser

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 23:00

ahh mince!!
un contre-exemple...
en choisissant des valeurs de X et de Y ??
ou bien des densités de X et de Y ??

Posté par
kaiser Moderateurre : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 23:08

Citation :
ahh mince!!
un contre-exemple...
en choisissant des valeurs de X et de Y ??
ou bien des densités de X et de Y ??


Plutôt en choisissant des valeurs a et b telles qu'on ait :

\Large{\mathbb{P}(X\leq a,Y\leq b)\neq \mathbb{P}(X\leq a)\mathbb{P}(Y\leq b)}

Kaiser

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 23:15

ce sont des densités ça Kaiser non?

je sais pas si j'ai saisi,j'essaye un truc:

je prend

\rm f_X(x)=|x| si x\in D \\ =0 sinon \\ \\ f_Y(y) de meme. \\ Alors: f_X(x).f_Y(y)=|x|.|y| si x et y\in D alors que f_{(X,Y)}(x,y)=6|x|.|y|

est-ce que ça marche ça??

Posté par
kaiser Moderateurre : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 23:18

non, ça ne marche pas : le domaine D "dépend" de x et y (dire "x appartient à D" n'a pas de sens : D est un ensemble de couples, pas de réels).

Kaiser

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 23:23

humm ok.
faut trouver a et b tel que f_{(X,Y)}(a,b)\neq f_X(a).f_Y(b)??

Posté par
kaiser Moderateurre : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 23:25

non, pas les densités : regarde plutôt ce que j'ai écrit à 23h08.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 23:29

En fait, intuitivement, X et Y ne sont pas indépendantes car l'ensemble sur lequel leur densité jointe n'est pas nulle n'est pas un pavé : X et Y ne peuvent pas varier librement à cause de la condition \Large{|X|+|Y|\leq 1} p.s.

Kaiser

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 23:32

ces ont des fonctions de répartitions!


sachant que P(X\le a)=F_X(a)

et que F_X(a)'=f_X(a)

il faut que je trouve a(et b) pour qu'on est le truc de ton post de 23:08??

Posté par
kaiser Moderateurre : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 23:34

oui

Posté par
kaiser Moderateurre : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 23:37

En même temps, je te donne deux conseils pour trouver a et b :

1) ne vas chercher midi à quatorze heures
2) essaie de faire le moins de calcul possible.

Kaiser

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 23:39

Bon j'arrive pas,je rééssaiyeré demain!
Merci bien de m'avoir débloquer déjà!!

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 23:40

j'avais pas vu 23:37...

il doit y avoir du 0 et du 1 par là sans doute mais bon je vois pas du tout alors je prefere remettre ça à demain plutot que de m'énervé dessus
c'est pas bon de s'énerver avant d'aller au lit

Posté par
kaiser Moderateurre : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 23:42

Bon, OK, comme tu veux !
Bonne nuit !

Kaiser

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 10-02-08 à 23:43

Bonne nuit!!
A demain si tu as un ti peu de temps!

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 12-06-08 à 15:06


please...

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 12-06-08 à 15:27

peut-on m'expliquer le message de Kaiser du 10/02/08 à 23:29 s'il vous plait.

sinon une idée pour les valeurs de a et b dont Kaiser parle le 10/02/2008 à 23:08??

Posté par
stokastikre : couple de variables aléatoires 12-06-08 à 21:38

Citation :
peut-on m'expliquer le message de Kaiser du 10/02/08 à 23:29 s'il vous plait.


Si X prend ses valeurs dans [a,b] et Y dans [c,d] et si X et Y sont indépendantes, alors le couple (X,Y) prend ses valeurs dans tout le "pavé" [a,b]\times[c,d].

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 12-06-08 à 21:49

D'accord Stokastik.

sinon si tu as un peu de temps, j'ai pas compris l'histoire de choisir a et b...

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 12-06-08 à 21:54

parce qu'en fait si je reprend on est en à la question 2)
et Kaiser a vu que les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendnates donc faut que je le montre en choisissant a et b tel que \large P(X\le a,Y\le b)\neq P(X\le a)P(X\le b)

Posté par
stokastikre : couple de variables aléatoires 12-06-08 à 21:58

Ben tu prends à peu près n'importe quoi, par exemple a=1/2 et b=1/2, tu montres que \mathbb{P}(X\leq a,Y\leq b)\neq \mathbb{P}(X\leq a)\mathbb{P}(Y\leq b)} en calculant les 2 membres, mais tu as bseoin de la question 3 pour calculer le membre de droite.

Mais bof, ce que je disais dans mon post précédent suffit à démontrer rigoreusement qu'il n'y a pas indépendance (ce n'est pas seulement "intuitif" comme disait kaiser, car la densité d'un couple de v.a. indépendantes est le produit des densités marginales)

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 12-06-08 à 22:04

Citation :
la densité d'un couple de v.a. indépendantes est le produit des densités marginales

>oui!

Citation :
ce que je disais dans mon post précédent suffit à démontrer rigoreusement qu'il n'y a pas indépendance

Citation :
Si X prend ses valeurs dans [a,b] et Y dans [c,d] et si X et Y sont indépendantes, alors le couple (X,Y) prend ses valeurs dans tout le "pavé"[a,b] X [c,d]

>comment cela suffit-il ??

Posté par
stokastikre : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 07:20

Tu vois bien que D n'est pas un pavé (faire un dessin...)

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 11:15

Citation :
Tu vois bien que D n'est pas un pavé (faire un dessin...)

>pour moi D est un carré...un carré c'est pas un pavé??

Posté par
lafol Moderateurre : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 11:17

Bonjour
j'espère ne pas dire n'importe quoi, mais il me semble que par exemple P(X < -0.75, Y < -0.75) est nulle (domaine complètement extérieur à D), alors que P(X<-0.75) et P(Y<-0.75) ne le sont pas (pas besoin de les calculer pour voir qu'elles sont non nulles, on intègre une fonction positive)

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 11:23

Bonjour lafol...
tu me montres que pour a=-0.75 et b=-0.75 P(X\le a;Y\le b)\neq P(X\le a).P(Y\le b) ?? \\

Posté par
lafol Moderateurre : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 11:28

il me semble, mais si les pro pouvaient confirmer....

Posté par
lafol Moderateurre : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 11:29

entre pavé et carré, il y a une question d'orientation : le pavé auquel stokastik fait allusio a ses côtés parallèles aux axes, alors que D est "posé sur une pointe"

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 11:29

ok,merci...
et sinon pourquoi D n'est pas un pavé?

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 11:32

Mais je crois que j'ai mal fait mon dessin alors...
D c'est bien un carré ou les mileiux de ses cotés se coupent en O non?

Posté par
lafol Moderateurre : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 11:37

Sépare le plan en 4 quadrants
dans le premier (en haut à droite), x et y positifs, donc on a y < 1-x : on reste sous la droite d'équation y = 1-x, oblique passant par les points A(1,0) et B(0,1)
dans le deuxième (en haut à gauche), x négatif et y positif, donc on y < 1+x : on reste sous la droite d'équation y = 1+x, oblique passant par B et C(-1, 0)
etc.
au final D est le carré ABCd avec d(0,-1)

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 11:44

ahh d'accord...oui,je vois mieux là!!

Citation :
D est "posé sur une pointe"

>??
parce que mon carré est "penché" c'est pas un pavé?
c'est quoi la définition de pavé??
je trouve pas sur wikipédia!

Posté par
lafol Moderateurre : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 11:47

stokastik l'a bien mis entre guillemets
c'est une intersection entre une bande horizontale (y compris entre c et d) et une bande verticale (x compris antre a et b)

Posté par
stokastikre : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 11:48

Citation :
Bonjour
j'espère ne pas dire n'importe quoi, mais il me semble que par exemple P(X < -0.75, Y < -0.75) est nulle (domaine complètement extérieur à D), alors que P(X<-0.75) et P(Y<-0.75) ne le sont pas (pas besoin de les calculer pour voir qu'elles sont non nulles, on intègre une fonction positive)


Oui j'avais pensé à chercher un truc du genre mais j'avais (et j'ai encore) la flemme de réfléchir à la tête de D.

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 11:50

D'accord Lafol!

donc je peux réfléchir à la question 3)??

Posté par
stokastikre : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 11:50

Citation :
stokastik l'a bien mis entre guillemets


Pas besoin de guillemets, on dit bien pavé en maths et c'est formellement défini comme le produit de deux intervalles (je crois)

Posté par
lafol Moderateurre : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 11:57

stokastik : D est la boule unité pour la norme 1, on peut considérer ça comme une figure "classique", non ?

Posté par
robby3re : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 11:59

voilà ce que j'ai:

\large f_X(x)=\Bigint a.|x|.|y| 1_{(x,y)}(x,y)dy=a.|x|\Bigint_D |y| dy=a.|x|\Bigint_{\{|y|\le 1-|x|\}}|y|dy

il faut que je calcule 4 integrales??
selon les positions de x et de y...

Posté par
lafol Moderateurre : couple de variables aléatoires 13-06-08 à 12:08

tu peux utiliser des symétries

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