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Niveau école ingénieur
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Couple de variables aléatoires

Posté par
mi9dam
12-06-22 à 01:31

Salut tout le monde..
J'ai du mal à trouver l'espérance d'une variable aléatoire...
Voilà les données:
Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires réelles à valeurs entières  dont la fonction génératrice la suivante:

$G_{X,Y}(u,v) = \frac{(u+v)}{2e^2}e^{(u+v)}$


QUESTIONS
1 - Calculer la loi de proba du couple (X,Y)
REPONSE : $f_{X,Y}(x,y) = \frac{x+y}{2{e^2}x!y!}$, pour tout entier (X,Y)
PS: j'ai utilisé le développement limitée de fonction exponentielle...

2- Calculer loi marginale de X. Calculer l'espérance et la variance de X.
REPONSE : $f_X(x)= \frac{e(x+1)-1}{2e^2x!}$, pour tout entier x

$E(X) = \frac{3}{2}$ et $V(X) = \frac{5}{4}$
PS : l'espérance et la variance de X je l'ai calculé à partir de la fonction génératrice par dériver la fonction par rapport à $u$ et puis calculer la valeur de dérivée en donnant  $(u,v) = (1,1)$. MÊME chose pour la variance...

Le problème commence dès cette question...
3 - Calculer l'espérance et la variance de $Z = \frac{1}{1+X}$.

SVP j'ai besoin de vos aides.... des indications pour trouver la réponse ou des réponses suggérées....
Merci en avance.

Posté par
Zrun
re : Couple de variables aléatoires 12-06-22 à 10:54

Bonjour,

Connais-tu le théorème de transfert ?

Posté par
mi9dam
re : Couple de variables aléatoires 12-06-22 à 14:25

Zrun

Oui en fait, j'ai utilisé le théorème pour calculer l'espérance ça vaut : E(Z)=\frac{e-1}{2e}, mais pour la variance j'ai rencontré des difficultés de calculer E(Z^2), sachant que la variance est égale à : V(Z) =  E(Z^2) - E(Z)^2.
Je suis bloqué ici :


 \\ E(Z^2) = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{k+1})^2(\frac{e(k+1)-1}{2{e^2}k!}) = \frac{e}{2e^2}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)^2}\frac{(k+1)}{k!} - \frac{1}{2{e^2}}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)^2}\frac{1}{!k}=\frac{e}{2e^2}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{2{e^2}}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)(k+1)}\frac{1}{k!}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2{e^2}}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)}\frac{1}{(k+1)!}
 \\
J'arrive pas à calculer cette expression : \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)}\frac{1}{(k+1)!}
Quelques idées SVP!

Posté par
Ulmiere
re : Couple de variables aléatoires 12-06-22 à 14:33

J'ai pas vérifié ton calcul, mais calcule de deux façons la dérivée de la série entière

\begin{array}{lcl}
 \\ e^z - 1 - z &=& \sum_{k=2}^\infty \dfrac{z^{k}}{k!}\\
 \\ &=& \sum_{k=1}^\infty \dfrac{z^{k+1}}{(k+1)!} ?
 \\ \end{array}

Ensuite, après t'être assuré que tu as le droit de le faire, évalue en z=1 la dérivée que tu auras calculée

Posté par
Ulmiere
re : Couple de variables aléatoires 12-06-22 à 14:34

erratum: pas dérivée, au contraire il s'agit d'intégrer !

Posté par
mi9dam
re : Couple de variables aléatoires 12-06-22 à 15:05

Ulmiere

Je sais le développement limitée de l'exponentielle, mais le problème que j'ai rencontré c'est dans le calcule de cette somme.

\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)}\frac{1}{(k+1)!}

Idées?!

Posté par
Ulmiere
re : Couple de variables aléatoires 12-06-22 à 15:43

Je t'ai déjà dit comment faire, que veux-tu de plus ?

Posté par
mi9dam
re : Couple de variables aléatoires 12-06-22 à 16:26

Ulmiere

Merci Beaucoup Monsieur pour tes explications et pardonnez-moi parce que je ne suis pas familiariser avec la notion de l'intégration des séries entières... maintenant à l'aide de vos indications j'ai recherché cette nouvelle notion est je sais comment elle fonctionne...
Merci encore une fois Monsieur....

Posté par
Ulmiere
re : Couple de variables aléatoires 12-06-22 à 16:50

De rien, j'espère que t'as bien compris le truc

Posté par
mi9dam
Fonction génératrice 12-06-22 à 20:44

Salut tout le monde...
Soit un couple de variables aléatoires (X,Y) réelles à valeurs entières et Supposons qu'on la fonction génératrice de ce couple G_{X,Y}(u,v)
À partir de cette fonction génératrice on peut trouver la fonction génératrice de chaque variable soient G_X(u) et G_Y(v).
Ils me demande de trouver la fonction génératrice de Y sachant X, G_{Y|X}(u,v).
Question:
Est-ce que j'ai le droit de calculer cette fonction génératrice de G_{Y|X}(u,v) comme suit:
G_{Y|X}(u,v) = \frac{G_{X,Y}(u,v)}{G_X(u)}?
Si oui, existe-elles des conditions?
Si non, existe-elles d'autres méthodes?
PS: le passage de la fonction de masse conditionnelle de f_{Y|X}(y|x) à la fonction génératrice G_{Y|X}(u,v) est très compliqué...
Merci en avance.

*** message déplacé ***

Posté par
Ulmiere
re : Fonction génératrice 12-06-22 à 21:37

Je suppose que tu parles de la fonction génératrice des moments, t\mapsto t^X ?

Cette définition n'a pas toujours de sens. Il se trouve que si X est une v.a réelle positive ou infinie p.s, alors la série entière en question a un rayon de convergence \geqslant 1, mais c'est à peu près tout ce qu'on peut dire en général. Les reste évidemment dépend de la loi de X.

Ici, tu parles de la génératrice de (X,Y), il faut nous en donner la définition, parce qu'il y en a plusieurs qui se tiennent, en fonction du support de X et de Y.

Aussi, tu dis que X et Y sont à veleurs entières, mais tu veux dire entiers naturels ? ou entiers relatifs ? ou de Gauss ? Est-ce que P(X = 0) > 0 ?

*** message déplacé ***

Posté par
mi9dam
re : Fonction génératrice 12-06-22 à 22:34

Ulmiere

Les 2 V.A sont à valeurs entières naturelles car la fonction de masse de ce couple contient le factoriel:
f_{X,Y}(x,y)=\frac{x+y}{2{e^2}x!y!} j'ai dérivé cette fonction à partir de la fonction génératrice du couple.
De plus la fonction de masse marginale de X est la suivante:
f_X(x)=\frac{e(x+1)-1}{2{e^2}x!} donc P(X=0)>0

*** message déplacé ***

Posté par
mi9dam
re : Fonction génératrice 12-06-22 à 23:12

Ulmiere

J'ai remarqué qu'il y a un erreur au niveau de la fonction de masse de probabilité marginale de X, un petit erreur qui a une grande incidence sur le reste de l'exercice....
Voilà la fonction de masse marginale de X après correction:
Pour tout entier naturel x,

f_X(x)=\frac{x+1}{2ex!}

Après correction je viens à déterminer la fonction génératrice de Y sachant X.
Merci beaucoup pour tes instructions Monsieur Ulmiere.
C'est grâce à vous que j'ai trouvé l'erreur.

*** message déplacé ***

Posté par
carpediem
re : Fonction génératrice 13-06-22 à 12:20

salut

c'est dommage de ne pas poursuivre ici Couple de variables aléatoires puisque c'est la suite ...

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : Couple de variables aléatoires 14-06-22 à 07:57

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?



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