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Cube..produit scalaire!

Posté par
mawii 09-12-07 à 23:37

Bonjour!! Je vous demande un peu d'aide sur cet exercice de produit scalaire que je n'arrive pas a faire...merci de vouloir m'aider!


ABCDEFGH est un cube d'arête 1. L'espace est muni du repère orthonormal (A,\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}). On désigne par a un réel strictement positif.
L, M et K sont les points définis par :
  
\vec{AL}=a\vec{AD},\vec{AM}=a\vec{AB}et\vec{CK}=a\vec{CG}
1) a)Calculer le produit scalaire \vec{EM}·\vec{EL}
b) en déduire en fonction de a, cos \widehat{(MEL)}
c)endeduire que sin (MEL)= \frac{a\sqrt{a^2+2}}{1+a^2}
d)Calculer l'aire du triangle ELM
e)demontrer que la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM)

2)On note P le projeté orthogonal de A sur le plan (ELM)

Démontrer que \vec{AM}·\vec{AK} = \vec{AP}·\vec{AK} les vecteurs \vec{AP} et \vec{AK} etant colinéaires on note,  le réel tel que \vec{AP} = \vec{AK}
demontrer que =\frac{a}{a^2+2} . en deduire que p appartien au segment [AK]
determiner les coordonnées de P
exprimer \vec{PK} en fonction de \vec{AK}en déduire que PK= \frac{a^2-a+2}{\sqrt{a^2+2}}
3) a partir des questions précedentes en déduire le volume de ELMK en fonction de a

Posté par
isisstruissre : Cube..produit scalaire! 10-12-07 à 07:52

Bonjour mawii!

Je te donne quelques indications pour que tu fasses ton exercice toi-même.

En premier lieu je te conseille de dessiner le cube car j'ai dû faire quelques essais pour deviner quelle lettre correspondait à quel coin.

1 a) \vec{EM}\cdot\vec{EL}=(\vec{EA}+\vec{AM})\cdot(\vec{EA}+\vec{AL})
Applique la distributive, remplace certains termes selon les données, c'est-à-dire
\vec{AL}=a\vec{AD} et vec{AM}=a\vec{AB}
Il te restera à simplifier et c'est joué. Ne pas oublier que le côté du cube vaut 1 et que le produit scalaire entre deux vecteurs perpendiculaires est nul.

1 b) \vec{EM}\cdot\vec{EL}=||\vec{EM}||\cdot||\vec{EL}|| cos(MEL)=1 (cf 1 a)
En déduire le cosinus ne revient qu'à passer les normes sous la fraction. Pour estimer ces normes pense à Pythagore.

1 c) Utiliser sin^2(MEL)+cos^2(MEL)=1
Utiliser le résultat de b et simplifier...

1 d) A(ELM)= \frac{1}{2}||EM||\cdot||EL||\cdot sin(MEL) à l'aide de c, bien sûr.

1 e) Il faut calculer par exemple \vec{AK}\cdot\vec{EL} et \vec{AK}\cdot\vec{EM} et vérifier que les deux résultats sont nuls. Attention su sens des vecteurs, des signes négatifs et positifs vont s'annuler ai tu ne te trompes pas.

Quand tu auras essayé redis-moi si tu as encore des problèmes.

Isis

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 10-12-07 à 08:34

Bonjour!

Merci Issis pour ton aide, je peux pas réviser l'exercice maintenan parce que je dois aller au lycée mais je vais l'imprimer et au retour je posterai mes doutes et les problemes que j'ai trouvé

Si vous ne pouvez pas vous connecter ce n'est pas grave

Merci en tout cas :)

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 10-12-07 à 18:37

Bonjour!! je suis en train de faire l'exercice en suivant vos pistes. voivi les resultats que j'ai trouvé:

1) a) j'ai utlisé cette formule: EM.EL= xx'+yy'+zz'= 0*a+0*a+(-1)*(-1)=1
   b) j'ai utilisé la formule que vous m'avez donné et j'ai trouvé
cos(MEL)= 1/(a2+1)
   c)avec cette formule je n'arrive pas a trouver le resultat final. je suis bloquée sur: sin2(MEL) = (a4+2a2)/(a2+1)2

comment je retrouve le resultata final?

est ce vous pourriez me donner quelques pistes pour la suite?

merci d'avance

Posté par
isisstruissre : Cube..produit scalaire! 10-12-07 à 19:04

Bonsoir mawii!

Je vois que tu as trouvé beaucoup plus rapidement que moi que EM.EL=1 en intruduisant un repère. Je me suis trembalé plein de termes en vecteur... Bravo.

c) Ton résultat est correct. Il faut seulement simplifier:

\array{3$sin^2(MEL)&=&\frac{a^4+2a^2}{(a^2+1)^2}\\&=&\frac{a^2(a^2+2)}{(a^2+1)^2}\\}

donc

sin(MEL)=\frac{a}{a^2+1}\cdot \sqrt{a^2+2}

Isis

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 10-12-07 à 19:27

ah d'accord je ne savais pas comment continuer dans mon calcul...merci!

pour le d) je vois  pas comment trouver l'aire.... il faut le laisser en fonction de a? si non je vois pas comment je pourrais me debarrasser des a.
je trouve sa:

Aire= 1/2 x 1.(a2+1) x sin ((a(a2+2))/(1+a2))

merci de m'aider!

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 10-12-07 à 19:39

pour l'aire, voici ce que j'ai écris mais plus "beau" pour que vous puissiez mieux comprendre

\frac{1}{2}\times1·a^2+1\times\frac{a\sqrt{a^2+2}}{a^2+1}

Posté par
isisstruissre : Cube..produit scalaire! 10-12-07 à 20:05

Mawii, on ne peut pas se débarasser de s. A sera une fonction de a.

Ton résultat est très juste, seulement tu peux encore simplifier le terme (a²+1) qui se trouve sous ET sous la fraction.

\array{3$A&=&\frac{1}{2}(a^2+1)a\frac{\sqrt{a^2+2}}{a^2+1}\\&=&\frac{a}{2}\sqrt{a^2+2}}

Isis

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 10-12-07 à 20:24

alor on doi laisser l'aire comme sa? sous cette forme la? merci

j'ai essayé aussi de faire le e) mais je n'arrive pas a demontrere qu'ils sont orthogonaux je n'arrive pas a trouver qu'ils sont nuls :S

Posté par
isisstruissre : Cube..produit scalaire! 10-12-07 à 20:31

Oui mawii, je ne vois pas comment simoplifier plus cette expression.

J'ai commencé par remplacer les vecteurs par les expressions données au début de l'exercice.

\vec{AK}\cdot\vec{EL}&=&(\vec{AC}+a\vec{CG})\cdot(\vec{EA}+a\vec{AD})

Ensuite tu dois faire la distributive. Deux termes sont nuls (vecteurs perpendiculaires) et les deux autres s'annulent (attention au sens des vecteurs).

Tu y arrives?

Isis

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 10-12-07 à 20:57

si je continue votre expression, je n'arrives pas a trouver rien de logique qui puisse arriver a me donner des nuls

AC.EA + AC.AD + CG.EA + CG + AD

je vois pas où vous trouver les vecteurs nuls :S

excusez moi mais je ne suis pas tres douée en géometrie :S

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 10-12-07 à 20:58

erreur de frappe

AC.EA + AC.AD + CG.EA + CG .AD

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 10-12-07 à 21:26

Posté par
isisstruissre : Cube..produit scalaire! 10-12-07 à 21:59

Si tu regardes ton dessin, tu verras que AC et EA sont perpendiculaires. Le premier terme disparaît.

\vec{AC}\perp\vec{EA}\Longrightarrow \vec{AC}\cdot\vec{EA}=0

Il en va de même pour \vec{CG}\vec{AD}.

L'angle entre Ac et AD est /2. AD est un côté du cube, donc longueur 1, AD est la diagonale d'une face, de longueur 2.
a\vec{AC}\cdot\vec{AD}=a\cdot||AC||\cdot||AD||cos(\pi/2)=a\cdot\sqrt{2}\cdot1\cdot\frac{sqrt{2}}{2}=a

CG et EA sont parallèles, mais vont dans des sens opposés. Leur longueur est 1, le côté du cube. L'angle entre ses deux vecteurs est

a\vec{CG}\cdot\vec{EA}=a||CG||\cdot||EA||cos\pi=a\cdot1\cdot1\cdot(-1)=-a

Isis

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 10-12-07 à 22:57

je vais essayer de retrouver votre resultat et de faire de même avec AK.EM.
demain je vou dirais ce que j'ai retrouvé comme resultat.
j'espère que vous pourriez continuera à me guider pour les questions qui suivent parce que vraiment j'ai des problèmes avec les produit scalaire :S

merci

Posté par
isisstruissre : Cube..produit scalaire! 10-12-07 à 22:59

Pas de souci, je serai là demain. Je regarderai l'exercice 2 et je posterai des indices ici.

Isis

Posté par claquoir (invité)re : Cube..produit scalaire! 11-12-07 à 10:37

Bonjour,
Pardonnez mon intrusion mais j'ai un exercice similaire a prépare et je n'ai pas compris cos raisonnements.
POuvez vous m'expliquer si vous avez le temps s'il vous plait ?
Merci d'avance,
Claquoir.

Posté par claquoir (invité)re : Cube..produit scalaire! 11-12-07 à 11:57

N'ya t'il vraiment personne ?

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 11-12-07 à 19:39

Bonsoir!! Je suis en train de faire AK.EM et je trouve:

    AC.EA + AC.AB + CG.EA + CG.AB

et AC.EA=0 et GC.AB=0 cat ils sont orthogonaux

mais je n'arrive pas a trouver comment annuler les deux autres?

pour CG.EA on doit aussi dire qu'ils sont // et que donc sont resultat et -a?

et pour AC.AB on doit touver= a?

Et une fois qu'ona demontrer sa on peut affirimer donc que (AK) est orthogonal a (ELM) ?

merciiiiii

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 11-12-07 à 19:52

pour la deuxième partie j'ai aussi des problemes pour démontrere que AM.AK=AP.AK

j'ai mis AM.AK=(AP+PM).AK

mais je ne sais pas comment "faire disparaître" PM

merci d'avance

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 11-12-07 à 19:58

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 11-12-07 à 20:05

j'ai besoin d'une petite aide

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 11-12-07 à 20:15

s'il vous plait

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 11-12-07 à 20:28

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 11-12-07 à 20:38

:'(

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 11-12-07 à 20:54

pleaseeeee

j'ai vraiment des problèmes pour faire la suite :S

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 11-12-07 à 21:01

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 11-12-07 à 21:14

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 11-12-07 à 22:46

Posté par
mawiire : Cube..produit scalaire! 11-12-07 à 22:55

Posté par
isisstruissre : Cube..produit scalaire! 12-12-07 à 00:00

Bonsoir mawii!

Tu as bon pour le produit scalaire AK.EM.

||AC||=\sqrt{2}, l'angle entre AC et AB vaut \pi/4. \vec{AC}\cdot\vec{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot1\cdot\sqrt{2}=1

L'angle entre CG et EA vaut , leur produit scalaire -1.

2)
\array{3$\vec{AP}\cdot\vec{AK}&=&(\vec{AM}+\vec{MP})\cdot\vec{AK}\\&=&\vec{AM}\cdot\vec{AK}+\vec{MP}\cdot\vec{AK}\\}

AK et MP sont perpendiculaires donc leur produit scalaire est nul.

Isis


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