Salut,
quand a lieu l'égalité dans l'inégalité de Jensen ?

pardon?
l'inégalité de qui?

otto, j'ai regarder sur wiki rapidement je n'ai pas vu cela en cours.
(je re)

Salut H_aldoner

L'inégalité de Jensen c'est l'inégalité de convexité

PS : je ne peux pas t'aider pour ton exo, je ne sais pas ce qu'est un espace mesuré déjà (on vois pas ça en spé)

Bon courage

Ma question était un indice mais aussi une vrai question. Je pense que l'on peut conclure via le cas d'égalité dans l'inégalité de Jensen.

Vite vite comme ça, je n'ai pas trop d'autres idées pour ton problème, mais si vraiment t'as rien, tu peux toujours adapter la démo du théorème de Jensen à ton problème et examiner le cas d'égalité si effectivement ça permet de conclure.

a+

Bonjour tout le monde,

Pour montrer Jensen général, on le fait pour les étagées à partir de Jensen discret et on utilise un argument de densité, donc un passage à la limite je vois plus trop comment en déduire un cas d'égalité.

Toi c'est comme ça que tu fais, mais pas moi.
Non mais ...

On peut réellement avoir le cas d'égalité, une preuve est donnée dans le livre de Rudin Real and complex analysis, chapitre 3, mais je ne l'ai pas sous la main, malheureusement.

J'essaierais de revenir dans la journée sur ce sujet.

a+

Je ne connais pas cet inégalité.

Ok j'attend de voir comment tu fais

salut cauchy !

H_aldnoer >

Otto est au Canada

Salut H_aldnoer

ah ouais c'est vrai!
(slt au passage)

Juste un truc, est concave non ?

Oui

donc son opposé est convexe, je dit pas de betises ?

Oui x --> -ln(x) est convexe

ok!

otto je vois que tu es connecté, voila la démo que j'ai trouvé sur le net :


je ne vois pas comment l'appliquer ici.
ici, on suppose bien le cas d'égalité dans l'inégalité de Jensen, mais que peut-on en tirer ?

Salut,
pas vraiment le temps, mais en général on regarde où est ce que l'on a les égalités dans chacune des inégalités que l'on utilise dans la preuve.

Mais ne prend pas ca pour argent comptant, ca fait 3heures que le sujet ne tourne qu'autour de Jensen et comme je l'ai dit, c'est une idée que j'ai donnée à la va vite, je ne veux pas que tu perdes ton temps là dessus si ca n'aboutit pas.

a+

Voila ce que donne la démo :

Comme   est concave, il existe au moins une droite de d'équation qui est située entièrement au dessus du graphe de
i.e. pour tout

c'est ici qu'il faudrait l'égalité : !

(en fait il n'y a qu'une seule inégalité dans cette démo)

Donc la question c'est de savoir si :


?

C'est quelle page la démo?

re cauchy!

désolé je suis sortit !

c'est page 56

tout en bas de la page 56

Voila ce que je fais :

par hyp : avec

donc

est-ce que cela implique que ?

cauchy si tu repasse par la, help !

Minute minute je regarde ton truc

ok

Ok j'ai vu la démo, bien on se sert qu'on a une droite passant par le point au-dessus du graphe de la fonction.

Ensuite on majore(largement), on a égalité si par exemple est une droite car alors la droite qu'on prend est le graphe de la fonction.

Maintenant ce qui nous intéresse c'est où l'on utilise cette majoration, on l'utilise pas pour tout x de I mais pour les f(x) avec x dans .

La il y n'y aura pas égalité si on a sur un ensemble de mesure non nulle.

c'est quoi ?

E(dans le poly,X ici) l'habitude de noter mes espaces mesurés comme ça.

on a ça : ?

Non faut pas confondre X l'espace mesuré et I l'intervalle qui contient les valeurs de f.

Ok!
Bon j'arrive à montrer que par cette inégalité de Jensen.

Maintenant on a supposé avec , cad (égalité dans l'inégalité de Jensen) et je veux donc montrer que .

On est ok sur ça ??

Je reprend donc la démo du pdf, si on aura alors

Ici on a et .

Donc

sauf que l'on a pas x mais f, mais en quoi on aboutit à ?

Au fait dans ton message de 20h39, ton implication est fausse c'est ce qu'on doit montrer mais dans un cadre général cela voudrait dire que toutes les fonctions sont constantes.

Si f et g ont même intégrale cela n'implique pas que f=g.

Attention dans le pdf on montre la démo mais ils ne parlent pas du cas d'égalité.

On voit que quand f est constante presque partout alors l'égalité a lieu, la réciproque est-elle vraie, si oui cela répond à l'exo.

Si f n'est pas constante presque partout et qu'on montre que sur un ensemble de mesure non nulle alors on aura une inégalité stricte et cela aboutira à une contradiction.

Ceci dit on est parti la-dessus comme dit otto mais on passe peut être à côté d'une preuve qui n'utilise pas ceci.

J'ai pas tout compris la, ça veut dire quoi constante presque partout ?

Bien constante en-dehors d'un ensemble de mesure nulle qui n'influe pas sur la valeur de l'intégrale.

donc f constante p.p :
si on prend E un ensemble tel que , alors pour x dans E, f(x)=constante  ??

Non c'est pas cela, il existe E et c tel que m(E)=0 et on a f(x)=c pour x hors de E.

Donc ça signifie que si x est dans E, alors f(x) n'est pas une constante ?

Cela a pas trop de sens de dire que f n'est pas constante si x n'est pas dans E, il faut dire que si x est dans E alors f(x) n'est pas égal à la constante c.

OK!
si on montre que f est constante presque partout, ça nous donnes quoi ?

Bien ça nous donne que nécessairement f=||f|| car on a une mesure de probabilité donc l'intégrale d'une constante vaut cette constante.

j'ai pas compris pourquoi nécessairement on a cette égalité.

Non j'ai pas dit qu'on avait montré que f était constante pp mais si on le montre nécessairement sa valeur sera ||f||.

Oui, et ce que j'ai pas compris, pourquoi nécessairement f=||f|| ?

si on trouve E tel que


non?

Oui et donc ||f||=m(X-E)*cste=cste d'ou le résultat.