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définition de l'addition dans N

Posté par
mousse42 02-06-21 à 19:52

Bonjour,
J'ai les 3 axiomes de Péano :

Axiomes


1) Il existe un élément 0 dans \N appelé zéro

2) Il existe une application successeur injective s:\N\to \N tel que 0\notin s(\N)

3) Si une partie A de \N vérifie 0\in A et s(A)\subset A alors A=\N


Voici une proposition :

Proposition

Il existe une application  +:\N\times\N\to \N donnée par

\forall n\in \N : n+0=n

\forall (n,m)\in \N^2 : n+s(m)=s(n+m)


J'ai une démonstration, mais je ne vois pas ce qu'on démontre exactement, pourquoi ne pas considérer cette proposition comme une définition, puisque on utilise l'application successeur s pour définir l'application +

Posté par
jarod128re : définition de l'addition dans N 02-06-21 à 21:04

Bonjour,
Cette proposition dépend de s. Le but est d'avoir le "moins d'axiome" possible et travailler à partir de là.
Si tu n'as pas s comment vas tu créer une relation d'ordre?

Posté par
carpediemre : définition de l'addition dans N 02-06-21 à 21:07

salut

je ne vois pas où est le problème ...

dans l'axiome on travaille sur N sans aucune structure (addition, produit, ordre, ...) mais simplement on considère des (une) application :

dans la proposition on veut "construire" une structure sur N et une opération : l'addition et on se sert de s pour la définir ...

certes la proposition définit l'addition mais le problème c'est : est-ce qu'il en existe bien une ?

ou encore : définir (ou (se) donner par une proposition) un objet est une chose mais existe-t-il ?

la question est donc : étant donné deux éléments m et n de N est ce que m + n existe et qu'est ce que c'est ?

Posté par
verdurinre : définition de l'addition dans N 02-06-21 à 21:10

Bonsoir,
la « proposition » est effectivement une définition.
Ce que l'on peut démontrer est l'existence d'une telle application.

Posté par
mousse42re : définition de l'addition dans N 02-06-21 à 21:16

ok merci , je médite sur la question

Posté par
mousse42re : définition de l'addition dans N 02-06-21 à 21:36

ok, donc est-ce que ma preuve est correcte :

Soit m,n\in \N et je vais montrer qu'il existe un unique y\in \N tel que n+m=y

Si m =0, on a n+m=n+0=n

Sinon, il existe z\in \N tel que m=s(z), donc n+s(z)=s(n+z)=y, l'unicité vient de s qui est une application.
Ainsi on a montré que + est une application de   \N^{\N^2}

Le problème c'est qu'on définit l'addition par une autre addition

\forall (n,m)\in \N^2 : n\textcolor{red}{+}s(m)=s(n\textcolor{red}{+}m)

J'ai l'impression que ça se mord la queue

Posté par
mousse42re : définition de l'addition dans N 02-06-21 à 21:41

où alors si je pose f(n,m)=n+m

On a :

n\textcolor{red}{+}s(m)=s(n\textcolor{red}{+}m)\iff f(n,s(m))=s(f(n,m))

Posté par
carpediemre : définition de l'addition dans N 02-06-21 à 22:14

je ne comprends pas trop ce que tu fais   ouais enfin plus simplement :

si n et m sont deux entiers alors :

1/ m = 0

alors d'après la proposition n + m = n + 0 = n

2/ m 0

alors n + m = s(n + s^{-1}(m))                                                             ou encore n + m = s^{-1} (n + s(m))  


bon je ne sais pas si j'ai fait mieux que toi ...

Posté par
mousse42re : définition de l'addition dans N 02-06-21 à 22:18

oué mais si tu écris : n + m = s(n + s^{-1}(m))   , il faut savoir ce qu'est n + s^{-1}(m), en gros je sais qui est n, je sais qui est s^{-1}(m) mais je ne sais pas ce qu'est n + s^{-1}(m), ou alors il y a une histoire de récurrence là-dessous

Posté par
lafol Moderateurre : définition de l'addition dans N 02-06-21 à 22:30

Bonsoir
tu dis que tu as une démonstration, est-ce que par hasard cette démonstration ne reposerait pas sur le dernier de tes trois axiomes de Peano, pour établir l'existence de l'application + ?

Posté par
verdurinre : définition de l'addition dans N 02-06-21 à 22:31

Il y a bien une histoire de récurrence.
Note quand même que l'on ne dit pas « il existe une unique application vérifiant . . . »

Posté par
verdurinre : définition de l'addition dans N 02-06-21 à 22:35

Je viens de sous entendre une bêtise.

Posté par
mousse42re : définition de l'addition dans N 02-06-21 à 22:42

Bonsoir,

lafol @ 02-06-2021 à 22:30

Bonsoir
tu dis que tu as une démonstration, est-ce que par hasard cette démonstration ne reposerait pas sur le dernier de tes trois axiomes de Peano, pour établir l'existence de l'application + ?


Je vais la recopier telle quelle :


PREUVE

Montrons que ces formules définissent bien une application de \N\times \N dans \N.

c'est à dire que A:=\big\{m\in \N :m+n $  est défini$\big\} satisfait A=\N.
Comme A contient 0 (axiome 1) et est stable par successeur (axiome 2) cela résulte du principe de récurrence.


Voilà, franchement je ne vois pas comment cette preuve montre que  "+" est une application

Posté par
mousse42re : définition de l'addition dans N 02-06-21 à 23:33

ok, Soit A:=\big\{m\in \N :m+n $  est défini$\big\}

On a 0\in A,

soit m\in A dès lors n+m existe donc s(n+m) existe par définition s(n+m)=n+s(m) donc s(m)\in A

Ainsi on a S(A)\subset A  et puisque 0\in A

par l' axiome de récurrence on a A=\N

ça me paraît cohérent, mais je le sens pas trop...

Posté par
carpediemre : définition de l'addition dans N 02-06-21 à 23:52

ha ben voila !!

mais tu ne nous dit pas tout !!

effectivement A contient 0 (puisque d'après le premier point 1 de la proposition 0 + 0 = 0)

le point 2 de cette proposition (définition) dit que A est stable par s (s(A) A)

donc d'après le point 3 de l'axiome A = N

Posté par
mousse42re : définition de l'addition dans N 03-06-21 à 00:35

si j'ai parlé de la démonstration, mais je ne l'ai pas donné au début...je pensais trouver quelque chose de différent.
En plus, je ne suis pas totalement convaincu par ce que j'ai fait, car on a juste démontré que l'addition est définie partout sur \N^2...
Je vais creuser le truc demain

Posté par
carpediemre : définition de l'addition dans N 03-06-21 à 10:33

ben n'est-ce pas ce qu'on voulait ?


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