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Niveau terminale
Démonstration par récurrence
Posté par barka54
Bonsoir,
J'aimerais que vous m'aidiez à démontrer par reccurence que pour tout entier naturel non nul n,
.
Soit Pn la proposition à démontrer.
je vérifie si pour n=1, Pn est vraie.
*Somme de 1(1-1)=0.
*(1-1)(1+1)/6=0
Donc P1 est vraie.
C'est cette étape d'hérédité qui m'échappe:
je suppose que Pn est vraie;
Je montre que P(n+1) est aussi vraie; ie:
=>
=(n+1)+2(n+2)+3(n+3)+...+(n+1)(n)+1+2+3+...+n+(n+1)
Mais en effectuant ces sommes ; ça ne prouve pas l'égalité ci-dessus.
Exemple pour n= 3,
j'obtiens 1 (3 - 1) + 2 (3-2) + 3(3-3) = 2 =2 = 4
Mais de l'autre côté de l'égalité 
2x 4)/ 6 = 4/3
Exemple pour n= 3,
j'obtiens 1 (3 - 1) + 2 (3-2) + 3(3-3) = 2 +2 = 4
Mais de l'autre côté de l'égalité (2x 4)/ 6 = 4/3
L'idée derrière beaucoup de récurrences est de faire apparaître une expression qu'on connaît déjà (l'hypothèse de récurrence).
Ici, tu supposes connue
A partir de là, pas besoin de développer le terme .
Tu as déjà fait apparaître le terme , alors enlève les termes qui te gênent :
et le
- ième terme.
Pour n+1, le membre de gauche de l'égalité devient:
1 (n+1 -1)+2 (n+1-2) + ..... + (n) ( n+1-n) + (n+1) [ (n+1) - (n+1)]
= 1 n + 2 (n-1)+ ..... +1 n + (n+1)x 0
Compare avec le membre de gauche pour n
Le membre de gauche pour n peut encore s'écrire:
=1n+2(n-1)-2+3(n-2)-3+...+n(n-n)-n
=n+2(n-1)+3(n-2)+...+n(n-n) +(-1-2-3-...-n)
=somme(pour n+1) - (n+1)(n+1-n-1)+ n(-n-1)/2
De la' , somme(pour n+1)=n(n-1)(n+1)/6 -n(-n-1)/2
ce qui me donne =(n+1)(n^2+2n)/2
bonjour
en l'absence de Maru0 et de azerti75 qui reprendront la main dès qu'ils le peuvent.
ce qui me donne =(n+1)(n^2+2n)/2 ---- tu veux dire /6, sans doute
oui, tu arrives donc à la fin de la démo.
je n'ai pas vérifié ta rédaction avec la forme développée du sigma;
j'ai quand même une préférence avec la méthode indiquée par Maru0, plus élégante, je trouve.
C'est bon, j'ai corrigé quelques fautes de frappe:
barka54 @ 01-11-2020 à 14:22
Le membre de gauche pour n peut encore s'écrire:
=1n-1+2(n-1)-2+3(n-2)-3+...+n[n-(n -1)]-n
=n+2(n-1)+3(n-2)+...+n +(-1-2-3-...-n)
=somme(pour n+1) + n(-n-1)/2
De la' , somme(pour n+1)=n(n-1)(n+1)/6 -n(-n-1)/2
ce qui me donne =(n+1)(n^2+2n)/6
Le membre de gauche pour n peut encore s'écrire:
=1n-1+2(n-1)-2+3(n-2)-3+...+n[n-(n -1)]-n
=n+2(n-1)+3(n-2)+...+n +(-1-2-3-...-n)
=somme(pour n+1) + n(-n-1)/2
De la' , somme(pour n+1)=n(n-1)(n+1)/6 -n(-n-1)/2
ce qui me donne =(n+1)(n^2+2n)/6
carita @ 01-11-2020 à 15:00
tu veux dire /6, sans doute
oui, tu arrives donc à la fin de la démo.
je n'ai pas vérifié ta rédaction avec la forme développée du sigma;
j'ai quand même une préférence avec la méthode indiquée par Maru0, plus élégante, je trouve.
tu veux dire /6, sans doute
oui, tu arrives donc à la fin de la démo.
je n'ai pas vérifié ta rédaction avec la forme développée du sigma;
j'ai quand même une préférence avec la méthode indiquée par Maru0, plus élégante, je trouve.
Ok d'accord je m'efforcerai de l'appliquer aussi.