Annuler
connectez vous
analyse complexe en post-bac
- Les nombres complexes - supérieur
- Nombres complexes : les classiques
- Ensemble et application Partie II
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Démonstration triangle équilatéral / complexes
Posté par galba
Bonjour à tous.
J'ai un petit problème que je parviens difficilement à résoudre.
J'ai A,B,C 3 pts du plan complexe d'affixes a,b et c.
Je dois montrer que ABC est équilatéral ssi a+j*b+j^2 *c =0
avec donc j=e^2i
/3
Et aussi : ABC équilatéral ssi a[/sup]+b[sup]+c[sup][/sup]= ab+ac+bc
Pour celui-ci j'ai essayé avec Al Kashi mais c'est très long il doit y avoir plus simple.
Merci de votre aide !
Bonjour, galba
Voici une idée.
Il faudra changer un petit peu pour arriver élégamment au résultat souhaité.
A,B,C sont les sommets d'un triangle équilatéral si et seulement si C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle /3 ou C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle -/3, donc si et seulement si
c-a=k(b-a) ou avec
J'ai réussi à démontrer la 2eme égalité ( à savoir ABC équilatéral ssi a^2 +b^2+c^2=ab+bc+ac ) par Al Kashi mais ça reste long, si vous pouviez m'aidez à trouver plus court ce serait sympa.
Sinon la premiere j'y arrive toujours pas.
J'ai utiliser les propriétés des racine n ième à savoir que 1+j+j^2=0 mais je n'arrive pas à y introduire les affixes des points...
Merci de l'aide que vous pourrez m'apporter et désolé du double-post.
Merci perroquet.
En utilisant ta méthode je retrouve les formules d'Al kashi beaucoup plus vite, mais cela ne m'aide pas à résoudre mon premier problème.
En fait il faudrait que j'introduise du j et du j^2.
En introduisant le barycentre, je peux obtenir une rotation d'angle j ou -j^2.
Mais je suis pas sur que ce soit la bonne piste car je n'arrive pas ensuite à obtenir le résultat attendu ...
bonjour, voila une façon pas trop compliquée de faire....
le barycentre G d'affixe g
on prend équilatéral dans un sens.... (il suffit de modifier peu pour l'autre sens)
ce qui donne
b-g= (a-g)j = (c-g) j²
c-g= (b-g)j = (a-g) j²
a-g= (c-g)j = (b-g) j²
on ajoute tout ce qui est souligné, on obtient:
(a-g) + (b-g) j + (c-g) j² = [ b-g] + [c-g] + (-g)]=0
donc
a+bj+cj² + (1+j+j²)g=0
comme 1+j+j²=0, on a
a+bj+cj²=0
pour la réciproque si ça vous tente.
si
c+bj+aj²=0, c= -bj - aj²
alors
b-c = b(1+j) + a j²= -j² a + j² b = j²(b-a)
donc BC et AB ont même longueur et l'angle vaut.....
Merci beaucoup esta-fette.
Seulement j'ai du mal à comprendre ce passage :
Citation :
on ajoute tout ce qui est souligné, on obtient:
(a-g) + (b-g) j + (c-g) j² = [ b-g] + [c-g] + (-g)]=0
on ajoute tout ce qui est souligné, on obtient:
(a-g) + (b-g) j + (c-g) j² = [ b-g] + [c-g] + (-g)]=0
Comment tu obtiens ce qui est à droite du signe égal ? Que signifient les crochets ? Où sont passés les j et j² ? En quoi est-ce égal à 0 ?
Je reprends
b-g= (a-g)j = (c-g) j²
c-g= (b-g)j = (a-g) j²
a-g= (c-g)j = (b-g) j²
d'accord?
je garde ce qui m'intéresse:
b-g= ...... = (c-g) j²
c-g= (b-g)j = ........
a-g= ...............(a-g)
donc j'obtiens.
à gauche: (b-g)+(c-g)+(a-g)
à droite (a-g) + (b-g)j + (c-g) j²
donc:
(a-g) + (b-g) j + (c-g) j² = [ b-g] + [c-g] + (a-g)]
or définition du barycentre:
3g=a+b+c donc (b-g)+(c-g)+(a-g)=0
est-ce clair ?