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Démonstrations sur les équivalents
Bonsoir à tous,
Je souhaite démontrer le résultat suivant :
Si ( deux suites U et V sont équivalentes) et (elles convergent vers l différente de 1) alors ln(U) est équivalente à ln(V)
Je vous propose ma démonstration et je sollicite votre regard sur sa rigueur :
Élément 1 : Pour considérer les suites ln(U) et ln(V) il faut que les suites U et V soient strictement positives à partir d'un certain rang.
et de ce fait la limite l est strictement positive.
l est donc strictement positive et différente de 1
Élément 2 : je vais montrer que ln(U) / ln(V) converge vers 1 ce qui nous permettra de déduire ln(U) est équivalente à ln(V)
On peut écrire : V(n) = e(n) * U(n) avec e(n) -> 1
Ln(U(n)) / Ln(V(n)) = Ln(U(n)) / [ Ln(e(n) + Ln(U(n)) ]
Comme U(n) -> l alors Ln(U(n)) -> ln(l) non nul car l différent de 1
On a donc : Ln(U(n)) / Ln(V(n)) -> Ln(l) / Ln(l)
Soit une limite qui vaut 1
Conclusion : Ln(U) est équivalente à Ln(V) en l'infini
Bonsoir
Tout d'abord l'énoncé manque de rigueur : il aurait fallu préciser que l n'est pas négatif puisque l'énoncé parle de ln(Un)
Ensuite je ne comprends pas ton écriture avec les suites V et e
Pour monter que ln(Un) converge vers ln(l) il suffit d'invoquer la continuité de ln en l
Bonjour !
Pour considérer les suites ln(U) et ln(V) il faut que les suites U et V soient strictement positives à partir d'un certain rang.
et de ce fait la limite l est strictement positive.
C'est faux pour
Autre point bizarre de l'énoncé : les suites peuvent être équivalentes et divergentes !
Le plus simple consiste à écrire
Effectivement il faut d'une part que la limite L des suites u et v soient strictement positive et différentes de 1.
En gros que l soit dans R+\{0 ; 1}
C'est pas vraiment un énoncé d'un exercice c'est plutôt une proposition de cours que je démontre qui est celle ci
Si deux suites u et v sont équivalentes
Et si en plus elles convergent vers l (effectivement il n'y pas eu d'hypothèses sur l que j'ai moi même considéré dans R+\{0 ; 1}) alors les suites ln(u) et ln(v) sont équivalentes
Du coup l'hypothèse que U ~ V et U(n) -> l n'est pas si bien formulée que ça
Il aurait fallu dire : Si U et V ont même limite l>0 et différente de 1 alors ln(U(n)) ~ ln(V(n))
et cette dernière suite a une limite nulle.
Si la limite de est nulle ou infinie, on a immédiatement
négligeable devant
d'où l'équivalence.
Idem si a une limite
finie strictement positive autre que
car
est négligeable devant
.
Il y a des contre exemples simples lorsque la limite est .
Reste le cas de suites divergentes !
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