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Démontrer le binôme de Newton
Bonjour,
La variable aléatoire qui suit une loi binomiale se calcule par:
P(X=k) = . pk . qn-k
La formule du binôme de Newton de Newton s'écrit:
(p+q)n =
. pk qn-k
Je me casse la tête à démontrer la formule du binôme de Newton à partir de la 1ere formule de probabilité mais en vain. En fait quelle relation existe entre les 2 et comment démontrer la formule du binôme?
Merci pour tout aide 
Bonjour.
Tu peux démontrer la formule du binôme de Newton par récurrence tout simplement. Elle est valable pour tous éléments d'un anneaux qui commutent entre eux, en particulier elle est valable pour l'ensemble des complexes, a fortiori des réels.
Dans la loi binomiale, le q vaut (1-p), et tu es d'accord que si tu fais n essais, alors la probabilité qu'il y a un nombre de succès compris entre 0 et n est de 1, cela s'écrit justement que somme de (k parmi n)*p^k*(1-p)^k=1, cohérent avec la formule du binôme de Newton.
Tous les sites la démontre par récurrence, ce que je cherche c'est une démonstration différente qui par du principe que somme de p(x=k) pour k de 0->n = 1 pour démontrer le binôme.
Oui pour la vérification c'est clair.
Bonjour,
la prochaine réforme de l'enseignemenst :
on définit le nombre d'éléments d'un ensemble comme étant par définition l'inverse de la probabilité de tirer un élément particulier de cet ensemble...
ici c'est pareil, on a défini ces à partir de notions de probabilité en perdant l'origine de ça qui n'a rien à voir avec les probabilités
les probabilités n'en sont qu'une conséquence
la définition correcte de tout temps des combinaisons est le nombre de façons de choisir un sous ensemble de k éléments dans un ensemble de n éléments.
point barre.
à partir de ça dans l'ensemble de n facteurs (p+q)
pour trouver le coeficient de pk, c'est juste le nombre de façons de choisir les k facteurs d'où on prend p parmi ces n facteurs
(et les n-k autres facteurs on en prend le q, d'où pkqn-k)
donc par définition de logique combinatoire (et pas de probabilités qui sont une invention des concepteurs des nouveaux programmes pour éviter d'avoir à enseigner séparément la logique combinatoire, puis les probabilités)
c'est le nombre de combinaisons
on en déduit la formule utilisée en probabilité
toi, tu cherches à inverser la logique et à démontrer à partir des conséquences (la loi binomiale) érigées en dogme, les causes de cette conséquence : la logique combinatoire.
au moins tu es "dans la ligne du parti" ...
Cette formule de la loi binomiale impose q=1-p et 0<=p<=1
La formule du binôme de Newton de Newton n'a pas ces restrictions..., je pense que ce que tu demandes n'est pas réalisable.
Il n'y a pas de cause et de conséquence en logique, il y a des prémisses et des conclusions. C'est tout à fait différent.
cause et conséquence ... simplement deux mots de la langue française pour traduire
si p alors q
ou encore
p ==> q
.... mais qui ne déforment ni ne pervertissent pas la réflexion et l'analyse de mathafou ...
Je propose une démonstration:
Dans le cas de la loi binomiale (avec A probabilité de succès et B probabilité d'échec):
1 = A0 Bn +
A1 Bn-1 +
A2 Bn-2 + .................. +
An-1 B1 +
An B0
A+B = A0 Bn +
A1 Bn-1 +
A2 Bn-2 + .................. +
An-1 B1 +
An B0
Et puisque A et B sont des probabilités, alors on peut écrire: A = et B =
avec a et b des nombres QUELCONQUES!
( +
) =
(
) 0 (
)n +
(
)1 (
)n-1 +
(
)2 (
)n-2 + .................. +
(
)n-1 (
)1 +
(
)n (
)0
( +
)n =
(
) 0 (
)n +
(
)1 (
)n-1 +
(
)2 (
)n-2 + .................. +
(
)n-1 (
)1 +
(
)n (
)0
Multiplions les 2 membres par (a+b)n:
(a+b)n = a0 bn +
a1 bn-1 +
a2 bn-2 + .................. +
an-1 b1 +
an b0
(a+b)n =
ak bn-k
On retrouve donc, à partir de la loi binomiale, la formule du binôme de Newton !!!
Qu'en dites-vous ?
Bonjour.
Belle démonstration. Cependant a et b ne sont pas quelconques, ils sont positifs, pour assurer 0
a/(a+b)1
ouiii exactement, par quelconque je voulais dire que leur somme n'est pas égal à 1 (ce ne sont pas des probabilités!) et que bien sur ≥ 0 et ≠ 0 
et bien, selon moi ta démonstration ne marche pas:
Dans la formule du binôme de Newton a et b sont réels quelconques.
2, avec a+b 
0 ... pour être plus rigoureux!
En fait il ya deux problèmes dans ta démonstration.
Premier soucis, ça ne démontre la chose que pour des nombres positifs, mais ça je pense qu'en bidouillant légèrement on peut facilement montrer que ça marche pour les négatifs.
Deuxième chose, quand on pense à ce que tu as écrit, tu es parti de deux nombres A et B, compris entre 0 et 1. Tu en as déduis qu'il existe deux réels a et b, positifs, tels que le binôme de Newton soit vérifié pour a et b.
Par contre, tu n'as absolument pas montré que pour tout réel a et b, le binôme de Newton est validé. En effet, pour montrer cela, il faudrait d'abord partir de a et b quelconques et positifs, et ensuite seulement poser A=a/(a+b) et B=b/(a+b) pour en déduire que le binôme est valide pour a et b.
cette démonstration ne tient pas la route du fait que la première égalité 1 = ... est le binôme de Newton .... appliquée à la loi binomiale .... pour montrer le binôme de Newton ....
tu as beau écrire A et B sous la forme a/(a + b) .... tu tournes en rond ...
car c'est le binôme de Newton qui donne les coefficients des akbn-k ....
on peut comme en seconde compter ne nombre de chemins sur un arbre .... blablaba ....
c'est toujours le binôme de Newton !!
et le serpent qui se mord la queue ...
Bonsoir Carpediem.
On est tous d'accord, l'auteur prend les choses en sens inverse. Mais si ça lui fait plaisir d'avoir la formule de la loi binomiale comme axiomatique pour en déduire le binôme de Newton, pourquoi pas ?
Personnellement je trouve ça intéressant comme question de savoir remonter à l'envers, ne serait-ce que pour vérifier qu'une théorie est cohérente avec elle-même. Bien sûr il ne faut pas perdre de vue les choses comme elles sont vraiment, et ça mathafou l'a bien expliqué !
salut
moi je pense que la plus simple facon de demontrer cette formule c'est utiliser la formule de Taylor de trouver le developpement en de d'ordre
en
puis faire
et en suite multiplier par
Démonstration purement probabiliste:
on prend et
deux réels, vraiment quelconques.
on prend
on pose et
Soit la suite de variables aléatoires indépendantes telle que:
et
On a donc l'espérance :
On pose
La loi de s'écrit donc tout
tel que
:
Par ailleurs les Y_i étant indépendants, on peut écrire:
CQFD!
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