MD.MA
= (MI + ID) . (MI + IA)
= (MI - IA) . (MI + IA)
= ............ identité remarquable ?

...

Bonjour



donc

_{Bonsoir pgeod}

bonsoir littleguy
...

Décidemment le démarrage du chapitre sur le géométrie dans l'espace ne me reussit pas du tout
Merci beaucoup pour votre aide , je montrerai quand même ma démontration d'une bonne page à mon prof ça le fera sourire ,

J'aimerais savoir aussi comment à partir de l'équation paramétrique d'une droite orthogonale à un plan (ABC) passant par un point D de l'espace dont les coordonnées sont connus, on peut en déduire les coordonnées du point H,  projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) ?

Pourriez vous m'aider pour ma deuxième question s'il-vous-plait dont je rappelle le contenu :
On me demande de déterminer l'intersection de trois plans (P), (Q) et (ABC) d'équations cartésiennes respectives :
(P) : x + 2y - z - 4 = 0
(Q) : 2x + 3y - 2z - 5 = 0
(ABC) : 2x + y - z - 3 = 0
Je trouve que l'intersection de ces trois plans est un point de coordonnées (-6; 3; -4), je doute de ce résultat car j'avoue avoir un peu de mal avec ce système à trois inconnues.

pour te contrôler, tu remplaces x par -6, y par 3 et z par -4
dans chacune des trois équations de départ.

les trois relations doivent être vérifées.

...

Très bien, merci
Alors,
-6 + 2*3 + 4 -4 = 0 en effet
2*(-6) + 3*3 - 2*(-4) - 5 = - 12 + 9 + 8 -5 = - 17 + 17 = 0 en effet
2*(-6) + 3 + 4 - 3 = -8 ah ...

En attendant que je revois l'ensemble de ma résolution du système des 3 équations cartésiennes de plan à 3 inconnus,
pourriez-vous s'il-vous-plait m'indiquer quel raisonnement suivre pour savoir comment à partir de l'équation paramétrique d'une droite orthogonale à un plan (ABC) passant par un point D de l'espace dont les coordonnées sont connus, on peut en déduire les coordonnées du point H,  projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) ?

donc le triplet  (-6; 3; -4) n'est pas la solution.

recommence ta résolution..

...

Le point H recherché appartient, à la fois, à la droite et au plan.

Dans l'équation du plan, on remplace x, y et z par les
coordonnées paramétriques d'un point de la droite;
on en déduit la valeur du paramètre t qu'on réutilise
dans l'équation paramétrique de la droite pour en déduire xH, yH et zH

On ferait de même si la droite était quelconque.

...

ça va bien faire trois fois que je recommence ma résolution mais étant donné que j'ai des lacunes concernant la méthode résolution d'un système de trois équations à trois inconnues je retombe toujours sur le même résultat ...

Merci beaucoup de m'aider, j'adore les maths mais j'avoue avoir des lacunes en géométrie et ça m'embète vraiment je pensais pas ètre aussi mauvaise... En tout cas merci

(P) : x + 2y - z - 4 = 0
(Q) : 2x + 3y - 2z - 5 = 0
(ABC) : 2x + y - z - 3 = 0

(Q) - (ABC) : 2y - z = 2
(Q) - 2(P)  : -y = -3

d'où y = 3; z = 4
puis avec (P), (Q) ou (ABC) x = 2

solution (2; 3; 4)

...

Merci beaucoup, vraiment ça m'a vraiment servit c'est très généreux de votre part. Bonsoir.

J'ai entièrement terminé le premier exercice et ça semble cohérent donc encore merci

Par contre, le deuxième exercice me pose encore deux petits problèmes...

1) On considère deux points A et D de l'espace et on désigne I le milieu du segment (AD) (il n'y pas de touches "crochets" sur cet ordinateur, désolée c'est bien un segment).
J'ai, grâce à votre aide notamment, réussit à démontrer que pour tout point M de l'espace :
MD.MA = MI² - IA²

On me demande ensuite d'en déduire l'ensemble (E) des points M de l'espace, tels que :
MD.MA = 0

Voici ma démonstration :
MD.MA = 0 équivaut à l'ensemble (E)des points M appartenant à la médiane passant par le milieu I du segment et perpendiculaire à ce segment.

J'aimerais avoir votre avis sur ma démonstration car malgré son apparence logique, j'ai quand même un doute.

2) On me demande à la dernière question de démontrer que le point H, projeté orthogonal de D(-5;0;1) sur le plan (ABC), appartient à l'ensemble (E).
Je vous rappelle l'équation paramétrique de la droite passant par D et donc par H, orthogonale au plan (ABC) :
x = - 5 + 4t
y = 2t            , t appartenant à R
z = 1 + 3t
Je vous rappelle l'équation cartésienne du plan (ABC) :
4x + 2y + 3z - 12 = 0

la 1/ est fausse.

on vient de démonter que : MD.MA = MI² - IA²

On demande ensuite d'en déduire l'ensemble (E) des points M de l'espace, tels que : MD.MA = 0

......... avec vecteurs
MD.MA = 0
<=> MI² - IA² = 0
<=> MI² = IA²
......... sans vecteur
<=> MI² = IA²
<=> MI = IA

Et ce n'est pas la médiane passant par le milieu I du segment et perpendiculaire à ce segment.!!

...

Ah ... décidemment ... Je désespère J'ai vraiment du mal à comprendre tout ça ... Merci de m'aider (j'espère que je vais pas accumuler trop de lacunes pour l'année prochaine mais j'avoue que je commence à avoir peur, tout ce que je fais est faux ... )

Donc, si j'ai bien compris pour démontrer que le point H appartient à l'ensemble (E), il faut que je calcule les longueurs HI et IA pour ainsi déterminer si HI = IA ?

J'aurais une dernière question (promis ), est-il possible de déterminer l'équation d'une droite à partir d'une représentation paramétrique de cette même droite ... ?

Ne mélangeons pas les questions.

As-tu répondu à la question 1/ ? déduire l'ensemble (E) des points M

...

Désolée, j'ai fait une pause avec de la physique mais je reviens sur les maths.

Je trouve que l'ensemble des points (E) est le cercle de centre I et de rayon r = IA
Mais ... est-ce-juste ?

Si je considère que mon raisonnement est juste et que l'ensemble (E) des points M est le cercle de centre I et de rayon r = IA; pour démontrer que le point H appartient à l'ensemble (E), il faut que je calcule les longueurs HI et IA pour ainsi déterminer si HI = IA ? ?

J'aurais une dernière question (promis , est-il possible de déterminer l'équation d'une droite à partir d'une représentation paramétrique de cette même droite ... ?

Oh la la, j'en ait marre, je ne sais rien faire en géométrie c'est une catastrophe, je ne sais même pas trouver les coordonnées de I le milieu du segment [AD] ( A(3;0;0) , D(-5;0;1) )

Dans l'exercice 2, je n'ai pas non plus réussit à trouver le distance du point A(1;1;0) à la droite (D) donc on ne connait que l'équation paramétrique :
x = - 2 + t
y = 3            , t appartenant à R
z = t

Merci beaucoup pour votre aide, elle m'est très instructive,
Bonsoir

Pourriez-vous m'aider à démontrer que le point H appartient à l'ensemble (E), je n'y arrive pas...

Et pour calculer la distance du point A(1;1;0) à la droite (D) donc on ne connait que l'équation paramétrique :
x = - 2 + t
y = 3            , t appartenant à R
z = t
quel est le raisonnement à suivre.
Merci pour votre aide, il ne me manque plus qu'à résoudre ces deux questions puis j'en aurait finit avec ces exercices

Avant de démontrer que le point H appartient à l'ensemble (E), il faut trouver H.
Quelles sont les coordonnées de H ? (voir Posté le 27-03-09 à 21:15)

...

J'ai trouvé H(-121;-58;-86)
xh = - 5 - 116 = -121
yh = - 58
zh = 1 - 87 = -86
Le point H étant le projeté orthogonal de D(-5;0;1) sur le plan (ABC).
Je vous rappelle l'équation paramétrique de la droite passant par D et donc par H, orthogonale au plan (ABC) :
x = - 5 + 4t
y = 2t            , t appartenant à R
z = 1 + 3t
Je vous rappelle l'équation cartésienne du plan (ABC) :
4x + 2y + 3z - 12 = 0
Les coordonnées de H sont-elles justes ?

c'est faux.

H appartient à la droite :

xh = - 5 + 4t
yh = 2t    
zh = 1 + 3t

H appartient au plan (ABC) :

4xh + 2yh + 3zh - 12 = 0
<=> 4(- 5 + 4t) + 2(2t) + 3(1 + 3t) - 12 = 0
<=> t = ??

...

J'avais mal compris, maintenant je trouve H(-9;-2;-2), est-ce-juste ?

Il ne me reste plus qu'à trouver les coordonnées du point I milieu de [AD], A(3;0;0) et D(-5;0;1) pour démontrer que H appartient à l'ensemble (E) (donc démontrer que HI = IA par exemple) pour terminer le premier exercice;

et calculer la distance du point A(1;1;0) à la droite (D) donc on ne connait que l'équation paramétrique :
x = - 2 + t
y = 3            , t appartenant à R
z = t
pour terminer le second exercice.

Pourriez vous m'expliquer s'il-vous-plait, quel est le raisonnement à suivre pour trouver les coordonnées du point I milieu de [AD] d'une part, et d'autre part comment calculer la distance du point A(1;1;0) à la droite (D).

Je vous remercie beaucoup du temps que vous consacrez à m'aider.

Oups, je commence à fatiguer... Je fais trop de choses en même temps, on part en voyage le 6 Avril donc cette semaine on a pas mal de boulot et je ne sais plus où donner de la tête

je trouve H(-1;2;4), est-ce-juste ?

Pourriez vous m'expliquer s'il-vous-plait, quel est le raisonnement à suivre pour trouver les coordonnées du point I milieu de [AD] d'une part, et d'autre part comment calculer la distance du point A(1;1;0) à la droite (D).

Et pour calculer la distance du point A(1;1;0) à la droite (D) donc on ne connait que l'équation paramétrique :
x = - 2 + t
y = 3            , t appartenant à R
z = t
quel est le raisonnement à suivre, s'il-vous-plait?

Au fait je trouve IA = 2 fois racine carrée de ( 16 + 1/4 ) ...
Rappel : I(-1;0;0.5) et A(3;0;0)

Et je trouve HI = racine carrée de ( 4 + 49/4 ) ...
Rappel : H(-1;2:4)

Donc, HI différent de IA donc H ne fait pas partie du cercle de centre I et de rayon AI ( l'ensemble noté (E) )...

Est-ce-juste?

I(-1;0;0.5) et A(3;0;0) => IA² = 4² + (1/2)² = 65/4

I(-1;0;0.5) et H(-1;2:4)=> IH² = 2² + (4 - 1/2)² = 65/4

alors ?

...

Oui. Merci beaucoup

Et pour calculer la distance du point A(1;1;0) à la droite (D) donc on ne connait que l'équation paramétrique :
x = - 2 + t
y = 3            , t appartenant à R
z = t
quel est le raisonnement à suivre, s'il-vous-plait?

raisonement à suivre :

1 - déterminer le point K qui est le projeté orthogonal de A sur (D);
2 - calculer la distance de A à K.

...

Je comprend rien ... C'est le contraire de la question de l'autre exercice; c'est plus le projeté d'un point d'une droite sur un plan, c'est le projété d'un point du plan sur une droite donc je peux même pas utiliser le raisonnement que j'ai à peu près compris ... C'est jamais pareil, ça me dépasse totalement, je n'ait aucune idée ...
Pourriez vous détailler la démarche à suivre s'il-vous-plait ...

c'est à peu près le même raisonnement. tu vas voir.

1 - déterminer le point K qui est le projeté orthogonal de A(1;1;0) sur (D);

Ce point K appartient à la fois à la droite (D) et à la fois au plan (P)
orthogonal à (D) passant par A.

ce plan (P) orthogonal à (D) passant par A est défini par
l'expression : AK . U = 0 avec U(1; 0; 1) vecteur directeur de (D)
soit donc : (x - 1) + z = 0 (<< forme xx' + yy' + zz' = 0)

le problème se ramène donc, comme dans l'exercice précédent, à trouver
l'intersection du plan (P) : x + z = 1 et de la droite (D)
connue par son équation paramétrique :

x = - 2 + t
y = 3            , t appartenant à R
z = t

...

Je ne comprend pas comment on trouve ça : "Ce point K appartient à la fois à la droite (D) et à la fois au plan (P) orthogonal à (D) passant par A."

(AK) est bien une droite perpendiculaire à (D),
elle appartient donc au plan (P) perpendiculaire à (D).

..

Ah ok c'est un plan que l'on créer en quelque sorte ... Je comprend, d'accord.
Je trouve K(-1/2;3;3/2), est-ce-juste s'il-vous-plait?

Je trouve ensuite AK = racine de 17 sur 2. Est-ce juste?
AK est donc la distance de A à la droite (D)?
J'arrète les maths pour aujourd'hui, bonsoir.

c'est juste pour K
c'est juste pour AK

...

Super ! J'ai donc finit
Merci beaucoup pour votre aide. Bonne soirée.