J'imagine qu'il faut montrer que chaque terme est inférieur à 1.
Ensuite, il suffit de le montrer pour un seul terme, car la démonstration pour les autres revient au même.
Enfin, il me semble que l'inégalité que tu as écrite est un peu du style de celle qu'il faut démontrer.

désolé de na pas savoir comment démontrer l'inégalité mais ...
en testant l'inégalité avec le triangle 3 4 5, je vois que la somme est bien < 3 avec une des fractions   > 1.
J'en conclus et déduis qu'il est inutile et vain de vouloir montrer que les 3 fractions sont < 1
D'autre part, le terme de gauche s'obtient en faisant tourner les 3 lettres : a,b,c  (ce qui me semble normal, vu que les sommets du triangle sont interchangeables). Il n'y a, donc, pas lieu de vouloir privilégier un terme par rapport aux autres . => le terme de gauche doit donc être pris dans sa globalité !!!
De plus, toujours avec 3 4 5 l'inégalité se vérifie "de justesse" . C'est dire qu'elle doit être fine !! et que on ne doit sans doute pas pouvoir la justifier avec des majorations de majorations  du style "racine de (a+b) < la somme des 2 racines"
Faut il tout mettre sur le même dénominateur ??? le dénominateur commun n'a rien de vraiment engageant mais, pour l'heure je ne vois pas d'autre moyen de tenir compte de man analyse de la question ... je continue de réfléchir à ton problême et regarde de près les idées que tu ou un aura

salut

semblait raisonnable de penser qu'il pouvait y en avoir une supérieur à 1 et "compensée" par les deux autres ...

a, b, c  côté d'un triangle donc a < b + c (et deux autres par permutation ....)

donc a < (b + c) <b + c

donc 1/[a + b - c] < 1/ (a + b) - c]

idem pour les deux autres ....

on majore chaque terme, on multpiplie par la quantité conjuguée .... et on prie ....

Merci carpediem
J'ai toutefois peur que ces majorations ne soient pas assez fine .... mais c'est à tester, en effet.

Autre piste peut-être
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)
donc b=a.sin(B)/sin(A) etc=a.sin(C)/sin(A)

d'où la réécriture du terme de gauche en faisant intervenir les sin et   ...
(je n'ai pas encore essayé cette piste ...)

oui on peut le craindre ...

sur la dernière piste que j'ai évoquée, on aurait alors la même inégalité mais les termes :a,b et c seraient remplacés par : sin(A), sin(B) et ... sin(A+B) car A+B+C = 180°

Oui

J'ai pensé à un truc : On prend genre a > b > c.
Pour démontrer qu'un terme est majoré par 1, j'ai essayé :

et j'aimerais le majorer par

b - c est une différence deux carrés ...

Désolé de ne revenir que le lendemain mais ...

Silentgore... Ca ne peut pas marcher car cela reviendrai à justifier que (a+b-c)a +b -c ) <1

par rotation , les 3fractions vérifieraient la même inégalité

or, nous savons que les 3 termes ne sont pas tous <1

Ah oui en effet.

Bonsoir,


Une autre piste peut-être ,
jouer sur l'homogénéité:
sqrt(a+b-c) => sqrt(1+(b-c)/a) et
sqrt(a)+sqrt(b)-sqrt(c)=> 1+sqrt(b/c)-sqrt(c/a)

et remplacer sqrt(a+b-c) /(sqrt(a)+sqrt(b)-sqrt(c))
par sqrt(1+(b-c)/a)/(1+sqrt(b/c)-sqrt(c/a))


A combiner avec a>b>c ,

Alain

une autre chose qui me dérange
En quoi sommes nous en train d'utiliser le fait que a,b etc sont les longueurs d'un triangle ??

si a=b=c alors la somme =3
si a=b alors(b+a-c)/(b +a -c) =1

pour le reste, je sèche!!!

oui pour l'homogéneïté on peut remarquer qu'il suffit de faire la preuve quand  a = 1 .

Ensuite reste les extrema d'une fonction de 2 variables...les calculs de dérivations sont lourds !

(l'idée est une astuce d'olympiade ......pas facile à voir)

en notant f(a,b,c) le membre de droite

0 < a,b,c  donc f(a,b,c) 3 <==>  f(1/a,1/b,1/c) 3

il y a donc symétrie d'axe défini par les équations équation x = y = z (intersection de deux plans) on remarquera que l'hyperbole est symétrique d'axe x = y ....

si la fonction f (continue) admet un maximum c'est sur cette droite

or f(a,a,a) = 3  (cas du triangle équilatéral donc qui réalise le maximum)


a,b,c mesurent un triangle donc a < b + c et b < a + c et c < a + b

donc si l'un des côtés tend vers l'infini les deux autres aussi (avec un certain de gré de liberté imposée par les trois conditions)


remarquons (cas du triangle isocèle) que avec a < b = c

f(a,b,b) = (2b - a)/[2b - a] + 1 + 1

et il est trivial que le numérateur du premier terme est inférieur à 1



ce me semble-t-il ....

l'opération "prendre l'inverse" peut s'éffectuer sur l'une quelconque des variables pour peu qu'on ait l'équivalence ::

(a,b,c) est un triangle <==> (1/a,b,c) est un triangle

en particulier on a l'équivalence :: (a,b,c) est un triangle  <==>  (1/a,1/b,1/c) est un triangle ....

en tout cas, une chose est sure ...
cet exrcice traine depuis 2 jours et on sèche ...
est-ce déjà du niveau de math sup que de gérer les extremas des fonctions de deux variables ???

Silentgore, peux-tu nous préciser le contexte dans lequel on t'a donné cet exo ??
quel chapitre as tu vu récemment ???
y'a t'il d'autres exos du même topo ???

Bah notre prof nous a donné ça en DM. Notre dernière leçon étant la dérivation, je ne pense pas que cela ai un rapport avec cette leçon et ça doit être faisable à mon niveau je pense... C'est un exercice de recherche d'après lui.

Sinon oui j'ai un autre exercice du même style sur le DM.

Si c'est un exercice d'olympiade, (ce qu'il semble) c'est niveau  troisième !   Dans le sens où aucune connaissance de lycée n'est nécessaire .

Les extrema sont niveau 2 ième année ....mais même avec ça on renonce aux calculs.

on peut envisager de changer les données a,b,c avec abc
par a.1, a. avec 1  , a.avec
les conditions nécessaires pour que a,b,c soient les longueurs d'un triangle reviendraient à 1+

en posant =.x
on pourrait alors considérer la somme comme une fonction en x de paramètre

avec x l'intervalle 1;(1+1/

la dérivée de cette fonction doit être négative car le maximum s'obtient avec =1 et x=1

il resterait à justifier que
si augmente la fonction diminue
pour fixé, la fonction décroit car sa dérivée (galère pour les calculs! ) est négative

je n'ai pas d'autre piste qui tienne compte du niveau de cet exercice
en attendant vos remarques
A+

il me semble que je l'ai démontré avec des outils de lycée, non ? ....

Bonjour Carpediem,

Je ne suis pas convaincu par ta preuve.

d'une part je ne vois pas pourquoi   si   a,b,c,  est un trinagle, 1/a , 1/b, 1/ c aussi ?  

Et même avec ça la symétrie ne suffit pas rien ne dit que le maximum soit unique...à supposer qu'il existe ...

je l'ai démontré .... _{^{sauf erreur}}

D'ailleurs  c'est faux  , 3, 6, 8  peuvent être les cotés d'un triangle

mais  1/3 = 0,33333 ;  1/ 6 = 0,16666 ..., 1/8 = 0,125    MAIS   1/6 + 1/8 = 7/24 = 0,2... <  0, 333  

je n'ai jamais dit qu'il était unique

je dis simplement que l'égalité a lieu pour tout triangle équilatéral .... donc il y a (au moins) un maximum ...

une nouvelle piste. Souvent ce genre d'inégalité est démontrée en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
Si a₁;a₂;...a_n;b₁;b₂;...;b_n sont des réels alors :
(a₁²+a₂²+...+a_n²)(b₁²+b₂²+...+b_n²)(a₁b₁+a₂b₂+...+a_nb_n)²

Donc l'idée est de considérer les numérateurs comme a₁;a₂;a₃ et les dénominateurs comme b₁;b₂;b₃ et donc majorer (a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃) avec la formule ci-dessus. Déjà la somme des a donne a+b+c ce qui de bonne augure. Reste à se dépêtrer de la somme des b².

Par exemple j'ai vu un exercice d'olympiade qui ressemble un peu : montrer que avec a;b;c les 3 cotés d'un triangle qui se résolvait comme ça.

il faudrait essayer aussi l'inégalité de Chebyshev, du réordonnement, ou Muirhead, c'est forcement un truc dans le genre.

ha tiens j'ai lu que souvent dans les problèmes où a;b;c sont les cotés d'un triangle, le changement de variable suivant fait des merveilles car il neutralise la triple condition a+b>c ; b+c>a ; c+a>b
x=a+b-c
y=b+c-a
z=c+a-b
a=(x+z)/2 ; b= (x+y)/2 ; c=(y+z)/2

Donc à mon avis, ici, c'est surement utile de commencer comme ça.

je viens exactement de démontrer cette inégalité et essayer de bricoler avec ... guère concluant .....


_{^{je reconnais que mon raisonnement précédent n'est pas rigoureux .... mais on sait au moins qu'on atteint 3 ....}}

J'aime bien le changement de variables de Glapion, les numérateurs deviennent simples surtout si on pose a+b-c = x² de façon à mettre en avant le fait que a+b-c > 0

Bonsoir,


Ce gros nonôsse résiste!

f(a,b,c) est donc une fonction symétrique ,homogène
de degré 0 ,atteignant son maximum dans R (d'où les
contraintes triangulaires) pour a=b=c ,f(a,a,a,)=3 .

La fonction f(a,b,c) vérifie aussi :




Alain

Des choses qui ne marchent pas :


1) on peut passer en coordonnées sphériques et on n'a plus que 2 variables  lol

2) on peut imposer  a²+ b²+c² = 1 , et appliquer les extréma liés...bof .

3)  On peut appliquer  IAG ....mais elle est dans le mauvais sens relol.

f(ka,kb,kc) = f(a,b,c) pour k > 0

donc si elle admet un maximum par homothétie on peut toujours se ramener à la boule unité ..... fermée .....

de plus f est continue .... et dérivable ....

ouais en fait je dis la même chose que ton 2)

IAG ???

f est aussi invariante par toute permutation du triplet (a,b,c) .....

sa courbe est donc symétrique par rapport aux plans d'équation x = y, y = z et z = x (les triangles isocèles) et donc à leur droite de concours (on est dans R⁴ ...) d'équation x = y = z (les triangles équilatéraux) ...

IAG :  inégalité arithmético-géométrique.

Ou est passé Silentgore ???

J'ai réfléchis à une piste avec le changement de variable. Je poste ça tout à l'heure.

le suspense est à son comble....

question:dans cet exercice on a pas indiquer que par exemple: ac ou autre..
y a pas d'autres questions qui precedent cette question?
merci

Euh je suppose que ça marche, l'identité de la quatrième ligne saute bien sûr au yeux .

C'est pas ce que j'avais fais, et d'ailleurs quelques éléments m'échappent *.*

l'égalité de la 4ème ligne est "belle" ...
l'utilisation de cette réécriture dans la somme me plait beaucoup mais ....
la positivité du terme me semble évidente lorsque
z est le plus grand
z est le plus petit
mais quand z est l'intermédiaire ??? (z-x) et (z-y) sont de signes contraires !!! et le terme est négatif !!!!

comme  c'est symétrique peut supposer  sans perte de généralité que  z et le plus grand.

J'aimerais juste comprendre comment on "voit" la 4 ième ligne ?

(x+y-z)²-x²-y²+z² =2z²+2xy-2xz-2yz = 2(z-x)(z-y)

c'est y pas beau ??

Bonsoir,

Dois-je penser le problème résolu?

Ce me semble parachuté ; en fait je vois aucune ligne
d'ensemble dans tout cela.

Le plus souvent le problèmiste part d'un sous produit d'étude
et il existe alors une raison à telle ou telle propriété ,


Alain

Bonjour,

Mais d'où, à l'origine , vient cette inégalité?
Cela me semble tout aussi intéressant
qu'une vérification laborieuse...


Alain

où est-il utilisé que a, b et c sont les côtés d'un triangle ?

cette hypothèse est nécessaire .... mais pourquoi suffit-elle ?

....

parce que   a et leur copains sont équivalentes à l'existence d'un triangle de coté  a,b,c.