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Niveau Maths sup
Dénombrement - Marches aléatoires
Posté par puisea 
Bonjour dans le cadre de mon TIPE je travaille sur les marches aléatoires plus ou moins complexes. L'étude des marches aléatoires sur est faîte dans sa totalité. En revanche je rencontre quelques soucis pour établir des formules pour une marche aléatoire sur
.
Voila le problème : on se situe dans un repère, on part à partir d'un point d'origine et on peut se déplacer successivement vers le haut, vers le bas, vers la droite, ou vers la gauche d'une unité (ces 4 choix étant équiprobables). On peut déja établir quelques propriétés pour qu'une trajectoire soit réalisable pour rejoindre deux points.
Si l'on part de l'origine repérée par (0,0,0), c'est-à-dire du point (0,0) à l'intant 0, et que l'on va au point (x,y,t), c'est-à-dire au point (x,y) [avec x et y entiers relatifs bien sûr] après t déplacements, alors on doit avoir :
(x+y) et t de même parité
Sinon il n'existe pas de trajectoire possible entre ces deux points.
Ma question est la suivante : comment établir une formule générale permettant de dénombrer le nombre de trajectoire possibles entre un point (a,b,0) et (c,d,t) ?
Avoir cette formule s'avère nécessaire pour étudier des comportements asymptotiques dans ce modèle à moins qu'il soit possible de faire des parallèles entre l'étude sur et celle-ci en se passant de formules supplémentaires.
Merci d'avance 
ou alors tu te ramènes à a = 0 et b = 0 (par une translation) et à un ensemble {(a;b) | |a|
t , |b|t} vu que tu ne peux pas aller plus loin en t étapes. et tu établies une matrice 2t+1 
2t+1 pour chaque t
pour t = 1 tu as :
0 1 0 avec n1,(-1;+1) n1,(0;+1) n1,(+1;+1)
1 0 1 n1,(-1;0) n1,(0;0) n1,(+1;0)
0 1 0 n1,(-1;-1) n1,(0;-1) n1,(+1;-1)
avec n1,(i;j) le nombre de chemins possibles de longueur 1 pour aller de (0;0) à (i;j)
pareil pour t = 2 :
0 0 1 0 0
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 avec cette fois-ci une matrice (n2,(i;j)
0 1 0 1 0 donnant le nombre de chemins de longueur 2 pour
0 0 1 0 0 aller de (0;0) à (i;j)
etc ...
peut-être que tu verras apparaitre quelque chose de sympa...
-----
ou alors tu devras établir une relation In = In-1I1
en précisant comment fonctionne ""
-----
Dernière possibilité : pour tout (c ; d), le nombre de chemins de longueur t allant de (0;0) à (c ; d) est :
n(c;d;t)=n(c-1;d;t-1)+n(c;d-1;t-1)+n(c+1;d;t-1)+n(c;d+1;t-1)
Ouaip. Le problème de puisea ne me semble pas simple. Je serais plutôt du genre à chercher un bouquin dans lequel c'est fait plutôt que de chercher moi-même.
A part ça CrimsonKing, sache que le probabiliste islandais Hermann Thorisson 
a parsemé son livre "Coupling..." de fragments de paroles de King Crimson 
ce serait vraiment dommage, à 1 mois de la fin des cour de se mettre (enfin) à chercher son TIPE, quand on sait le temps que ce genre de chose prend...
Tu as vu ça ? Dans les liens du site d'Hermann Thorisson on trouve Greg Lake, ancien membre de King Crimson
Ici un exemple que j'ai reproduit du livre de Thorisson : Covariance
Pour en revenir à notre problème, on peu facilement montrer que pour un point (c;d), si c+d est paire, alors si t est impair, la valeur vaut 0
idem pour c+d impaire et t pair...
je sens qu'on avance, on a trouvé la moitié de cette fonction 
Pour ma part je ne réfléchis plus au problème de Puisea. J'ai bien trop de chats à fouetter et là je vais dormir. Bye bye roi cramoisi.
Bonsoir, enfin rentré pour un WE de trois jours !
Merci pour vos réponses, je vais regarder ca de plus près demain car là : dodo.
Ceci étant dit, par rapport à :
Citation :
ce serait vraiment dommage, à 1 mois de la fin des cours de se mettre (enfin) à chercher son TIPE, quand on sait le temps que ce genre de chose prend
ce serait vraiment dommage, à 1 mois de la fin des cours de se mettre (enfin) à chercher son TIPE, quand on sait le temps que ce genre de chose prend
Je tiens à m'expliquer
Nos TIPE ont commencé plutôt tard étant donné que l'on planche sur le thème de l'année prochaine sortie un peu après le début de l'année 2007. Je suis d'accord qu'étant donné le temps qu'il reste cela ne sera pas évident ceci étant dit, l'étude dans Z² n'est pas là où nous consacrerons le plus gros de notre temps lors du passage à l'oral (tout du moins pour la sup). Nous avons vraiment poussé l'étude dans Z, et plusieurs simulations informatiques ont été faites dans Z^2, dans Z^3 puis dans R^3 (au plus proche du mouvement brownien). Voila, voila, il y a encore du travail certes 
(il y en a toujours)
Pour ce qui est de trouver des références, j'en ai trouvé une à partir de wiki : un livre anglais mais à 70€ ce n'est pas génial. En revanche si vous avez des réf, je suis preneur
Bonne fin de soirée et à plus tard (demain ?) surement.
Posté par Lucas54 (invité)re : Dénombrement - Marches aléatoires
Bonjour,
Je suis nouveau sur le forum, donc n'hésitez pas à me dire si je suis à côté de la plaque.
Déjà, un truc est sûr, c'est que la marche dans Z^2, on peut la voir comme deux marches indépendantes dans Z : tu projettes la particule sur la première et la deuxième bissectrice, ça te donne deux marches indépendantes (facile à vérifier). En particulier, on peut en déduire que
P(S'_2K = 0) = P(S_2k = 0)^2
si S' désigne la marche symetrique dans Z^2 et S la marche symétrique dans Z. Cette idée toute simple suffit à résoudre plein de pb dans Z^2 (mais ne marche plus en dimension supérieure).
Sinon tu as quand même une formule pour le nb de chemins de (0,0) à (x,y) en t étapes. Voilà le raisonnement :
soit g le nombre de pas à gauche faits pendants les t premières étapes (resp. d,h,b les pas à droite, en haut, en bas).
Alors :
g+d+h+b=t
d-g=x
h-b=y
Donc finalement, on doit choisir g entre 0 et t/2, et ensuite d,h et b sont fixés. Ensuite, on doit choisir parmi les t pas où sont les gauches droits,hauts,bas. Ca te donne une formule avec des coeff binomiaux assez inutilisable. Si tu la veux vraiment, j'ai une référence également en anglais qui doit être dans toutes les bibli.
Grimmett & Stirzaker "Probability and Random Processes"
Bon courage, demande si tu as un problème.