Salut,

La mesure de Lebesgue sur [0,1] s'identifie via le développement binaire à la loi d'une suite de v.a. indépendantes qui valent 0 ou 1 avec probas 1/2 et 1/2.

Par la loi des grands nombres, la proportion de 1 tend vers 1/2 presque sûrement, c'est-à-dire que la mesure de Lebesgue des nombres qui ont une proportion =1/2 de 1 (et de 0) est égale à 1.

Ce qui me contredit c'est que l'application préserve la mesure de Lebesgue, je ne comprends plus là...

Bonjour
Je ne serai probablement pas d'une grande aide, mais déjà est-on sûr que cet ensemble E est Lebesgue-mesurable?

Fractal

ahhh non ok cela n'engendre pas de contradiction

Oui Fractal car l'application  x dans [0,1] -> (développement binaire de x)  est mesurable

Oki !

Fractal

... je ne suis pas sûr que la densité soit vraie... si la proportion de 1 dans le développement de  x  est  >3/4, cela n'implique-t-il pas que  x  est à une distance >0 de l'ensemble des nombres de  [0,1]  qui ont une proportion =1/2 ?

En fait je n'avais pas vérifié que x->1-x envoyait E sur son complémentaire, mais avec les mains ça avait de l'allure.

Mais je ne comprend pas bien pourquoi l'ensemble des nombres qui a une proportion 1/2 de 1 est de mesure 1.

Sinon pourquoi n'y a t'il pas contradiction (si x->1-X envoie bien E sur son complémentaire) ?

J'avoue que la vision probabiliste est plus adaptée ici, mais les notions me manquent pour l'aborder sous cet angle.

Il n'y a pas contradiction car  x -> 1-x  n'envoie pas E sur son complémentaire, comme je l'avais cru aussi

je ne suis pas sûr que la densité soit vraie

La densité n'est pas difficile :

Donne toi un nombre
La suite est toujours dans E, puisque la proportion des 1 est nulle (puisque la suite des x_i est stationnaire sur 0 à partir du rang n+1 ) et converge trivialement vers x par définition.

Il n'y a pas contradiction car  x -> 1-x  n'envoie pas E sur son complémentaire, comme je l'avais cru aussi
Voila pourquoi il ne faut pas faire confiance à son intuition. J'aurais du l'écrire pour le voir alors.
As-tu un exemple rapide ?
On interdit les infinité de 1 dans les développements binaires. (comme les 9 dans les développements décimaux)

en effet

Si E est l'ensemble des nombres dont la proportion de 1 est <p, il est facile de déterminer l'image de E par x->1-x, et ce n'est pas le complémentaire.

...sauf pour une valeur particulière de p

La valeur particulière de p n'est pas 1/2 justement ?

Pour les autres p, je savais que x->1-x ne fonctionnait pas

Oui c'est p=1/2 bien sûr.

De plus otto, le théorème de la limite centrale te dit comment est distribuée la proportion de 1 asymptotiquement :

pardon

Non c'est ça, il y'a eu confusion.
Je parlais dès le départ de x->1-x pour le cas p=1/2.

Je me pose cette question parce que je veux démontrer un résultat plus fort que celui du problème suivant:

Construire E tel que

pour tout intervalle I de R.

Question subsidiaire:
un tel E est-il de mesure finie ?

En modifiant mon E, en le prenant de mesure 1/(2n^2) par exemple (donc p=1/2n^2) et en le translatant suffisament, on arrive à répondre au problème en le généralisant légèrement.

? Je ne comprends pas. Ton E ? avec p=1/2n^2 ? Quel E ?

Je vois : tu veux prendre où est tel que .

Mais comment construis-tu ces ?

Oui c'est ça. (je prend aussi des n négatifs, histoire de recouvrir aussi R-, mais peu importe, puisque ce qui fonctionne sur R+ fonctionnera sur R-)

Pour construire En, il suffit de se placer dans [0,1] et de translater, alors sans perte de généralité on peut travailler avec des E_n dans [0,1], quitte à les translater par la suite.

Ensuite, j'aurais eu envie de construire E_n comme je le décrivais au début, c'est à dire comme l'ensemble des nombres dont la proportion de 1 est de p_n.

Tu me dis que ça ne fonctionne pas ?

BEn non ça ne fonctionne pas, c'est ce que je dis depuis le début! On a m(E)=1 si p>1/2 et =0 sinon!

Ok, je voulais remettre les choses au clair, parce qu'il y'avait eu un qui pro quo au début, ou du moins je ne comprenais pas notre discution.

Ok, dommage alors.

... doit y avoir moyen de construire de tels ...

Si on prend E l'ensemble des nombres de [0,1] dont le développement en base 3 a une proportion de 0 =1/3, il est de mesure 1, mais est-il dense ?

... oui c'est évident, comme tout à l'heure.

Donc on peut construire les pour tout rationnel

_{Conversation de docteur, la classe}

Skops

Salut,
je ne veux pas qu'il soit de mesure 1, je veux qu'il soit de mesure plus petite que 1 et de sorte que

Pour tout sous intervalle I de [0,1].

Sinon, on pourrait prendre R\Q tout simplement.

Tu as raison, j'ai déliré, ça m'arrive assez souvent.

En y réfléchissant un peu, j'ai repensé aux ensembles de Cantor "gras" dont on m'avait parlé un jour.

Je ne me souviens pas trop de ce que c'est, mais en tous cas je me souviens de cette remarque que je m'étais faite à moi-même :

Citation :
Tout ensemble de Cantor gras est maigre

Salut
non l'ensemble de cantor est compact, il ne peut donc pas être dense dans [0,1].

Je pense que ce que tu appelles Cantor gras est un ensemble de Cantor dont la mesure de Lebesgue est non nulle.

Tu as raison pour la densité.

Mais n'empêche que les Cantor gras répondent peut-être à tes désirs.

Salut,
non ca ne fonctionne pas, ni le Cantor, ni son complémentaire.
C'est du à la disconnexité totale des espaces de Cantor.

En effet, si le Cantor fonctionnait, on n'aurait pas la densité (et c'est une condition nécessaire, c'est presqu'immédiat).
Si le complémentaire fonctionnait, on pourrait trouver un intervalle inclus dans ce complémentaire et il ne vérifierait pas l'inégalité sur les mesures.

Problème vraiment non trivial donc
Intéressant cela dit.
Merci pour ta proposition.
a+

Re,

Puisque   est dense dans et puisque , alors pour , on ne devrait pas être surpris de l'existence d'un ensemble dense dans tel que .

J'aimerais bien me souvenir de comment est défini le "gras" des "Cantor gras"...

Doit bien y avoir moyen d'engraisser assez élémentairement

Moi aussi je suis convaincu de ça, mais malheureusement, la conviction ne fait pas tout.
J'y réfléchis tranquillement pendant mes pauses et quand j'aurais trouvé, je posterais ma réponse.
a+

Bonjour, otto et stokastic.

Je pense avoir trouvé une partie E de R telle que, pour tout intervalle I de R:


Je vais vous la construire en 3 posts:

dans le premier post, je construirai "un ensemble de Cantor gras" (terminologie de stokastic)

dans le deuxième post, j'établirai quelques propriétés de cet ensemble

dans le troisième post, je construirai E à partir de cet ensemble de Cantor.

Prévoir un petit délai (pas plus de 2 jours).

[quote]1) Montrer que le Cantor triadique est un compact non vide d'intérieur non vide.[/tex]

Pardon:

1) Montrer que le Cantor triadique est un compact non vide d'intérieur vide.

Bonjour,
tu aurais du créer un nouveau topic pour ton problème.

La question 1 se déduit trivialement de la 2.
Si tu veux une méthode qui n'utilise pas la 2, alors pense qu'un intervalle est un ensemble tel que si a et b sont dans l'ensemble et que a<c<b, alors nécessairement c est dans l'ensemble.
Regarde comment est construit le Cantor et montre que l'ensemble de Cantor ne peut contenir aucun intervalle. (S'il contenait un intervalle, on en aurait enlevé une partie...)

Pour la mesure de l'ensemble de Cantor, il suffit de voir que la mesure d'une intersection décroissante est la limite des mesures dans le cas où la mesure est finie à au moins une étape de la construction.

a+

Je commence donc par la construction d'un "ensemble de Cantor gras" (pas très loin de l'ensemble de Cantor triadique décrit par romu un peu plus haut). Tout ce que je vais écrire est tiré du livre de Kahane et Salem:

Ensembles parfaits et séries trigonométriques
éditions Hermann (1994)
chapitre I, paragraphe 2

Soit AB un segment de droite de longueur et un nombre strictement compris entre 0 et 1/2. Considérons une trisection du segment en parties respectivement égales à et . Nous enlevons l'intervalle central ouvert (intervalle "noir"), de longueur , en laissant subsister les deux intervalles fermés ("intervalles blancs") de longueur commune . Une telle dissection sera dite dissection du type de l'intervalle AB donné, le nombre 2 rappelant qu'après la dissection, il reste deux intervalles "blancs".

Ceci dit, partons de l'intervalle . Opérons une dissection de type sur cet intervalle, puis, une dissection de type sur chacun des 4 intervalles blancs restants; puis encore, une dissection du type sur chacun des 4 intervalles blancs obtenus, et ainsi de suite, la suite infinie étant telle que pour tout on ait . A la kième étape nous aurons un ensemble de intervalles blancs de longueur commune  . L'intersection



est un ensemble compact sans point isolé et sans point intérieur, dont les intervalles contigus sont les intervalles noirs obtenus au cours de toutes les dissections. L'ensemble est de mesure:



Les origines des intervalles blancs constituant sont donnés par la formule:



où les prennent les valeurs 0 ou 1.

Les points de E sont donnés par la série:



chaque pouvant prendre les valeurs 0 ou 1.

Voilà: fin de la citation (pas tout à fait fidèle, il est possible donc qu'il y ait des fautes).

Donc: j'appellerai "Cantor gras" un ensemble défini précédemment de mesure non nulle. La suite plus tard.

NB: l'ensemble de cantor triadique correspond au cas et est, lui, de mesure nulle.

Je passe maintenant aux propriétés d'un "ensemble C de Cantor gras". Comme l'a signalé Otto dans un post précédent, C étant compact, son complémentaire est ouvert et il existe donc des intervalles I de R tels que

Cependant:

si I est un intervalle ouvert de R contenant au moins un point x de C, alors
En effet, il existe tel que l'intervalle soit inclus dans I. Il existe k tel que . L'intervalle blanc de contenant x est alors inclus dans I (on rappelle qu'il est de longueur ). Donc, est inclus dans I et: . De plus, I contient au moins l'intervalle noir obtenu après la dissection de l'intervalle blanc de contenant x. On en déduit clairement que .

Il reste maintenant à construire E à partir de C.

On écrit Q sous la forme

est l'image de C par la translation de vecteur .

Supposons construits et notons la distance de à . On construit de la manière suivante: si est dans , alors est l'ensemble vide; autrement, est l'image de C par , où est l'homothétie de centre O et de rapport et est la translation de vecteur .

E est la réunion des ensembles . Cet ensemble E vérifie bien la propriété:

Citation :
Pour tout intervalle I de R non réduit à un point:

Bonjour, c'est une conversation collector.

Si un modo peut déplacer mes messages, afin que je ne pourrisse pas le topic avec mes questions bêtes. Je me sens pas à ma place ici

En tout cas merci pour tes explications otto, je vais tâcher de bien les exploiter.

Bonjour, romu.

Tu as écrit:

Kahane c'est ce nom que je recherchais depuis des années !!

Bonjour, pour les deux premières questions aucun souci, je passe à la dernière

Pour la question 3), voilà comment je procède (en reprenant les notations de mon post du 21/07/2007 à 01:51) :

Pour tout entier , est union de intervalles fermés inclus dans , donc est compact. Par conséquent est compact.

Pour tout entier , , donc est non vide.


Soit un intervalle ouvert non vide de , on note .

Il existe tel que (car ).

Pour qu'un intervalle ouvert soit inclus dans , il faut qu'il ait une longueur inférieure à .

Donc n'est pas dans , et a fortiori n'est pas dans .
Donc a un intérieur vide.

Après je bloque à cette question:

Citation :
Montrer que pour tout réel   on peut trouver une suite telle que le Cantor associé à cette suite soit de mesure .

J'ai un petit souci,

je trouve

,

,

,
...,

.

Comment montrer que cette suite est convergente, et comment peut-on trouver sa limite si c'est le cas?

Salut,
merci à perroquet pour sa réponse que je n'ai pas encore eu le temps de lire.

Pour ta question romu, un produit de la forme
avec les 0<lambda_i<1 converge si et seulement seulement si ??

pardon, je voulais dire

.

Salut otto,

les forment une suite décroissante et minorée, donc convergente, non?