Bonjour,
Voici l'exercice :
Soit n appartenant à N. On considère la fonction fn définie sur R*+ par fn(x) = x^nexp(1/x). Déterminer la dérivée (n+1)-ième de fn.
J'ai cherché des éléments de réponses, mais j'ai besoin d'un aide ! Voilà mes ébauches de réponses :
On sait que, d'après le théorème de Leibniz, on a : (f*g)^n = ( de k=0 à n ) ( k parmi n ) f^k * g^n-k.
essai dérivée pour voir comment évolution la fonction :
1er dérivée : nx^n-1exp(1/x) - x^n/x²exp(1/x)
Mais il faut dérivée x^n. Donc d^k ( x^n )/dx^k = n(n-1) ... (n-k+1) x^n-k.
Et comme je me suis dit qu'on doit aller à la dérivée n+1, j'ai transformé le théorème de Leibniz et il devient :
(fg)^n+1 = ( de k=0 à n+1) ( k parmi n+1 ) f^kg^n+1-k
Et je pense qu'il faut dérivée n-ième fois x^n jusqu'à n+1 ?
Commence par calculer f0' , f1" , f23 , f34
Il faut espérer que tu devineras une formule que tu puisses ensuite montrer par récurrence .
vous avez
On pose : et
Effectivement la formule de Leibnitz permet d'écrire :
Avec :
Pour l'autre terme vous avez la combinaison de deux fonctions et
il faut calculer
de ces deux fonctions et les intégrer dans la formule de Leibnitz.
Comme le propose kybjm, avant de t'engager dans des calculs laborieux calcule , cela pourrait être beaucoup plus simple.
D'accord.
Donc pour f0' = nx^n-1*exp(1/x) - x^n/x² * exp(1/x)
Pour f1" = n(n-1)x^n-2 * exp(1/x) - nx^n-1/x² * exp(1/x) - (nx^n-1*x² - x^n*2x)/x^4 * exp(1/x) + x^n/x^4 * exp(1/x). Est bien cela ? Parce que, en dérivant encore à f2"', on va obtenir 8 termes ...
Est-il mieux de démontrer par récurrence ou par la formule de Leibniz ?
Bonjour.
>>Barthf
Ce que tu viens de calculer ce n'est pas ni
mais
et
.
On trouve aussi et
Quelle est donc la relation qui apparaît?
Utilises ensuite l'égalité et la formule de Leibnitz. (beaucoup de termes seront nuls)
Bonjour Delta-B !
Tu as tout à fait raison, j'avais calculé avec fn' !
J'ai retrouvé comme toi et j'arrive à une relation donc :
fn+1(x) = (-1)^n/x^n+1 * exp(1/x)
En utilisant ton égalité, j'arrive à fn+1(x) = 1/x * fn(x) ?
Par contre, en utilisant la formule de Leibniz, je dis g revient à 1/x et f à fn(x) ?
J'ai du mal à comprendre. Donc le Fn'(x) revient au (Fn)^n+1(x)?
Et entre Fn^n+1(x) et Fn+1^n+2(x), on a bien une expression comme celle-ci : f(x) = (-1)^n/x^n+1 * exp(1/x) pour passer de l'un à l'autre non ?
Et on met tout à la puissance n + ( quelque chose ) parce qu'on veut jusqu'au rang n+1 ?
Pour tout x non nul on a :
..Df0(x) = -e1/x/x²
..D²f1(x) = e1/x/x3
..D3f2(x) = -e1/x/x4
On suspecte donc que pour tout n
et tout x non nul on a : Dn+1fn(x) = (-1)n+1e1/x/xn+2 .
Seule l'hérédité est à voir .
Si pour un entier n > 0 on a Dn+1fn(x) = (-1)n+1e1/x/xn+2 alors comme fn+1(x) = xfn(x) on a Dn+2fn+1(x) = xDn+2fn(x) + (n + 2)Dn+1fn(x) ( Leibniz )
Il reste à exploiter le fait que Dn+2fn = (Dn+1fn)'
Bonjour.
>> Barthf.
Il ne faut pas oublier que l'on a calculer à calculer et pour
on aura donc à calculer
. Il ne faut pas oublier non plus que
.
D'accord je vois. Donc une fois que l'on a cette expression xfn(x) = fn+1(x), on utilise Leibniz avec f = x et g pour fn(x), donc c'est à dire x^n * exp(1/x) ?
Bonjour.
On applique la formule de Leibnitz pour la dérivée d'ordre n+1 appliquée au produit avec
et
. On a
pour
. On aura alors:
.
L'hypothèse de récurrence donne
. Reste à trouver l'expression de f_n^{(n)}(x)
Bonjour.
Désolé, on n'aura pas besoin de l'expression de .
On a calculé pour le moment la dérivée d'ordre de
et non celle d'ordre
. On avait trouvé en posant
et
:
.
d'où:
CQFD.
A titre de curiosité:
Bonjour,
Superbe la formule ,je n'avais péniblement trouvé que les deux
premiers termes du polynôme.
Il existe peut-être une solution s'appuyant sur la récurrence,
Alain
D'accord, juste 2-3 petites questions :
Fn+1(x) = x^n+1 exp(1/x), je n'arrive pas à voir pourquoi ?
On calcul fn+1^n+2(x) parce que c'est la dérivée de fn+1^n+1 ? Et que c'est pour ça qu'on va au range n+2 ?
Bonjour.
1) Comment est définie la fonction Que vaut alors
.
2) La question posée était: Déterminer la dérivée -ième de
. Quelle est la relation entre l'ordre de dérivée de
qu'on veut déterminer et l'indice de
? On doit donc déterminer quelle dérivée pour f_{n+1}?
Dans mes notations, l'exposant (mis entre parenthèses sauf erreur de frappe) désigne l'ordre de dérivation.
Remarque:
Dans tes notations, il manque des parenthèses qu'il fallait mettre éviter toutes fausses des interprétations des notations et formules, fn+1^n+2(x) peut être compris au sens de et non de
. fn+1^n+2(x) devrait être écrit f(n+1)^(n+2)(x) et préciser que l'exposant est l'ordre de dérivation. .
1) fn(x) = x^n * exp(1/x) donc f(n+1)(x) est la derivée f(n+1)^(n+2)(x) ?
2) La relation, c'est bien avec n+1, puisque à chaque terme, ( en dérivant ) on passe de fn^(n+1)(x) puis f(n+1)^(n+2)(x) etc ?
D'accord, j'ai pris en compte
Bonsoir.
1)
D'accord ! J'ai compris, merci !
Et juste une dernière question : Pourquoi tu trouves (-1)^(n+2) à l'avant dernière ligne de ton calcul ? ( post du 28 décembre, 1h45 ). On devrait plutôt trouvé (-1)^(n+1) ? Ou alors c'est à cause de la puissance du x^(n+3) ?
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