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Niveau Maths sup
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Derivée n+1-ième

Posté par
Barthf
23-12-13 à 12:27

Bonjour,

Voici l'exercice :
Soit n appartenant à N. On considère la fonction fn définie sur R*+ par fn(x) = x^nexp(1/x). Déterminer la dérivée (n+1)-ième de fn.

J'ai cherché des éléments de réponses, mais j'ai besoin d'un aide ! Voilà mes ébauches de réponses :
On sait que, d'après le théorème de Leibniz, on a : (f*g)^n = ( de k=0 à n ) ( k parmi n ) f^k * g^n-k.

essai dérivée pour voir comment évolution la fonction :
1er dérivée : nx^n-1exp(1/x) - x^n/x²exp(1/x)

Mais il faut dérivée x^n. Donc d^k ( x^n )/dx^k = n(n-1) ... (n-k+1) x^n-k.
Et comme je me suis dit qu'on doit aller à la dérivée n+1, j'ai transformé le théorème de Leibniz et il devient :
(fg)^n+1 = ( de k=0 à n+1) ( k parmi n+1 ) f^kg^n+1-k

Et je pense qu'il faut dérivée n-ième fois x^n jusqu'à n+1 ?  

Posté par
kybjm
re : Derivée n+1-ième 23-12-13 à 15:29

Commence par calculer f0' , f1" ,  f23 , f34
Il faut espérer que tu devineras une formule que tu puisses ensuite  montrer par récurrence .

Posté par
Razes
re : Derivée n+1-ième 23-12-13 à 15:45

vous avez f_{n}\left ( x \right )=x^{n}e^{\frac{1}{x}}

On pose : h_{n}\left ( x \right )=x^{n} et g\left ( x \right )=e^{\frac{1}{x}}

Effectivement la formule de Leibnitz permet d'écrire : \left ( h_{n}g \right )^{\left ( n+1 \right )}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}h_{n}^{\left ( k \right )}g^{\left ( n+1-k \right )}

Avec : h_{n}^{\left ( k \right )}=\frac{n!}{\left ( n-k \right )!}x^{n-k}

Pour l'autre terme vous avez la combinaison de deux fonctions p(x)=e^{x} et q(x)=\frac{1}{x} il faut calculer \left ( poq \right )^{\left ( k \right )} de ces deux fonctions et les intégrer dans la formule de Leibnitz.

Posté par
Razes
re : Derivée n+1-ième 23-12-13 à 15:51

Comme le propose kybjm, avant de t'engager dans des calculs laborieux calcule f_{0}^{'}, f_{1}^{''}, f_{2}^{'''}, f_{3}^{''''}, cela pourrait être beaucoup plus simple.

Posté par
Barthf
re : Derivée n+1-ième 23-12-13 à 16:59

D'accord.

Donc pour f0' = nx^n-1*exp(1/x) - x^n/x² * exp(1/x)
Pour f1" = n(n-1)x^n-2 * exp(1/x) - nx^n-1/x² * exp(1/x) - (nx^n-1*x² - x^n*2x)/x^4 * exp(1/x) + x^n/x^4 * exp(1/x). Est bien cela ? Parce que, en dérivant encore à f2"', on va obtenir 8 termes ...

Est-il mieux de démontrer par récurrence ou par la formule de Leibniz ?

Posté par
delta-B
re : Derivée n+1-ième 23-12-13 à 18:40

Bonjour.

>>Barthf
Ce que tu viens de calculer ce n'est pas f'_0(x) ni f''_1(x) mais f'_n(x) et f''_n(x).

f_0(x)=x^0 \exp\left(\dfrac{1}{x}\right)=\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)  \Longrightarrow f'_0(x)=-\dfrac{1}{x^2}\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)

f_1(x)=x \exp\left(\dfrac{1}{x}\right)  \Longrightarrow f'_1(x)=\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{1}{x}\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)\Longrightarrow f''_1(x)=\left(\dfrac{1}{x^3}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)

On trouve aussi f_2^{(3)}(x)=\left(-\dfrac{1}{x^4}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)  et f_3^{(4)}(x)=\left(\dfrac{1}{x^5}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)

Quelle est donc la relation qui apparaît?
Utilises ensuite l'égalité f_{n+1}(x)=x f_n(x) et la formule de Leibnitz. (beaucoup de termes seront nuls)

Posté par
Barthf
re : Derivée n+1-ième 24-12-13 à 10:18

Bonjour Delta-B !

Tu as tout à fait raison, j'avais calculé avec fn' !
J'ai retrouvé comme toi et j'arrive à une relation donc :

fn+1(x) = (-1)^n/x^n+1 * exp(1/x)
En utilisant ton égalité, j'arrive à fn+1(x) = 1/x * fn(x) ?
Par contre, en utilisant la formule de Leibniz, je dis g revient à 1/x et f à fn(x) ?

Posté par
delta-B
re : Derivée n+1-ième 24-12-13 à 16:07

Bonjour.

Le calcul pour les premières de n laisse supposer qu'on a la formule f_n^{{(n+1)}}(x)=(-1)^{n+1}\left(\dfrac{1}{x^{n+2}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)  et  donc f_{n+1}^{{(n+2)}}(x)=(-1)^{n+2}\left(\dfrac{1}{x^{n+3}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)
f_{n+1}^{{(n+2)}}(x)=\left(f_{n+1}^{{(n+1)}}(x)\right)'=\left[\left( xf_n(x)\right)^{(n+1)}\right]' car on a bien f_{n+1}(x)=x^{n+1} \exp\left(\dfrac{1}{x}\right)=x \times x^{n} \exp\left(\dfrac{1}{x}\right) =xf_n(x)

Posté par
Barthf
re : Derivée n+1-ième 24-12-13 à 16:31

J'ai du mal à comprendre. Donc le Fn'(x) revient au (Fn)^n+1(x)?
Et entre Fn^n+1(x) et Fn+1^n+2(x), on a bien une expression comme celle-ci : f(x) = (-1)^n/x^n+1 * exp(1/x) pour passer de l'un à l'autre non ?

Et on met tout à la puissance n + ( quelque chose ) parce qu'on veut jusqu'au rang n+1 ?

Posté par
Barthf
re : Derivée n+1-ième 24-12-13 à 16:40

( Et après, grâce à ton inégalité, on pose g^k = x et f^n+1-k = fn pour la formule de Leibniz ? )

Posté par
alainpaul
re : Derivée n+1-ième 24-12-13 à 20:23

Bonsoir,


Et si l'on passait par la dérivée logarithmique:
f'(x)=f(x)(n/x-1/x^2) ,
 \\ f''(x)=f'(x)(n/x-1/x^2)+f(x)(-n/x^2+2/x^3)
 \\ =f(x)(n/x-1/x^2)^2+f(x)(-n/x^2+2/x^3)= ...


Pas simple quand même!



Alain

Posté par
kybjm
re : Derivée n+1-ième 24-12-13 à 21:10

Pour tout x non nul on a :
..Df0(x) = -e1/x/x²

..D²f1(x) = e1/x/x3

..D3f2(x) = -e1/x/x4

On suspecte donc que pour tout n et tout x non nul on a : Dn+1fn(x) = (-1)n+1e1/x/xn+2 .
Seule l'hérédité est à voir .
Si pour un entier n > 0 on a Dn+1fn(x) = (-1)n+1e1/x/xn+2 alors comme fn+1(x) = xfn(x) on a  Dn+2fn+1(x) = xDn+2fn(x) + (n + 2)Dn+1fn(x) ( Leibniz )
Il reste à exploiter le fait que Dn+2fn = (Dn+1fn)'
  

Posté par
delta-B
re : Derivée n+1-ième 26-12-13 à 04:48

Bonjour.

>> Barthf.

Il ne faut pas oublier que l'on a calculer à calculer f_n^{{(n+1)}}(x) et pourf_{n+1}(x) on aura donc à calculer \large f_{n+1}^{{(n+2)}}(x). Il ne faut pas oublier non plus que \large f_{n+1}^{{(n+2)}}(x)=\left(f_{n+1}^{{(n+1)}}(x)\right)'.

Posté par
Barthf
re : Derivée n+1-ième 26-12-13 à 13:55

D'accord je vois. Donc une fois que l'on a cette expression xfn(x) = fn+1(x), on utilise Leibniz avec f = x et g pour fn(x), donc c'est à dire x^n * exp(1/x) ?

Posté par
delta-B
re : Derivée n+1-ième 26-12-13 à 18:32

Bonjour.

On applique la formule de Leibnitz pour la dérivée d'ordre n+1 appliquée au produit fg avec f(x)=x et g(x)=f_n(x). On a f^{(k)}(x)=0 pour k\ge 2. On aura alors:
(f(x)g(x))^{(n+1)}=\sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k} f^{(k)}(x) g^{(n+1-k)}(x)= xg^{(n+1)}(x)+(n+1)g^{(n)}{x)=xf_n^{(n+1)}(x)+(n+1)f_n^{(n)}(x).
L'hypothèse de récurrence f_n^{{(n+1)}}(x)=(-1)^{n+1}\left(\dfrac{1}{x^{n+2}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\rightt)  donne xf_n^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}\left(\dfrac{1}{x^{n+1}}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right). Reste à trouver l'expression de f_n^{(n)}(x)

Posté par
Barthf
re : Derivée n+1-ième 27-12-13 à 14:37

Bonjour,

D'accord !
Et pour trouver donc ce f_n^n(x), il faut juste dériver fn^n+1(x) ?

Posté par
delta-B
re : Derivée n+1-ième 27-12-13 à 16:58

Bonjour.

En dérivant f_n^{n+1}(x) on obtient f_n^{n+2}(x) et non f_n^{n}(x). C'est en dérivant f_n^{n}(x) qu'on obtient f_n^{n+1}(x).

Posté par
Barthf
re : Derivée n+1-ième 27-12-13 à 17:20

On primitive plutôt ce qui donnerait : fn^n(x) = (-1)^n *1/x^n+1 *exp(1/x) ?

Posté par
delta-B
re : Derivée n+1-ième 27-12-13 à 21:41

Salut.

Et comment tu as calculé cette primitive, donc celle f_n^{{(n+1)}}(x)=(-1)^{n+1}\left(\dfrac{1}{x^{n+2}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)

Posté par
delta-B
re : Derivée n+1-ième 28-12-13 à 01:45

Bonjour.

Désolé, on n'aura pas besoin de l'expression de f_n^{(n)}(x).
On a calculé pour le moment la dérivée d'ordre n+1 de f_{n+1}(x) et non celle d'ordre n+2. On avait trouvé en posant f(x)=x et g(x)=f_n(x):
(f_{n+1}^{(n+1)}(x)=(f(x)g(x))^{(n+1)}=\sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k} f^{(k)}(x) g^{(n+1-k)}(x)= xg^{(n+1)}(x)+(n+1)g^{(n)}{x)=xf_n^{(n+1)}(x)+(n+1)f_n^{(n)}(x).
d'où:
f_{n+1}^{(n+2)}(x)=(f(x)g(x))^{(n+2)}=\left(xf_n^{(n+1)}(x)+(n+1)f_n^{(n)}(x)\right)'=f_n^{(n+1)}(x)+xf_n^{(n+2)}(x)+(n+1)f_n^{(n+1)}(x)=(n+2)f_n^{(n+1)}(x)+xf_n^{(n+2)}(x)

       =(n+2)(-1)^{n+1}\left(\dfrac{1}{x^{n+2}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)+x(-1)^{n+1)}\left(\left(\dfrac{1}{x^{n+2}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)'

       =(n+2)(-1)^{n+1}\left(\dfrac{1}{x^{n+2}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)+x(-1)^{n+1)}\left[-(n+2)\left(\dfrac{1}{x^{n+3}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)-\left(\dfrac{1}{x^{n+4}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)\right]

       =(n+2)(-1)^{n+1}\left(\dfrac{1}{x^{n+2}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)-(n+2)(-1)^{n+1)}\left(\dfrac{1}{x^{n+2}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)+(-1)^{n+2)}\left(\dfrac{1}{x^{n+3}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)

       =(-1)^{n+2}\left(\dfrac{1}{x^{n+3}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right)

CQFD.

A titre de curiosité:

f_n^n(x)=\exp(1/x)n!\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^{k}}{k!x^{k}}
 \\

Posté par
alainpaul
re : Derivée n+1-ième 28-12-13 à 10:45

Bonjour,


Superbe la formule ,je n'avais péniblement trouvé que les deux
premiers termes du polynôme.

Il existe peut-être une solution s'appuyant sur la récurrence,



Alain

Posté par
Barthf
re : Derivée n+1-ième 28-12-13 à 12:21

D'accord, juste 2-3 petites questions :

Fn+1(x) = x^n+1 exp(1/x), je n'arrive pas à voir pourquoi ?

On calcul fn+1^n+2(x) parce que c'est la dérivée de fn+1^n+1 ? Et que c'est pour ça qu'on va au range n+2 ?

Posté par
delta-B
re : Derivée n+1-ième 28-12-13 à 14:35

Bonjour.

1) Comment est définie la fonction f_n(x)? Que vaut alors f_{n+1}(x)?.
2) La question posée était: Déterminer la dérivée (n+1)-ième de f_n. Quelle est la relation entre l'ordre de dérivée de f_n qu'on veut déterminer et l'indice de f_n? On doit donc déterminer quelle dérivée pour f_{n+1}?
Dans mes notations, l'exposant (mis entre parenthèses sauf erreur de frappe) désigne l'ordre de dérivation.

Remarque:
Dans tes notations, il manque des parenthèses qu'il fallait mettre éviter toutes fausses des interprétations des notations et formules, fn+1^n+2(x) peut être compris au sens de f_n+1^n+2(x) et non de f_{n+1}^{(n+2)}(x).  fn+1^n+2(x) devrait être écrit f(n+1)^(n+2)(x) et préciser que l'exposant est l'ordre de dérivation.                         .                                                                                                                                                                    

Posté par
Barthf
re : Derivée n+1-ième 28-12-13 à 15:37

1) fn(x) = x^n * exp(1/x) donc f(n+1)(x) est la derivée f(n+1)^(n+2)(x) ?
2) La relation, c'est bien avec n+1, puisque à chaque terme, ( en dérivant ) on passe de fn^(n+1)(x) puis f(n+1)^(n+2)(x) etc ?

D'accord, j'ai pris en compte

Posté par
delta-B
re : Derivée n+1-ième 28-12-13 à 21:18

Bonsoir.

1)

Citation :
fn(x) = x^n * exp(1/x) donc f(n+1)(x) est la derivée f(n+1)^(n+2)(x) ?

Tu es en train de tout mélanger: l'indice n de la suite de fonction f_n(x) avec l'ordre de dérivation. f_{n+1}(x) est le terme d'indice n+1 de la suite de fonctions (f_k)_k
f_n^{(m)}(x) est la dérivée d'ordre m de f_n(x), terme d'indice n de la suite de fonctions (f_k)_k.
Le but de l'exercice était de calculer  f_n^{(m)}(x) pour m=n+1.
La démonstration que j'ai faite est un démonstration par récurrence. J'avais calculer les 4 premiers termes de la suite g_n(x)=f_n^{(n+1)}(x), g_0(x)=f_0'(x), g_1(x)=f_1''(x), g_2(x)=f_2^{(3)}(x) et g_3(x)=f_3^{(4)}(x) suite à l'indication de Kybjm (je n'avais utilisé la notation g_(x)). Ce calcul laissait apparaître la relation g_n(x)=f_n^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}\left(\dfrac{1}{x^{n+2}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right). J' avais émis cette hypothèse et il fallait donc démonter que g_{n+1}(x)=f_{n+1}^{(n+2)}(x)=(-1)^{n+2}\left(\dfrac{1}{x^{n+3}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right).

>> Alain
A vrai dire je n'ai pas trouvé f_n^{(n)}(x) par dérivation mais par intégration de f_n^{n+1}(x) en supposant que l'on avait bien f_n^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}\left(\dfrac{1}{x^{n+2}}\right)\exp\left(\dfrac{1}{x}\right), Ce calcul (par IPP) laissait apparaitre une relation de récurrence que je n'ai pas utilisée. J'ai plutôt calculé à l'aide de Maple \int f_n^{(n+1)}(x) dx pour n=1,2,3,4 et 5. n=5 m'a fait voir la relation à trouver que j'ai vérifiée ensuite et encore par Maple.
C'est après coup que je me suis rendu compte que tout ce calcul était inutile.

Posté par
Barthf
re : Derivée n+1-ième 29-12-13 à 12:32

D'accord ! J'ai compris, merci !

Et juste une dernière question : Pourquoi tu trouves (-1)^(n+2) à l'avant dernière ligne de ton calcul ? ( post du 28 décembre, 1h45 ). On devrait plutôt trouvé (-1)^(n+1) ? Ou alors c'est à cause de la puissance du x^(n+3) ?

Posté par
delta-B
re : Derivée n+1-ième 29-12-13 à 13:12

Bonjour.

Quel est le lien dans f_n^{(n+1}(x) entre l'ordre de dérivation et la puissance de -1?

Posté par
Barthf
re : Derivée n+1-ième 29-12-13 à 14:45

Le lien est n+1 ?

Posté par
delta-B
re : Derivée n+1-ième 29-12-13 à 16:47

C'est plutôt ils sont égaux qu'il fallait répondre. Quelle est l'expression de g_{n+1}(x)=f_{n+1}^{(n+2)}(x)



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