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Dérivée nulle

Posté par Profil Ramanujan 31-03-19 à 13:32

Bonjour,

Je ne comprends pas un passage dans la correction.

Courbe représentative de : f(x)=Arcos(\dfrac{1-x^2}{1+x^2})

Méthode utilisant la dérivée.

Etant donné que 1+x^2 \ne 0 et |\dfrac{1-x^2}{1+x^2}}| \leq 1, f est définie sur \R.

Elle est dérivable pour  |\dfrac{1-x^2}{1+x^2}}| \ne 1 donc sur \R^{*}

Elle est paire, on peut en restreindre l'étude à \R^+

Pour x >0 on a  :

f'(x) = \dfrac{x}{|x|} \dfrac{2}{1+x^2} = \dfrac{2}{1+x^2}

Ainsi la fonction x \mapsto f(x)-2 Arctan(x) est continue sur \R^+ et sa dérivée est nulle sur \R^{+*} on en déduit qu'elle est constante sur  \R^+

C'est ce passage que je comprends pas pourquoi elle est constante sur \R^+ ?

La suite : comme elle est nulle en 0 on en déduit \forall x \in \R^+ : f(x)= 2 Arctan(x)

Par parité on obtient : \forall x \in \R : f(x)=2 Arctan |x|

Posté par
lionel52re : Dérivée nulle 31-03-19 à 13:39

Si f est dérivable sur ]0,a[, continue sur [0,a] et si f(x) = a pour tout x > 0, alors

- Comme f est continue en 0, f(x) -> f(0) quand x tend vers 0
- Puisque f(x) = a pour tout x > 0, f(x) = a -> a quand x tend vers 0

D'où f(0) = a

Posté par
lionel52re : Dérivée nulle 31-03-19 à 13:40

Le "f  est dérivable sur ]0,a{", inutile est à remplacer par f  constante sur ]0,a[

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée nulle 31-03-19 à 13:57

Ah merci Lionel.

En gros quand une fonction est continue sur un segment fermé et que la dérivée est nulle sur l'ouvert, on peut dire que la fonction est constante sur le fermé ?

Posté par
carpediemre : Dérivée nulle 31-03-19 à 14:04

salut

un peu de bon sens ...

pour être dérivable il faut être continue ...

si f est continue sur [a, b] et dérivable de dérivée nulle sur ]a, b[ alors f est constante sur ]a, b[ et par continuité sur [a, b]

Posté par
carpediemre : Dérivée nulle 31-03-19 à 14:05

et ça se démontre élémentairement ...

Posté par
luzakre : Dérivée nulle 31-03-19 à 15:16

f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, ce sont exactement les hypothèses du théorème des accroissements finis : il suffit de l'appliquer !

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée nulle 31-03-19 à 17:17

Merci pour vos réponses.

Je n'ai pas encore vu ce théorème, le chapitre sur la continuité et la dérivabilité est abordé après.

Posté par
carpediemre : Dérivée nulle 31-03-19 à 17:37

Ramanujan @ 31-03-2019 à 17:17

Merci pour vos réponses.

Je n'ai pas encore vu ce théorème, le chapitre sur la continuité et la dérivabilité est abordé après.
tu crois que toute proposition va être un théorème ...

il y a des évidences pour lesquelles on ne va pas énoncer : Théorème : blabla ...

carpediem @ 31-03-2019 à 14:04

salut

un peu de bon sens ...

pour être dérivable il faut être continue ...

si f est continue sur [a, b] et dérivable de dérivée nulle sur ]a, b[ alors f est constante sur ]a, b[ et par continuité sur [a, b]


si f(x) = k sur ]a, b[ et si f(a) = c et f est continue sur [a, b] alors il est trivial que k = c ...

Posté par
luzakre : Dérivée nulle 01-04-19 à 10:00

Ramanujan @ 31-03-2019 à 17:17

Merci pour vos réponses.
Je n'ai pas encore vu ce théorème, le chapitre sur la continuité et la dérivabilité est abordé après.

Remarque irréfléchie !
Comment ton livre démontre-t-il que si une fonction a une dérivée nulle sur un intervalle elle est constante, sans utiliser le théorème des accroissements finis ?

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée nulle 01-04-19 à 13:57

Il le cite pas mais l'utilise peut être implicitement. Il n'est pas vu en Terminale ?

Posté par
luzakre : Dérivée nulle 01-04-19 à 15:14

Qu'il soit vu en Terminale ou pas sa démonstration utilise, à ma connaissance, le théorème des accroissements finis !

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée nulle 01-04-19 à 22:36

Ok mais je vois pas trop le lien direct avec le TAF

Posté par
luzakre : Dérivée nulle 01-04-19 à 23:38

Apprends à la démontrer, tu verras !

Posté par
luzakre : Dérivée nulle 01-04-19 à 23:40

Ou, plus sportif, tu essaies de faire une démonstration sans utiliser le théorème des accroissements finis (argot interdit sur le forum)!

Posté par
mousse42re : Dérivée nulle 02-04-19 à 02:35

Bonsoir,

Une autre idée sans le théorème des accroissements finis:

on a  pour tout x\in \mathbb{R}\; f'(x)=0

Donc pour tout s,t\in \mathbb{R}, \quad \large\int_s^tf'(x)\cdot dx=0

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée nulle 02-04-19 à 02:45

Ça donne f(t) - f(s) = 0 donc f(t) = f(s)

J'étudierai la démonstration du théorème des accroissement finis quand je serai au chapitre dérivation. Je ne veux pas tout mélanger. Déjà que je galère actuellement sur les études de fonctions réciproques.

Posté par
luzakre : Dérivée nulle 02-04-19 à 08:31

Bonjour mousse42 !
Quel luxe ! Pour éviter le théorème simple des accroissements finis tu proposes le théorème fondamental sur l'intégration, en oubliant que tu ne pourras conclure qu'après avoir établi que f(b)-f(a)=\int_a^b f' .
Or cette relation ne se démontre pas facilement : définition de l'intégrale, vérification que la fonction f' est intégrable, étude de l'intégrale fonction de sa borne supérieure !

Posté par
jsvdbre : Dérivée nulle 02-04-19 à 10:23

Bonjour

Effectivement, f' = 0 entraînant f = cste sur un intervalle étant une conséquence immédiate du théorème des accroissements finis, pourquoi s'empoisonner la vie par un autre chemin ?

Lequel théorème étant lui-même une conséquence quasi-immédiate du théorème de Rolle.

Lequel théorème de Rolle étant un conséquence quasi-immédiate de la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle ouvert (+ les hypothèses de rigueur).

C'est une démarche classique à connaître ...

Posté par
lionel52re : Dérivée nulle 02-04-19 à 11:12

Sans jusqu'à parler des accroissements finis, c'est d'après moi pas le problème que se pose Ramanujan. Il veut savoir pourquoi une fonction continue sur [a,b], constante sur ]a,b[ est constante sur [a,b]

Et pour le coup le problème n'a rien à voir avec les dérives et les accroissements finis
On est complètement dans le concept de continuité et de limite.

Maintenant oui comment passer de f' = 0 sur ]a,b[ à f = c sur ]a,b[ bah ça il le verra plus tard. Au lycée on démontre pas qu'une fonction de dérivée  positive est croissante et là Ramanujan aborde le programme de post bac avec uniquement les prérequis de terminale.

Posté par
mousse42re : Dérivée nulle 02-04-19 à 11:30

bonjour luzak et jsvdb

J'ai proposé ceci car Ramanujan a demandé un résultat sans théorème des accroissements finis. Visiblement ça lui convient. .

Pas de doute sur le fait que le théorème des accroissements finis est beaucoup plus intuitif et approprié à la situation

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée nulle 02-04-19 à 12:22

Bonjour

lionel52 @ 02-04-2019 à 11:12


Au lycée on démontre pas qu'une fonction de dérivée positive est croissante et là Ramanujan aborde le programme de post bac avec uniquement les prérequis de terminale.

sauf qu'il se gargarise à l'occasion d'avoir fait MPSI puis une école d'ingénieurs .... on peut supposer qu'il a vu le TAF, et son application pour montrer le lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction ... d'ailleurs c'était au programme des terminales, il y a encore quelques années (décennies ?), ce n'est pas si épouvantablement compliqué, en outre les profs du supérieurs ne découvrant parfois qu'avec bien du retard les lacunes creusées dans les programmes du secondaire, il n'est pas exclu que "son" livre considère ça comme acquis
(d'ailleurs je m'interroge sur la logique d'aborder les fonctions réciproques avant la continuité et la dérivabilité, mais c'est une autre question)

Posté par
luzakre : Dérivée nulle 02-04-19 à 15:13

@ mousse42

Citation :

J'ai proposé ceci car Ramanujan a demandé un résultat sans théorème des accroissements finis.

Mais tu n'as donné aucun résultat, à part que l'intégrale d'une fonction nulle est nulle, ce qui ne sert à rien dans ce qui était demandé.
Tu as omis la seule explication qui aurait été utile, à savoir f(b)-f(a)=\int_a^bf' mais tu as bien fait car, à ma connaissance, cette relation se démontre à l'aide du théorème des accroissements finis.
A moins que tu n'aies une idée, auquel cas je suis preneur !

Posté par
mousse42re : Dérivée nulle 02-04-19 à 15:49

Si \large f:x\mapsto f(x)=\int_w^xf' est une primitive de f'

f(b)-f(a)=\large \int_w^bf'-\int_w^af'=\int_a^bf'

Mais bon, c'est pour le fun, je suis d'accord pour utiliser le TAF pour cet exercice

Posté par
mousse42re : Dérivée nulle 02-04-19 à 16:10

Ou alors il faudrait montrer que :

\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\int_a^xf'-\int_a^{x_0}f'}{x-x_0}=f'(x_0)

Posté par
jsvdbre : Dérivée nulle 02-04-19 à 16:20

Ouais, mais bon, le truc c'est que si f' est continue, alors finalement on remarque que la formule, c'est du TAF déguisé.
Si f' n'est pas continue, bah la formule n'est plus valable à priori; faut commencer à introduire les espaces de Sobolev et tout le merdier qui va avec ... c'est assez lourd.

Finalement, le TAF fait office d'oasis rafraîchissante dans cet enfer

Posté par Profil Ramanujanre : Dérivée nulle 02-04-19 à 16:32

Après la remarque de Lionel n'utilise que des connaissances de terminale sur les limites et la continuité.

J'ai oublié beaucoup de choses de prépa et j'ai pas compris grand chose en prépa donc je repars de zéro. Enfin là j'en suis au chapitre 4 : j'ai vu les complexes, les fonctions usuelles, les calculs algébriques.

Posté par
luzakre : Dérivée nulle 02-04-19 à 18:15

mousse42 @ 02-04-2019 à 15:49

Si \large f:x\mapsto f(x)=\int_w^xf' est une primitive de f'

f(b)-f(a)=\large \int_w^bf'-\int_w^af'=\int_a^bf'

Mais bon, c'est pour le fun, je suis d'accord pour utiliser le TAF pour cet exercice

Mais bon sang !
Pour montrer ta formule il faut savoir que deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante

Posté par
luzakre : Dérivée nulle 02-04-19 à 18:25

Je continue : erreur de "postage prématuré" !
il faut savoir que deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante ce qui est exactement le théorème qu'on veut utiliser.

Ajouter  "pour le fun, bla-bla-bla" signifie que tu n'as pas compris la démonstration du résultat énoncé !
.....................................
Et ton deuxième message c'est juste que x\mapsto\int_a^xf' est une primitive de f' ce qui ne démontre toujours rien en ce qui concerne une fonction à dérivée nulle.
Une fonction peut avoir une limite nulle sans être nulle !

Posté par
mousse42re : Dérivée nulle 02-04-19 à 19:32

Luzak, je ne vois pas ce tu essaies de me dire

On veut montrer que

\lim\limits_{x\to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(c)

\forall \varepsilon>0,\exists \eta>0, \forall x\in I,\; \quad |x-c|<\eta  \implies \left|\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}-f'(c)\right|<\varepsilon

\\ |f(x)-f(c)-(x-c)f'(c)|=\left|\int_c^x(f'(t)-f'(c))\cdot dt\right|


et puisque f' est continue, il existe \delta>0 tel que |x-c|<\delta\implies |f'(x)-f'(c)|<\varepsilon

Donc \\ |f(x)-f(c)-(x-c)f'(c)|=\left|\int_c^x(f'(t)-f'(c))\cdot dt\right|<\int_c^x|(f'(t)-f'(c))|\cdot dt<\int_c^x\varepsilon\cdot dt=(x-c)\varepsilon

On déduit que |f(x)-f(c)-(x-c)f'(c)|<(x-c)\varepsilon

et là en effet on a rien montré, à part que la dérivée de f est f'

Posté par
mousse42re : Dérivée nulle 02-04-19 à 21:03

je me suis trompé, je corrige  

Posté par
mousse42re : Dérivée nulle 02-04-19 à 21:57

je corrige, avec plus de rigueur :

On va montre que la fonction f:x\mapsto \int_c^xf'(t)\cdot dt est une primitive de f':

Soit x_0\in I

On va montrer que :
\\ \forall \varepsilon>0,\exists \eta>0, \forall x\in I,\; \quad |x-x_0|<\eta  \implies \left|\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)\right|<\varepsilon


On a |x-x_0|<\delta tel que |f'(x)-f'(x_0)|<\varepsilon puisque f' est continue

\begin{array}{ll}|f(x)-f(x_0)-(x-x_0)f'(x_0)|&=\left|\int_a^x(f'(t)\cdot dt-\int_a^{x_0}f'(t)\cdot dt-\int_{x_0}^xf'(x_0)\cdot dt\right|\\\\&\le\int_{x_0}^{x}|f'(t)+f'(x_0)|\cdot dt=\int_{x_0}^{x_0+\gamma}2\sup f'\cdot dt+\int^{x}_{x_0+\gamma}\varepsilon\cdot dt\qquad \delta>\gamma>0\\\\&\le 2\gamma \sup f'+(x-(x_0+\gamma))\varepsilon\underset{\gamma \to 0}{\longrightarrow }|x-x_0|\varepsilon\end{array}


Donc |f(x)-f(x_0)-(x-x_0)f'(x_0)|<|x-x_0|\varepsilon

Posté par
luzakre : Dérivée nulle 02-04-19 à 23:03

@ mousse42
On  ne cherche pas à démontrer que la fonction x\mapsto\int_a^xf' est dérivable et c'est tout ce que tu fais (encore que tu oublies la continuité de f' indispensable à ce stade).
Pour la dérivation (que personne ne demande) c'est à peu près correct mais la disparition du couple \varepsilon,\;\eta dans la dernière ligne est inadmissible.
Bref, tu obtiens une formule  locale (sur un voisinage, inconnu à priori) mais tu n'as toujours pas démontré que si une fonction a une dérivée nulle sur un intervalle, la fonction est constante.

@Ramanujan

Citation :
Après la remarque de Lionel n'utilise que des connaissances de terminale sur les limites et la continuité.

Il ne s'agit pas de résultats sur les limites-continuité mais sur une notion beaucoup plus délicate, celle des primitives des fonctions constantes.
Ou ces "connaissances de Terminale" ont été démontrées et on a dû utiliser le théorème des accroissements finis pour les obtenir
ou ce sont des connaissances admises et, dans ce cas, tu admets tout ce que tu veux
ou elles ne sont plus au programme de Terminale et tu n'as aucun droit de les inventer.

Posté par
jsvdbre : Dérivée nulle 02-04-19 à 23:16

@mousse42 : si f est dérivable sur I, alors par définition

\\ \forall x_0\in I, \forall \varepsilon>0,\exists \eta>0, \forall x\in I,\,|x-x_0|<\eta \implies \left|\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)\right|<\varepsilon

Il n'y a donc rien à montrer.

Par ailleurs :

Citation :
On va montrer que la fonction f:x\mapsto \int_c^xf'(t)\cdot dt est une primitive de f':


Sans hypothèses supplémentaires sur f', cette assertion échoue contre le fait qu'il existe des fonctions qui ne peuvent pas s'écrire comme l'intégrale de leur dérivée, même quand celle-ci est définie partout et bornée ...

C'est pour ça qu'on a défini spécialement des espaces de fonctions (espaces de Sobolev) qui peuvent s'écrire comme l'intégrale de leur dérivées.

Il est donc important de savoir séparer les notions d'intégrale et de primitives.

Posté par
lafol Moderateurre : Dérivée nulle 02-04-19 à 23:19

ce n'était pas très habile d'appeler f la fonction définie à partir de f' et d'une intégrale ....

Posté par
mousse42re : Dérivée nulle 02-04-19 à 23:54

luzak,

:

mousse42 @ 02-04-2019 à 21:57

je corrige, avec plus de rigueur :

On va montre que la fonction f:x\mapsto \int_c^xf'(t)\cdot dt est une primitive de f':

Soit x_0\in I

On va montrer que :
\\ \forall \varepsilon>0,\exists \eta>0, \forall x\in I,\; \quad |x-x_0|<\eta  \implies \left|\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)\right|<\varepsilon


On a |x-x_0|<\delta tel que |f'(x)-f'(x_0)|<\varepsilon puisque f' est continue     Continuité

On travaille avec \delta et \color{red} x\in ]x_0,x_0+\delta[


\begin{array}{ll}|f(x)-f(x_0)-(x-x_0)f'(x_0)|&=\left|\int_a^x(f'(t)\cdot dt-\int_a^{x_0}f'(t)\cdot dt-\int_{x_0}^xf'(x_0)\cdot dt\right|\\\\&\le\int_{x_0}^{x}|f'(t)+f'(x_0)|\cdot dt=\int_{x_0}^{x_0+\gamma}2\sup f'\cdot dt+\int^{x}_{x_0+\gamma}\varepsilon\cdot dt\qquad \delta>\gamma>0\\\\&\le 2\gamma \sup f'+(x-(x_0+\gamma))\varepsilon\underset{\gamma \to 0}{\longrightarrow }|x-x_0|\varepsilon\end{array}


Donc |f(x)-f(x_0)-(x-x_0)f'(x_0)|<|x-x_0|\varepsilon



Il manque \eta:=\delta et on a montré

\\ \forall \varepsilon>0,\exists \eta>0, \forall x\in I,\; \quad |x-x_0|<\eta  \implies \left|\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)\right|<\varepsilon


Maintenant je peux utiliser les primitives :

Soit f:x\to f(x)=\int_a^xf' +c

Puisque f' est continue (elle nulle partout sur R), f existe donc on a f(x)=\int_a^xf' +c une primite de f'

\inf f'(x-a)+c\le\int_a^xf' +c\le \sup f'(x-a)+c\iff c\le\int_a^xf' +c\le c donc f(x)=c

Posté par
mousse42re : Dérivée nulle 02-04-19 à 23:57

jsvdb,

Si f' est continue, elle est Riemann-intégrable.

Posté par
luzakre : Dérivée nulle 03-04-19 à 10:07

Ce qui m'inquiète plus c'est que tu veux utiliser la relation f(b)-f(a)=\int_a^bf (quand f' est continue ou même simplement Riemann-intégrable), en étant persuadé que tu saurais la démontrer sans utiliser le théorème des accroissements finis.

C'est peut-être faisable mais moi je ne sais pas et toute démonstration (si tu en as une) me plairait !

J'insiste sur le fait qu'il y a une différence entre cette formule (dite formule fondamentale de l'analyse) et le fait que x\mapsto\int_a^x g (lorsqu'elle est définie) est dérivable en tout point où g est continue.

Posté par
mousse42re : Dérivée nulle 03-04-19 à 11:33

Ok merci luzak, je vois ce que tu veux dire

Je vais revoir ce chapitre.

Posté par
carpediemre : Dérivée nulle 03-04-19 à 11:38

il me semble que le sujet dérive bien loin de la question initiale ...

en restant au lycée (niveau de Ramanujan) et en admettant simplement le résultat (de première) : si la dérivée d'une fonction f est nulle sur un intervalle alors cette fonction est constante alors la seule réponse suffisante est :

carpediem @ 31-03-2019 à 17:37


carpediem @ 31-03-2019 à 14:04

salut

un peu de bon sens ...

pour être dérivable il faut être continue ...

si f est continue sur [a, b] et dérivable de dérivée nulle sur ]a, b[ alors f est constante sur ]a, b[ et par continuité sur [a, b]


si f(x) = k sur ]a, b[ et si f(a) = c et f est continue sur [a, b] alors il est trivial que k = c ...

Posté par
luzakre : Dérivée nulle 03-04-19 à 11:50

Donc on "admet" : c'est bien ce que j'avais suggéré plus tôt !

Posté par
carpediemre : Dérivée nulle 03-04-19 à 12:25

on admet ce résultat de première ... qu'on démontre ensuite plus sérieusement dans le supérieur comme tu le dis d'ailleurs ...

Posté par
mousse42re : Dérivée nulle 03-04-19 à 13:19

il y a quelque chose qui m'échappe.

On suppose qu'on a défini la primitive, tel que

F:\,x\mapsto F(x)=\int_a^xf+c

F(b)-F(a)=\left(\int_a^bf+c\right)-\left(\int_a^af+c\right)=\int_a^bf

Je suis un peu perdu, et je ne peux pas y passer trop de temps, car ce n'est pas ma priorité pour l'instant.

Posté par
luzakre : Dérivée nulle 03-04-19 à 14:55

On ne définit pas LA primitive mais UNE primitive (le c est une de tes inventions) par F(x)=\int_a^xf .
Et tu oublies encore la condition de continuité pour f !

Alors pour toute primitive U et tout intervalle contenant a, il existe (c'est LE théorème qui se montre à l'aide des accroissements finis) un réel c tel que U=F+c.
Sachant que F(a)=0 on en déduit U(b)-U(a)=\int_a^bf.

........................................
En plus sophistiqué il y a aussi :
Si f est dérivable ET f' Riemann-intégrable alors f(b)-f(a)=\int_a^bf'.
Se démontre AUSSI (à ma connaissance) par utilisation des accroissements finis mais c'est bien plus difficile : il faut introduire la définition de Riemann-intégrable et seulement cette hypothèse !

Posté par
mousse42re : Dérivée nulle 03-04-19 à 15:26

luzak,

Tu chipotes, on sait et tu le sais que f est continue.

J'aurais dû noter "les primitives" au lieu de "la primitive" pour que cette assertion reste correcte

Citation :
F:\,x\mapsto F(x)=\int_a^xf+c


Si on définit une primitive de f notée F tel que F(x)=\int_a^xf . \\
et U est une autre primitive tel que U(x)=\int_c^x f

il est clair que U(x)=F(x)+c, et ceci sans le TAF puisque |c|=|\int_a^cf|

Posté par
mousse42re : Dérivée nulle 03-04-19 à 15:37

j'aurais dû choisir une autre lettre que c mais bon...

correction :
il est clair que U(x)=F(x)+k, et ceci sans le TAF puisque |k|=|\int_a^cf|

Posté par
Poncarguesre : Dérivée nulle 03-04-19 à 15:41

Il existe des primitives de f qui ne s'expriment pas comme x\mapsto \int_a^xf(t)dt même pour f continue sur un intervalle.

Posté par
mousse42re : Dérivée nulle 03-04-19 à 15:54

ah bon, si f est réglée  alors elle est  R-intégrable sur tout segment [a,b] :

et la fonction F(x) =\int_a^xf est bien définie avec x\in [a,b]

Puisque f est continue f est réglée

Posté par
Poncarguesre : Dérivée nulle 03-04-19 à 15:59

Prend la fonction f: x->x² sur [0,1], tout ce qu'il y a de plus continu.

La fonction F:[0,1]->R définie par x^3/3-2 est une primitive de f.

Peux tu trouver a dans [0,1] tel que F(x) soit \int_a^{x}f(u)du?

Posté par
mousse42re : Dérivée nulle 03-04-19 à 16:18

en effet, a=\sqrt[3]{6}>1

merci Poncargues pour cette remarque !

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