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derivee partielle et courbe parametrée

Posté par
acrobate2336
25-12-22 à 23:04

Bonjour, j'ai des petits souci concernant mon sujet de DM... Est-ce que vous auriez la gentillesse de me venir en aide ? Merci d'avance.

SUJET:

Soit U = \left\{(x,y) \in R^{2} | x^{2} + y^{2} < 1 \right\}
Soit f: U \rightarrow R la fonction définie par
f(x,y) = \sqrt(1 - x^2 - y^2)

QUESTIONS:
1) Dessiner le graphe de f dans R^{3}. On note G le graphe et on le considère comme un espace en lui même;

OK j'ai tracé mon graphe mais je ne peux pas vous le montrer, c'est l'hémisphère nord de la sphère unité

2) Montrer que la fonction \varphi : U\rightarrow G définie par \varphi (x,y) = (x,y,f(x,y)) est une bijection, continue et donner son inverse


Bijection c'est OK (injectif + surjectif), continue je ne sais pas trop comment m'y prendre... un indice ?
Et pour l'inverse, je dirais qu'on cherche \psi
tel que  \psi (\varphi (x,y)) = (x,y) ET \varphi (\psi (x,y,z)) = (x,y,z), en reflechissant un peu j'ai trouvé une fonction qui conviendrais... Peut-être \psi : G \rightarrow U, (x,y,z)\rightarrow (x,y)



3) Soit P =(x_{p}, y_{p}) \in U un point fixé et soit Q = \varphi (P) \in G son image par la fonction \varphi.
Donner une description du plan affine \mathit{P} de R^{3} et qui passe par Q tangeant à G. Donner une base de sa direction.

Alors ici je n'ai aucune idée de comment procéder et ça me bloque pour la suite vu que j'ai besoin de la base... Déjà qu'est ce que veut dire une description d'un plan ?


4)Soit \vec{u} = a\vec{i} + b\vec{j} un vecteur de R^{2}. Soit P = (x_{p}, y_{p}) \in U un point fixé. Soit la droite:
l: \begin{cases} & x(t) = x_{p} + at \\ & y(t) = y_{p} + bt \end{cases}
passant par P et dirigée suivant \vec{u}

Calculer le vecteur tangent à la courbe \gamma (t) définie par:
\gamma (t) = \varphi (x(t),y(t)) = (x(t),y(t),\sqrt{(1-x(t)^2 - y(t)^2)})
On le note \vec{w_{\vec{u}}}. Montrer que celui ci appartient à la direction du plan P

Ici je ne suis pas certain mais je vous donne ma démarche, je dois donc calculer \gamma '(t) = (x'(t),y'(t), x'(t)\frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t)) + y'(t)\frac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t))
Pouvez-vous confirmer cela car la question d'après me fait douter de mon résultat ? J'obtiens,
\left(a,b, \frac{-a(x_{p} + at) - b(y_{p} + bt)}{\sqrt{1-(x_{p} + at)^{2} - (y_{p} + bt)^{2}}} \right) pour les coordonnées de la dérivée



5) Montrer que l'application d_{\varphi }: R^{2} \rightarrow \vec{P}, \vec{u} \rightarrow \vec{w_{\vec{u}}} est linéaire ET bijective

Il me faudrait la confirmation ou rejet de la question précédente...

6) Soit (\vec{u},\vec{v})_{P} = \left<d_{\varphi}(\vec{u}),d_{\varphi}(\vec{v}) \right> avec \left<.,. \right> un produit scalaire sur R^{2}

Montrer que c'est un Produit scalaire

Évidemment pour ça il n'y a pas de souci, j'utilise le fait que \left<.,. \right> est un produit scalaire sur R^{2} et que d_{\varphi } est linéaire,  je vérifie toutes les propriétées !


7) Écrire la matrice:

M_{(.,.)_{P}} = \begin{pmatrix} (\vec{i},\vec{i})_{P} & (\vec{i},\vec{j})_{P} \\ (\vec{j},\vec{i})_{P} & (\vec{j},\vec{j})_{P} \end{pmatrix}

Que remarque t-on ?

Honnêtement, je ne sais pas vraiment ce que je vais constater... mais on verra à ce moment...


Je vous remercie encore !

Posté par
malou Webmaster
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 09:35

Bonjour acrobate2336

Pourquoi poster le même exercice simultanément sur différents sites ?
Si tu veux de l'aide ici, il va falloir dire de l'autre côté que tu n'as plus besoin d'aide, car nous n'allons pas nous y mettre partout...j'attends ton choix

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Posté par
acrobate2336
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 12:15

Bonjour,

J'ignorais ce détail, je m'excuse et clôture la demande sur l'autre site.

Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.

Posté par
malou Webmaster
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 12:29

OK, quelqu'un va t'aider ici donc

Posté par
acrobate2336
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 14:43

Merci !
Je patiente donc...

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 17:42

Bonjour acrobate2336


2) La continuité de \varphi sur U est équivalente à la continuité sur U de ses trois fonctions composantes :

(x,y)\mapsto x , (x,y)\mapsto y et (x,y)\mapsto f(x,y).

Posté par
acrobate2336
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 17:58

Merci beaucoup pour ta réponse elhor, je l'ignorais et oui la continuité devient donc facile à démontrer.

Si quelqu'un a une idée sur la question 4. qui pourrait me débloquer la suite de mon sujet, ce serait adorable.

Encore merci.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 18:10

le vecteur \vec{w_{\vec{u}}} ne serait-il pas plutôt le vecteur tangent à la courbe \gamma (t) au point t=0 ?

Posté par
acrobate2336
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 18:20

C'est ce que je pensais également mais dans le sujet on ne parle d'aucun point. Je vous ai recopié le sujet intégralement. D'ailleurs je trouve cela étrange de parler de vecteur tangent sans dire le point...

Pensez-vous qu'il s'agit d'une erreur d'énoncé ? Car oui dans ce cas en remplaçant t par 0 alors \vec{w}_{\vec{u}} tous se passe bien dans la suite de mon sujet...

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 18:29

Si le vecteur \vec{w_{\vec{u}}} varie avec t, l'application d_{\varphi }: R^{2} \rightarrow \vec{P}, \vec{u} \rightarrow \vec{w_{\vec{u}}} n'est plus bien définie

Posté par
acrobate2336
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 18:42

As tu la possibilité de m'expliquer pourquoi ce ne sera pas définie ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 18:54

Parce qu'un vecteur \vec u va avoir plus d'une image

Posté par
acrobate2336
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 18:58

Ah oui je comprends (même une infinité ?). Je vais demandé confirmation pour le sujet.

Merci beaucoup pour ton intervention.
Je reviendrais si j'ai d'autres questions.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 19:29

OK

3) Comme tu l'as bien vu, le graphe G de f est la demi-sphère unité supérieure de \mathbb R^3 d'équation \left\lbrace\begin{array}l x^2+y^2+z^2=1 \\ z>0 \end{array}\right..

Tu dois sans doute connaitre la propriété remarquable de la sphère qui dit que le plan tangent en l'un de ses points

est normal au vecteur rayon en ce point.

Posté par
acrobate2336
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 19:38

Oui je pense que je vais pouvoir m'en sortir à partir de là. Je determine les coordonnées du vecteur rayon sachant que j'ai les coordonnée du point Q. Et je cherche le vecteur normal à ce derniers grâce au fait que leur produit scalaire est nul.

Merci encore.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 20:15

Tout à fait !

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 20:34

le vecteur rayon au point Q n'est autre que le vecteur \large\boxed{\vec{OQ}\left(\begin{array}l x_P \\ y_P \\ \sqrt{1-x_P^2-y_P^2}\end{array}\right)}


le vecteur tangent à la courbe \gamma (t) au point t=0 est \large\boxed{\vec{w_{\vec{u}}}\left(\begin{array}l a \\ b \\ \frac{-ax_P-by_P}{\sqrt{1-x_P^2-y_P^2}}\end{array}\right)}}


et on a bien \large\boxed{\vec{OQ}~.~\vec{w_{\vec{u}}}~=~0} donc le vecteur \vec{w_{\vec{u}}} est bien dans la direction du plan (P)

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : derivee partielle et courbe parametrée 26-12-22 à 23:14

avec (bien entendu) \large\boxed{\vec{OQ}~.~\vec{w_{\vec{u}}}} le produit scalaire canonique (de \mathbb R^2) des deux vecteurs \vec{OQ} et \vec{w_{\vec{u}}}

Posté par
KiiZeee
re : derivee partielle et courbe parametrée 07-01-23 à 22:19

Bonjour,

Ayant le même exercice, je me demandais s'il était possible d'expliciter car j'ai du mal à comprendre le problème général et ce que l'on cherche à faire.

Merci d'avance !

Posté par
malou Webmaster
re : derivee partielle et courbe parametrée 08-01-23 à 09:46

Bonjour KiiZeee

il me semble normal, qu'avec un profil de lasse "seconde" tu aies du mal à suivre ....

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?



Merci de mettre ton profil à jour.

Posté par
KiiZeee
re : derivee partielle et courbe parametrée 08-01-23 à 11:48

Bonjour, c'est fait

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : derivee partielle et courbe parametrée 08-01-23 à 13:32

7)

\Large\boxed{\left(\vec u=a\vec i+b\vec j~,~\vec v=c\vec i+d\vec j\right)_P=ac+bd+\frac{(ax_P+by_P)(cx_P+dy_P)}{1-x_P^2-y_P^2}}


\Large\boxed{ M_{(.,.)_{P}} = \begin{pmatrix} (\vec{i},\vec{i})_{P} & (\vec{i},\vec{j})_{P} \\ (\vec{j},\vec{i})_{P} & (\vec{j},\vec{j})_{P} \end{pmatrix}=\frac{1}{1-x_P^2-y_P^2}\begin{pmatrix} 1-x_P^2 & x_Py_P \\ x_Py_P & 1-y_P^2 \end{pmatrix}}

Posté par
KiiZeee
re : derivee partielle et courbe parametrée 09-01-23 à 22:59

est-ce que cette justification pour le iii) te semble cohérente ?

On doit trouver le vecteur normal au plan P en Q. On peut utiliser la dérivée de la projection de P sur G en Q pour trouver ce vecteur.
La projection de P sur G en Q est donnée par :
projection(P, G, Q) = Q + dot(Q - P, normal(G)) * normal(G)
Où dot(A, B) représente le produit scalaire entre les vecteurs A et B, et normal(G) représente le vecteur normal à G en Q.
La dérivée de cette projection en Q est donnée par :

d/dQ projection(P, G, Q) = I - dot(Q - P, normal(G)) * d/dQ normal(G)
Où I représente la matrice identité de R^3.
Le vecteur normal au plan P en Q est donc le vecteur normal à G en Q, qui est donné par :
normal(P, Q) = normal(G)
On utilise la dérivée de la transformation de φ pour trouver un vecteur tangent au plan P en Q. Le gradient de φ en P est orthogonal au plan P et peut être utilisé comme un vecteur normal au plan P.
La dérivée de la transformation de φ en P est donnée par :
d/dP φ(P) = grad(φ)(P)
Le gradient de φ en P est donné par :
grad(φ)(P) = [d/dx φ(P), d/dy φ(P), d/dz φ(P)]
Où d/dx φ(P), d/dy φ(P) et d/dz φ(P) sont les dérivées partielles de φ en P.
Le vecteur tangent au plan P en Q est donc le gradient de φ en P, qui est donné par :
tangent(P, Q) = grad(φ)(P)
On trouve maintenant une base de la direction vecteur P en utilisant les vecteurs tangents au plan P en Q et le vecteur normal au plan P en Q. Ces vecteurs doivent être orthogonaux entre eux.
Voici un exemple de base possible de la direction vecteur P :
Vecteur tangent 1 : (1, 0, 0)
Vecteur tangent 2 : (0, 1, 0)
Vecteur normal : (0, 0, 1)



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