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Déterminant
Bonsoir,
J'ai besoin d'un coup de main pour un exercice d'algèbre linéaire.
Merci d'avance.
Enoncé :
On note M(a; b; c) la matrice réelle avec des a au dessous de la diagonale, des b sur la diagonale,
des c au dessus de la diagonale.
1. Montrer que, pour toute matrice carrée (mij), par rapport à la variable réelle t, det[(mij+t)]
est une fonction affine de t.
2. Pour a 6= c, calculer le déterminant de M(a; b; c).
On suppose dorénavant a = c et on note M(a; b) pour M(a; b; a).
3. Calculer le déterminant de M(a;b).
[mon début]
1. Pour cette question, je me suis proposé une matrice carrée A de taille n dont les éléments sont (mij). Je cherche à montrer que son déterminant est une fonction affine de t, c'est-à dire det(A)=at+b, où a et b sont des réels.
J'ai ainsi commencé à calculer le déterminant de A, mais je me bloque parceque je n'ai pas une idée de la taille de la matrice, du coup le calcul s'allonge… Auriez-vous une piste à me proposer ?
Bonsoir,
Soit une matrice carrée de taille
, je note
ses colonnes. Soit
le vecteur colonne de taille
dont tous les coefficients valent 1.
Dans le première question, tu as à étudier .
Utilise la multilinéarité du déterminant par rapport aus colonnes, et le fait qu'il est alterné (deux colonnes identiques donnent un déterminant nul).
Bonjour,
Pour la multilinéarité du discriminant, je ne sais vraiment pas de quoi il s'agit, vu que cette notion n'est évoquée dans mon cours...
Tu confonds discriminant et déterminant ?
Je trouve curieux qu'un cours sur le déterminant ne mentionne pas qu'il est linéaire par rapport à chaque colonne (ou chaque ligne). Que dit alors ton cours sur le déterminant ?
À défaut d'utiliser la multilinéarité et le fait que le déterminant est alterné (ça non plus, ton cours ne le mentionne pas ?), tu peux travailler sur la formule du déterminant avec les signatures de permutations.
oups, je voudrais dire ''déterminant''.
Pareil pour le fait que le déterminant est alterné. Pour le moment, je vais essayer d'étudier ces parties. S'il y a entre temps une fiche sur le site, veuillez me l'indiquer s'il vous plaît.
Okay merci bien.
En ajoutant t à chaque élément de chaque colonne, on constate que toutes les colonnes sont des combinaisons linéaires.
En fixant la 1ère puis la 2e colonne,
on a: det(C1 + tV, C2 + tV, ... , Cn + tV)=det(C1, C2 + tV, ... ,Cn + tV) + det (t, C2 + tV ,..., Cn + tV)=det(C1, C2, ... ,Cn + tV) + det (t, t ,..., Cn + tV).
Ceci det (t, t ,..., Cn + tV) étant nul car on a deux identiques ( d'éléments t ), on a de manière général:
det(C1 + tV, C2 + tV, ... , Cn + tV)=det(M) + S, où S est le déterminant de la matrice restant lorsqu'une colonne numéro i ne contient que des t, ce qui revient à multiplier son déterminant D par t.
J'ai ainsi écrit det(C1 + tV, C2 + tV, ... , Cn + tV)=det(M) + t.D .
ce que tu écris là :
det(C1 + tV, C2 + tV, ... , Cn + tV)=det(C1, C2 + tV, ... ,Cn + tV) + det (t, C2 + tV ,..., Cn + tV)=det(C1, C2, ... ,Cn + tV) + det (t, t ,..., Cn + tV).
On continue en utilisant la linéarité par rapport à la deuxième colonne, etc.
Le fait que le déterminant est alterné implique qu'un déterminant dans lequel deux colonnes sont égales à
Je pense que tu as compris ce qui se passe. Il te reste à l'écrire correctement.
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