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Niveau Maths sup
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Détermination de a et b en fonction de w

Posté par
Artemisfly 26-10-17 à 20:15

Bonjour,
je ne suis pas vraiment en Maths Sup (je suis en BCPST sup), mais je pense que vous pourrez tout de même me venir en aide.
J'ai un DM sur les complexes à rendre et je suis quelques peu bloquée... J'ai vu que  cet exercice avait déjà été posté mais pas entièrement résolu...
Le voici donc:
Soit =exp(2i/7). On pose a=+2+4 et b=3+5+6.
1. Montrer que b= \bar{a}
2. Calculer a+b et a.b
3. En déduire les valeurs de a et b
4. Donner sous sa forme algébrique.

J'ai réussi la question 1 sans trop de soucis mais je bloque à la seconde.
Je trouve déjà que a+b=2Re(a)=2Re(b) et que a.b=|a|²=|b|².
Mais à partir de là, je ne sais plus quoi faire...

Je vous remercie d'avance de votre aide,
Artemisfly

Posté par
lafol Moderateurre : Détermination de a et b en fonction de w 26-10-17 à 20:24

Bonjour

a+b est la somme de six termes consécutifs d'une suite géométrique ... en principe tu sais calculer ça

Posté par
Artemisflyre : Détermination de a et b en fonction de w 26-10-17 à 21:45

Effectivement, je n'y avais pas pensé !
J'arrive donc à a+b=(-1)/(1-.
Et là... je rebloque...

Posté par
lafol Moderateurre : Détermination de a et b en fonction de w 26-10-17 à 22:06

Tu es sérieuse, là ? Tu n'as pas vu que ce qui est en haut est exactement l'opposé de ce qui est en bas ?

Posté par
Artemisflyre : Détermination de a et b en fonction de w 26-10-17 à 22:13

Si, merci, j'ai bien vu, étant donné juste l'heure et ma fatigue je n'avais pas tilté... Effectivement, je trouve a+b=-1, pas la peine d'être mal-aimable.

Posté par
lafol Moderateurre : Détermination de a et b en fonction de w 26-10-17 à 22:16

c'était dit gentiment, je t'assure ! Si tu es fatiguée, je te propose de te reposer, on continuera demain ? tu feras en une demi heure une fois reposée ce que tu mettras deux heures à faire ce soir, mieux vaut une bonne nuit de sommeil

Posté par
Artemisflyre : Détermination de a et b en fonction de w 27-10-17 à 11:43

Désolée
Bon au final j'arrive à a.b=2
Et donc je trouve a=b=2.e^{-i\pi /3}
Je ne suis pas très sûre qu'il faille que a=b par contre...

Posté par
verdurinre : Détermination de a et b en fonction de w 27-10-17 à 11:53

Bonjour,
il y a une erreur dans tes calculs.
Les complexes a et b sont les solutions de x²+x+2=0.

Posté par
Artemisflyre : Détermination de a et b en fonction de w 27-10-17 à 11:57

J'étais arrivée à ces résultats en utilisant |a|²=2 et 2Re(a)=-1
Il faut donc que j'utilise un système sinon ?

Posté par
verdurinre : Détermination de a et b en fonction de w 27-10-17 à 12:10

Quand on connaît la somme S et le produit P de deux nombres on sait qu'ils sont solutions de l'équation X^2-SX+P=0.
C'était, il y a quelques années, au programme des STL BGB.
Mais ça a peut-être disparu lors de la dernière réforme.

Pour le voir : quelque soit X
(X-a)(X-b)=X^2-(a+b)X+ab=X^2+X+2

Posté par
Razesre : Détermination de a et b en fonction de w 27-10-17 à 12:20

Bonjour,

Tu as:  a+b=\omega ^{1}+\omega ^{2}+\omega ^{3}+\omega ^{4}+\omega ^{5}+\omega ^{6}

Tu as aussi: 1+\omega ^{1}+\omega ^{2}+\omega ^{3}+\omega ^{4}+\omega ^{5}+\omega ^{6}=0

Donc ....

Posté par
lafol Moderateurre : Détermination de a et b en fonction de w 27-10-17 à 12:40

Elle le sait depuis hier....

Artemisfly @ 26-10-2017 à 22:13

Effectivement, je trouve a+b=-1

Posté par
Artemisflyre : Détermination de a et b en fonction de w 27-10-17 à 12:52

Si si,verdurin on l'a bien vu mais je n'y avais pas pensé ^^ J'étais parti sur partie réelle et module...
Je vais donc essayer cette méthode

Posté par
Razesre : Détermination de a et b en fonction de w 27-10-17 à 14:43

3) Sinon par élimination:

\left\{\begin{matrix}a+b=-1\\ ab=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=-a-1\\ ab=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=-a-1\\ a(-a-1)=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=-a-1\\ a^{2}+a+2=0\end{matrix}\right.

Posté par
Razesre : Détermination de a et b en fonction de w 27-10-17 à 14:51

4) Tu as a et b de plus b=\omega ^{2}(.....)

Posté par
verdurinre : Détermination de a et b en fonction de w 27-10-17 à 15:43

Pour compléter ce que disait Razes.

b=\omega^2(\omega+\omega^3+\omega^4)

mais je ne vois pas ce qu'on peut en faire.

De fait le calcul de \cos(2\pi/7) nécessite la résolution d'une équation du troisième degré.

Posté par
Artemisflyre : Détermination de a et b en fonction de w 27-10-17 à 21:22

Pour ce qui est de a et b je trouve a=\sqrt{2}((-\sqrt{2}/4)-(i\sqrt{14}/4)) et son conjugué pour b
J'essaie de convertir en exponentiel mais je n'arrive pas à trouver les valeur de cos et sin...

Posté par
verdurinre : Détermination de a et b en fonction de w 27-10-17 à 21:39

Bonsoir,
tu as interverti a et b : la partie imaginaire de a est positive. Un petit croquis peut t'aider à le voir.

Une simplification quand même :

\sqrt{2}((-\sqrt{2}/4)-(i\sqrt{14}/4))=-2/4-i\sqrt{28}/4=\dfrac12(-1-i\sqrt7)

Pour la question 4), je ne vois pas d'autre réponse possible que \omega=\cos(2\pi/7)+i\sin(2\pi/7).

C'est un problème que je m'était posé il y a une trentaine d'années.

On peut démontrer qu'il est impossible d'exprimer \cos(2\pi/7) ou \sin(2\pi/7)  à l'aide d'additions, de multiplications et de racines carrées, cubiques, etc ne portant que sur des nombres réels.

Posté par
verdurinre : Détermination de a et b en fonction de w 27-10-17 à 21:42

Correction :

Citation :
On peut démontrer qu'il est impossible d'exprimer \cos(2\pi/7) ou \sin(2\pi/7)  à l'aide d'additions, de multiplications et de racines carrées, cubiques, etc ne portant que sur des nombres rationnels.

Posté par
Artemisflyre : Détermination de a et b en fonction de w 27-10-17 à 21:42

Effectivement verdurin, je n'avais pas fait attention à celà...
Je ne m'étais pas encore penchée sur la question d'exprimer mais je pense que je serais simplement partie là dessus aussi.
Merci beaucoup de votre aide.

Posté par
verdurinre : Détermination de a et b en fonction de w 27-10-17 à 21:45

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