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Niveau Master
détermination du log
Posté par BinouzeFlip
Bonsoir, j'ai un ti problème au début d'un exercice
On me demande de montrer qu'il existe des déterminations du logarithme sur l'ouvert :
Et ensuite, que peut - on dire de la différence de deux telles déterminations ? Montrer qu'il en existe une unique, que l'on notera log, vérifiant
Une détermination du logarithme c'est bien une application continue f sur un ouvert U vérifiant : ? En fait je ne sais pas comment démarrer ..
Bonjour,
je note Arg l'application de U dans C qui à z associe son unique argument compris dans ]0;2.pi[.
L'application de U dans C qui à z associe ln|z| + i.Arg(z) convient puisqu'elle est définie (z est non nul), continue (il n'y a aucun saut de 0 à 2.pi pour l'argument puisqu'on a enlevé la demi-droite problématique), et que son exponentielle vaut visiblement l'identité sur U. 
Pour toute autre détermination g, on aura exp(g(z)) = z pour z dans U, donc exp(Re(g(z))) = |z|, soit Re(g(z)) = ln|z|.
De plus, exp(i.Im(g(z)) = exp(i.Arg(z)) ce qui équivaut à Im(g(z)) = Arg(z) + 2kpi avec k entier relatif indépendant de z.
Par suite, g = f + 2ik.pi où k entier relatif ne dépend que de g.
J'ai oublié de dire pourquoi k était indépendant de z.
La raison en est qu'a priori, k est une fonction de U dans Z, et que, d'après la relation:
Im(g(z)) = Arg(z) + 2.k(z).pi pour tout z de U,
s'écrit:
k(z) = [Im(g(z)) - Arg(z)]/(2.pi) .
Cette application est visiblement continue sur le connexe U, or l'image continue d'un connexe est un connexe.
Comme les seuls connexes non vides de Z en sont les singletons, on en déduit que la fonction k est constante sur U, et qu'elle ne dépend donc bien que de la détermination g choisie.
Oui je me rappelle l'avoir vu en cours, merci beaucoup tigweg
là j'essaie de calculer l'intégrale , en utilisant le contour que l'on me donne et que je ne saurai faire en latex :
Je note le lacet 
4 chemins :
- cercle de centre 0, de rayon R parcouru dans le sens direct qui va de 
/4 à 7/4
- un segment allant de R à r
- demi-cercle de rayon r allant de 3/2 à /2 (dans le sens indirect)
-un segment allant de r à R
je montre que mes intégrales sont nulles sur les cercles en faisant tendre respectivement R vers 
et r vers 0
le pole de la fonction associée est -1, c'est un pole d'ordre 3 et je trouve que Rés(f,-1) = -1/2
Le théorème des résidus me dit que :
Est ce bon pour le moment? que vaut l'indice?
Merci