Bonjour à tous.
Effectivement, Luzak, prendre de "vieilles transformations géométriques pour commencer, me semble pas mal.
En fais, le problème posé est équivalent à celui-là : prendre l'image du disque
par l'application
.
Autrement dit, si
, il suffira, à partir de
d'effectuer les transformations suivantes :
(symétrie centrale)
(translation)
(rotation d'angle
)
(homothétie de centre 0 et de rapport 2)
Maintenant, le plus dur est de trouver
. Et là, on a plusieurs solutions. Soit par des arcs de cercle, soit par des segments ouverts.
J'explicite ce que j'entends par "segments". Il est vivement conseillé de faire un dessin au fur et à mesure.
.
.
.
(Cela fait deux segments dont on connait l'image par
).
Du coup on obtient :
.
Et maintenant, à
, on applique les 4 transformations décrites ci-dessus.
Au final, sur le plan, on obtient l'image cherchée qui ressemble à une grande chauve-souris dont il manquerait la tête et qui volerait vers le haut du plan (s'il est orienté de façon traditionnelle).
Plus analytiquement, on a "presque" tout le plan
et une "petite" partie de
(qui doit être limitée par la droite
.
Tout est bien sûr à vérifier.