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Niveau Licence Maths 1e ann
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déterminer l'image de f

Posté par
wuksey
23-10-16 à 13:26

Bonjour,

Je dois déterminer l'image de f avec

f(z) = (2iz) / (z + 1),  |z| < 1

J'ai essayé de simplifier en multipliant par  z(bar) +  1 mais après simplification, l'expression reste assez compliquée..

Merci pour votre aide.

Posté par
ThierryPoma
re : déterminer l'image de f 23-10-16 à 13:47

Bonjour,

As-tu vu l'analyse complexe ?

Sinon,

|z|<1\Rightarrow|f(z)|=\dfrac{2}{|z+1|}

D'autre part,

|z|\Rightarrow|z+1|\leqslant|z|+1\leqslant2\Rightarrow\dfrac{1}{|z+1|}\geqslant\dfrac{1}{2}

(...)

Posté par
ThierryPoma
re : déterminer l'image de f 23-10-16 à 13:48

Erratum :

|z|<1\Rightarrow|z+1|\leqslant|z|+1\leqslant2\Rightarrow\dfrac{1}{|z+1|}\geqslant\dfrac{1}{2}

Posté par
ThierryPoma
re : déterminer l'image de f 23-10-16 à 13:49

Erratum :

|z|<1\Rightarrow|z+1|\leqslant|z|+1<2\Rightarrow\dfrac{1}{|z+1|}>\dfrac{1}{2}

Désolé !

Posté par
luzak
re : déterminer l'image de f 23-10-16 à 14:59

Bonjour ThierryPoma.
Tu as écrit |z|<1\Rightarrow|f(z)|=\dfrac{2}{|z+1|} et il me semble que c'est plutôt  |z|<1\Rightarrow|f(z)|=\dfrac{2|z|}{|z+1|}\leqslant \dfrac{2}{|z+1|}.
Et la minoration de \dfrac{1}{|z+1|} que tu proposes est alors moins facile à utiliser.

Sauf erreur, je pense (mais ne vois aucun moyen de l'expliquer simplement sans l'utilisation de "vieilles" transformations géométriques) que l'image du disque |z|<1 serait un demi-plan ouvert ayant un bord parallèle à l'axe réel...

Un essai : f(z)=2i-\dfrac{2i}{z+1} donc Y=\Im(f(z)=2-\Im\dfrac{2i(\bar z+1)}{|z|^2+2\Re(z)+1}=2-\dfrac{2x+2}{|z|^2+2x+1} (évidemment, x=\Re(z))
Alors Y=2-\dfrac1{1+\frac{|z|^2-1}{2(x+1)}} soit Y>1.
Mais je n'ai pas la condition suffisante. Si tu vois...

Posté par
ThierryPoma
re : déterminer l'image de f 23-10-16 à 15:22

Bonjour Luzak,

Citation :
Bonjour ThierryPoma.
Tu as écrit |z|<1\Rightarrow|f(z)|=\dfrac{2}{|z+1|} et il me semble que c'est plutôt  |z|<1\Rightarrow|f(z)|=\dfrac{2|z|}{|z+1|}\leqslant \dfrac{2}{|z+1|}.
Et la minoration de \dfrac{1}{|z+1|} que tu proposes est alors moins facile à utiliser.


Très juste... Je deviens vieux.

Posté par
lake
re : déterminer l'image de f 23-10-16 à 16:13

Bonjour,

\Im[f(z)-i]=\dfrac{f(z)-i-(\overline{f(z)}+i)}{2i}=\dfrac{z}{z+1}+\dfrac{\bar{z}}{\bar{z}+1}-1

On trouve: \Im[f(z)-i]=\dfrac{z\bar{z}-1}{|z+1|^2}<0 si |z|<1 avec égalité sur le cercle.

Bon, ça ne prouve toujours pas que tout le demi plan est atteint...

Posté par
luzak
re : déterminer l'image de f 23-10-16 à 17:48

J'ai fait une erreur : c'est bien Y<1 et non pas ce que j'ai indiqué.

Une condition suffisante  :
On a toujours  2i\notin f(\C\setminus\{-1\}).
La fonction réciproque de f est g : z\mapsto\dfrac{z}{2i-z}

Et on a |g(z)|^2=g(z)\bar{g(z)}=\dfrac{z}{2i-z}\,\dfrac{\bar z}{-2i-\bar z}=\dfrac{z\bar z}{z\bar z+2i(z-\bar z)+4}<1 lorsque 4+2i(z-\bar z)=4-4\Im z>0

Posté par
jsvdb
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 11:45

Bonjour à tous.

Effectivement, Luzak, prendre de "vieilles transformations géométriques pour commencer, me semble pas mal.

En fais, le problème posé est équivalent à celui-là : prendre l'image du disque D_1 =\{z / |z-1| < 1\} par l'application g : z \mapsto 2i\dfrac{z-1}{z}=2i\left(1+(-1)\dfrac{1}{z}\right).

Autrement dit, si \Omega = h(D_1),~h : z \mapsto 1/z, il suffira, à partir de \Omega d'effectuer les transformations suivantes :

\Omega \mapsto -\Omega (symétrie centrale)
-\Omega \mapsto -\Omega+1 (translation)
-\Omega+1 \mapsto i(-\Omega+1) (rotation d'angle \pi/4)
i(-\Omega+1) \mapsto 2i(-\Omega+1) (homothétie de centre 0 et de rapport 2)

Maintenant, le plus dur est de trouver \Omega = h(D_1). Et là, on a plusieurs solutions. Soit par des arcs de cercle, soit par des segments ouverts.
J'explicite ce que j'entends par "segments". Il est vivement conseillé de faire un dessin au fur et à mesure.

\text {Soit } C_1 \text { le cercle épointé } \{z / |z-1| = 1\}-\{0\}.

\text {Soit } x \in ]0,2] \text{ (sur le dessin, dessiner le point } z_x=x+0i) \text { et les points correspondant à } x \text { sur } C_1 \text { ont pour coordonnées }(x, \pm \sqrt {1-(x-1)^2).

\text {On pose }r = \sqrt {2x}~(r \in ]0,2]), \theta =Arccos (r/2) \text { et } \varphi(r) = r.e^{i\theta}.

\text {Alors }C_1 = \bigcup_{r \in ]0,2]} \{\varphi(r), \overline {\varphi(r)}\}

\text {Pour } r \in ]0,2], \text {soit } S_r = \bigcup_{t \in ]0,1[}\{t\varphi(r), t\overline {\varphi(r)}\} (Cela fait deux segments dont on connait l'image par h).

Du coup on obtient : h(D_1) = \bigcup_{(r \in ]0,2])} \bigcup_{(t \in ]0,1[)} \{ \dfrac{ \varphi(r)}{tr}, \dfrac{ \overline {\varphi(r)}}{tr}} \}.

Et maintenant, à h(D_1) , on applique les 4 transformations décrites ci-dessus.

Au final, sur le plan, on obtient l'image cherchée qui ressemble à une grande chauve-souris dont il manquerait la tête et qui volerait vers le haut du plan (s'il est orienté de façon traditionnelle).

Plus analytiquement, on a "presque" tout le plan \mathfrak {Im} (z) \leq 0 et une "petite" partie de \mathfrak {Im} (z) \geq 0 (qui doit être limitée par la droite \mathfrak {Im} (z) = 1...~(ou~2)) .

Tout est bien sûr à vérifier.

Posté par
carpediem
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 12:10

salut

je suis de loin et en voyant le dernier msg de jsvdb il me vient l'idée suivante :

l'image du disque unité ouvert est l'union des images des cercles de rayon r avec r < 1

...

Posté par
jsvdb
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 12:27

Salutations Carpediem.

Exactement, sauf que ça ne m'inspirait pas des masses de travailler avec \dfrac{r.e^{i\theta}}{r.e^{i\theta}+1} avec r\in [0,1[ et \theta \in [0, 2\pi[.

\text{Finalement, maintenant que tu le dis, ça aurait peut-être dû : } \dfrac{r.e^{i\theta}}{r.e^{i\theta}+1}=\dfrac{1}{1+\dfrac{e^{-i\theta}}{r}}, r \neq 0

Ça aurait dû, ou ptet pas !

Posté par
luzak
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 15:10

Bonjour tous les deux !
J'ai mis "utilisation de transformations géométriques" pour dire ce qui m'a suggéré la solution.
Ceci dit il n'est pas difficile de prouver que \varphi : z\mapsto\dfrac1{\bar z} transforme le cercle de diamètre [0,\;1] en droite.
En polaires le cercle a pour équation \rho=\cos\theta et l'image par \varphi a donc pour équation \rho=\dfrac1{\cos\theta}.

On peut alors mettre des inégalités et prouver la propriété voulue pour le disque ou, comme le suggère carpediem, réunir des cercles tangents en O à l'axe imaginaire (cela me semble plus simple que de prendre des cercles concentriques)...

Posté par
DOMOREA
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 16:11

bonjour,
En posant z'=z+1 je retrouve  les transformations données  par jsvdb
 f(z)=2i(1-\frac{1}{z'}) mais ne vois pas de chauve-souris

=2i(1-\frac{\overline{ z'}}{|z'|^2})
M(z') \in D(1,1)-(0,0) disque de centre z= 1 et de rayon r= 1 privé de l'origine du repère.
Il me semble que en remarquant que |z'|^2 peut être aussi proche de 0 que désiré  , par inversion  (\frac{1}{|z'|^2}  le point M'(\overline{z'}) peut être "envoyer à l'infini sur la  demi droite ]OM')
comme le DisqueD(1,1)  est tangent à (oy) en O, je pense quef(D(1,1)-(0,0))
  est le demi plan ouvert Re(Z)>0
ensuite avec la symétrie de rapport -1 suivie de la translation de vecteur U=1 puis la rotation  de centre O et d'angle +\frac{\pi}{2} et enfin l'homothétie de centre O et de rapport 2 on obtient  pour image définitive  le demi plan ouvert Im(z)>2

Posté par
DOMOREA
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 16:25

re non je dis des bêtises, M(Z') doit rester dans le disque

Posté par
jsvdb
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 16:38

En reprenant la Luzak's idea :

On cherche l'image du disque ouvert D de diamètre ]0,2[ par \varphi : z \mapsto 1/z.
Ce disque est la réunion disjointe des cercles C_r = \{ r\cos(\theta) /~\theta \in ]-\pi/2, \pi/2[\}, r \in ]0,2[
Il vient \varphi (r\cos(\theta)) = 1/(r\cos(\theta)).
Donc \varphi (C_r) = \text {droite d'équation } x = 1/r
Donc \varphi (D) = \text {demi-plan d'équation } x > 1/2

Et en faisant mes transformations successives l'image cherchée est \text {demi-plan d'équation } \red y < -1 = \{\mathfrak {Im}(z) < -1\}

Ma chauve-souris, elle s'est écrabouillée. Et vlan le batman !

Posté par
DOMOREA
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 16:54

bonsoir,

J'espère être un peu plus fiable, L'intersection du cercle unité et du cercle de centre z=1 et de rayon 1 est constitué de deux points A et B or ces points sont échangés  par la transformation z'---> \frac{\overline{z'}}{|z'|^2} comme l'image d'un cercle par une inversion dont le centre est sur le cercle est une droite , l'image du cercle de centre z+1 et de rayon 1 est la droite (AB) d'équationX=1/2 il me semble alors qu'il faut corriger ma première désastreuse intervention en remplaçant le demi-plan R(Z)>0 par R(Z)>1:2
L'image définitive serait donc sauf erreur le demi plan Im(z)>1

Posté par
jsvdb
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 17:00

A priori, on a faux puisque f(0) = 0.

Posté par
DOMOREA
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 17:22

re,
en effet alors ? sans doute parce que tu  as supposé Z différent de 0 dans ta transformation, et moi j'ai supposé z' différent de 1,   il faut donc ajouter le point O dans l'image trouvée
D'ailleurs M'(1) est fixe par I: Z---> \frac\overline{Z}}{|Z|^2  I(Z+1)=Z+1 ce qui donne bien  pour z=0  I(1)=1

Posté par
DOMOREA
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 17:24

re
I: z-->\frac{\overline{z'}}{|z'|^2}

Posté par
jsvdb
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 17:37

non, en fait il y a une faute de frappe dans mon post :

Et en faisant mes transformations successives l'image cherchée est \text {demi-plan d'équation } \red y < 1 = \{\mathfrak {Im}(z) < 1\}

Posté par
luzak
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 18:08

@ jsvdb
Je reprends ton message de 16h38.
Quand tu dis C_r=\{r\cos\theta... tu donnes un ensemble de réels.
Pour les cercles il faudrait mettre C_r=\{r\cos\theta\,e^{i\theta},\, \theta \in ]-\pi/2, \pi/2[,\, r \in ]0,2[\} .
Le problème dans ce cas (j'étais tombé sur le même os) c'est le passage à l'inégalité pour le disque qui  serait |z|<r\,\cos\theta. Il faudrait, pour être cohérent que z,\,\varphi(z) aient même argument ce qui n'est pas le cas si tu ne prends pas \varphi(z)=\dfrac1{\bar z} (la symétrie par rapport à l'axe réel ne gêne pas car les parties envisagées sont invariantes par cette symétrie).

On aurait alors le disque décrit par |z|<r\cos\theta et, comme \varphi(z)=\dfrac1{|z|}e^{i\theta}=\dfrac1{r\cos\theta}e^{i\theta}    il vient \Re(\varphi(z))=\dfrac1r>\dfrac12

Posté par
jsvdb
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 18:42

Oui effectivement, tu as raison, je dois mettre plus de rigueur dans ma rédaction !
Déjà, je pense que l'ensemble à trouver doit être le bon.
Je vais revoir tout ce que tu as dit, mais à tête reposée ...

Posté par
carpediem
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 18:52

bon je vais clore le débat ....

après une étude sur geogebra ....et "2h" de calcul dont la moitié faux c'est pourquoi ça m'a pris tout ce temps fait iech la vie

je vous passe les calculs ... mais à vous de vérifier ...

soit 0 \le r < 1

w = \dfrac 1 2 \left[f(r) + f(-r) \right] = \dfrac {-2ir^2}{1 - r^2} \in i\R^-

z = re^{it}

f(z) - w = \dfrac {2i(z + r^2)}{(1 + z)(1 - r^2)}

|f(z) - w| = \dfrac {2r}{1 - r^2} = R

l'image du cercle |z| = r est le cercle de centre w et de rayon R


ouf ....

reste à préciser ce qui se passe quand r tend vers 1 ...

Posté par
jsvdb
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 19:12

Carpe : Luzak et ton serviteur ont déjà clos le débat :

luzak @ 24-10-2016 à 18:08

  il vient \Re(\varphi(z))=\dfrac1r>\dfrac12


jsvdb @ 24-10-2016 à 17:37


Et en faisant mes transformations successives l'image cherchée est \text {demi-plan d'équation } \red y < 1 = \{\mathfrak {Im}(z) < 1\}


Posté par
carpediem
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 19:28

voila pour voir :

déterminer l\'image de f

Posté par
carpediem
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 19:30

voila pour voir :

déterminer l\'image de f

Posté par
jsvdb
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 20:25

Très belle confirmation, bravo !

Posté par
DOMOREA
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 20:25

bonjour,
Je traite géométriquement le problème
Comme je l'ai écris avant , j'ai pris le parti de changer de variable en posant z'=z+1
donc l'expression de f(z) devient 2i(1-\frac{\overline{z'}}{|z'|^2})
la contrainte devient doncM'(z') appartient au disque ouvert de centre I(1) et de rayon1  Il s'agit de déterminer l'image de ce disque par z\longrightarrow 2i(1-\frac{\overline{z'}}{|z'|^2})
cette transfiormation se décompose en z\longrightarrow \frac{\overline{z'}}{|z'|^2}\longrightarrow -\frac{\overline{z'}}{|z'|^2}\longrightarrow 1-\frac{\overline{z'}}{|z'|^2}\longrightarrow i(1- \frac{\overline{z'}}{|z'|^2})\longrightarrow  2i(1-\frac{\overline{z'}}{|z'|^2})
autrement dit la composition          h(0,2)\circ R(O,\frac{\pi}{2} )\circ  T(\vec{OI})\circ S_O\circ g
le cercle de centre I et de rayon 1 a pour image la droite d'équation x=1/2 car l'image d'un cercle par une inversion dont le centre est sur le cercle est une droite.
or A et B sont échangés par cette inversion  donc l'image est la droite (AB)
L'arc AIB est globalement fixe , la zone intérieure  verte est envoyé sur la lunule bleu ; la zone intérieure rouge  sur le complémentaire des zones bleues et rouge du demi-plan x>1/2
Ainsi l'image par g du disque ouvert de centre I(1) et de rayon 1 est le demi plan ouvert de frontière x=1/2
Pour information quand la demi-droite Ot tend vers (oy) , un point correspondant du cercle de centre I et de rayon 1 a pour image un point de x=1/2 et un point intérieur  a son image dans le demi plan .
Si ensuite on applique dans l'ordre les autres transformations on obtient successivement :  le demi plan ouvert  symétrique x<-1/2 puis  le demi-plan ouvert y<1
et c'est là que je me suis égaré au post précédent.
remarque sur la figure ce n'est pas M" qui est l'image de M mais son symétrique /ox

déterminer l\'image de f

Posté par
DOMOREA
re : déterminer l'image de f 24-10-16 à 20:27

re
en effet  très joli



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