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Niveau terminale
déterminer la plus petite période
Posté par tetras
Bonjour
déterminer la plus petite des fonctions suivantes :
je propose f périodique de période 2
mais est ce la plus petite période
je sais que si T est la période f(x+T)=f(T)
mais doit on utiliser cette propriété pour trouver la période
f(X)=f(
)
x=+2k
ou x=-+2k
merci de votre aide
Bonjour,
Citation :
je sais que si T est la période f(x+T)=f(T)
je sais que si T est la période f(x+T)=f(T)
es-tu sûr ? vérifie
La période de ta fonction est bien 2*
mais je n'arrive pas à comprendre ta démonstration 
Citation :
déterminer la plus petite des fonctions suivantes
déterminer la plus petite des fonctions suivantes
Quel rapport avec la périodicité de f ? relis ton énoncé.
Déterminer la plus petite période des fonctions suivantes
f(x+2pi)=[strike][/strike]
1-cos(x+2pi)/2+cos(x+2pi)
=f(x)
Ça va comme ça ?
Merci ZEDMAT
Citation :
Déterminer la plus petite période des fonctions suivantes
Déterminer la plus petite période des fonctions suivantes
Il n'y a qu'UNE SEULE fonction.
Citation :
si T est la période f(x+T)=f(T)
si T est la période f(x+T)=f(T)
Tu n'as pas réagi à ma remarque.... ta définition est fausse.
A minima :
suite (lis -et comprends- déjà ce qui précède )
Citation :
f(x+2pi)=1-cos(x+2pi)/2+cos(x+2pi) = f(x)
f(x+2pi)=1-cos(x+2pi)/2+cos(x+2pi) = f(x)
1) sans les parenthèses autour du numérateur et du dénominateur, ton écriture en ligne est fausse...
2) il faudrait au moins dire que la fonction cos est périodique de période 2
.ok merci
même chose pour g(x)=2+5cos²(x)
g(x+2)=2+5cos²(x+2)=g(x)
g périodique de période 2
j'ai tracé la courbe et il semblerait que la plus petite periode soit
comment faire dans ce cas?
Trouver UNE période est souvent facile ... trouver La période la plus petite en est une autre.
On peut, par exemple, faire ainsi (je le fais pour la fonction g(x) ... à comprenfre et ensuite, à toi de le faire pour f(x).)
g(x)=2+5cos²(x)
Il faut trouver la plus petite valeur de T strictement positive telle que : g(x+T) = g(x)
2+5.cos²(x+T) = 2 + 5.cos²(x)
cos²(x+T) = cos²(x)
[cos(x).cos(T)+sin(x).sin(T)]² = cos²(x)
cos²(x).cos²(T)+sin²(x).sin²(T)+2.sin(x).cos(x).sin(T).cos(T) = cos²(x)
cos²(x).(cos²(T)-1) + sin²(x).sin²(T)+2.sin(x).cos(x).sin(T).cos(T) = 0
-cos²(x).sin²(T) + sin²(x).sin²(T)+2.sin(x).cos(x).sin(T).cos(T) = 0
sin(T)*(-sin(T).cos²(x) + sin²(x).sin(T)+sin(2x).cos(T)) = 0 (1)
Comme (-sin(T).cos²(x) + sin²(x).sin(T)+sin(2x).sin(T)) varie avec x, (1) ne peut être satisfait (pour toutes valeurs de x) que si sin(T) = 0
Il reste donc à trouver la plus petite valeur strictement positive de T telle que sin(T) = 0
Et donc T = Pi
ceci étant.... une fois rectifiée cette erreur de signe, on aboutit par la même démarche, au même résultat.
Candide2 a eu bien du mérite de saisir au clavier ce calcul 
.
Retiens bien le principe de sa démonstration :
*on part de la déf : pour tout x, on veut T tel que : f(x+T) = f(x)
* pour résoudre cette équation en T, on essaye de développer les expressions qui y figurent en priant le ciel que tout cela se simplifie et mène à une relation simple indépendante de x.
Pour la première fonction, le principe est le même
bonjour à tous,
ZEDMAT, j'ai une question : si on montre que 2pi est une période, pour vérifier que c'est la plus petite (ou pas), j'ai étudié les variations des fonctions sur [0 ; 2pi], ce qui réduit beaucoup les phases de calcul.
Est ce que c'est acceptable et suffisant ?
Candide2 a écrit à la fin de son calcul (où j'ai rectifié le signe) :
Citation :
sin(T)*(-sin(T).cos²(x) + sin²(x).sin(T)[vert]-sin(2x).cos(T)) = 0 (1)
Comme (-sin(T).cos²(x) + sin²(x).sin(T)-sin(2x).sin(T)) varie avec x, (1) ne peut être satisfait (pour toutes valeurs de x) que si sin(T) = 0
Il reste donc à trouver la plus petite valeur strictement positive de T telle que sin(T) = 0
Et donc T = Pi
sin(T)*(-sin(T).cos²(x) + sin²(x).sin(T)[vert]-sin(2x).cos(T)) = 0 (1)
Comme (-sin(T).cos²(x) + sin²(x).sin(T)-sin(2x).sin(T)) varie avec x, (1) ne peut être satisfait (pour toutes valeurs de x) que si sin(T) = 0
Il reste donc à trouver la plus petite valeur strictement positive de T telle que sin(T) = 0
Et donc T = Pi
Son développement aboutit à un produit de 2 facteurs que l'on veut égal à 0 (équation(1)).
Le 2ème facteur dépend de T mais aussi de la valeur de x ! On pourrait trouver des couples (T;x) annulant ce 2ème facteur mais comme le dit Candide2 depuis le début on a dit que la valeur trouvée pour T doit être valable quelle que soit la valeur de x.
Reste donc l'égalité du 1er facteur à zéro : sin(T) = 0.
Ouf
Bonjour,
"La grande égalité qui dépend de x dans la seconde parenthèse ne peut jamais s'annuler?"
Ce qu'il faut montrer est que cette "grande égalité" ne peut pas être vraie pour une certaine valeur de T ... mais pour toutes les valeurs de x.
Erreur de signe corrigée ...
On ne peut pas avoir, pour toutes valeurs de x : (-sin(T).cos²(x) + sin²(x).sin(T)-sin(2x).cos(T)) = 0
En effet :
(-sin(T).cos²(x) + sin²(x).sin(T)-sin(2x).cos(T))=0
pour x = 0 : -sin(T) = 0 --> sin(T) = 0
pour x=pi/4 : -(1/2).sin(T)+(1/2).sin(T)-cos(T) = 0 --> cos(T) = 0
Il n'existe pas de valeur de T telle qu'on ait sin(T) = cos(T) = 0
Et donc, il n'existe pas de valeur de T telle que (-sin(T).cos²(x) + sin²(x).sin(T)-sin(2x).cos(T))=0 pour toutes valeurs de x.
Donc, la seule façon que (1) de ma première réponse (avec le signe corrigé) soit respectée pour toutes valeur de x est bien sin(T) = 0 ...
qui mène à T = Pi (comme valeur la plus petite strictement positive).
Bonjour,
Bof pour l'histoire du second facteur.
Je préfère l'idée qui apparaît dans le message de Leile.
La distance entre deux maximums ou minimums égaux permet de minorer la période.
Le message de candide2 de 17h34 est plus clair sur la manière de justifier. Mais c'est quand même compliqué.
Leile
Bonjour,
Je ne suis pas qualifié pour affirmer quoi que ce soit...
Cela doit dépendre du niveau d'exigence du prof qui a posé cet exercice...
Moi, cela me suffirait mais...
A vrai dire quand j'ai commencé à répondre à tétras, je ne pensais pas aller aussi loin ! (même si j'avais fait au brouillon pour f un calcul équivalent à celui de Candide2 pour g...)
Il importait surtout de signaler à tétras sa grosse erreur sur la déf d'une période [f(T) au lieu de f(x)]
mais aussi
Citation :
f(X)=f()
x=+2k
ou x=-+2k
f(X)=f(
)
x=
+2k
ou x=-
+2koù f est traitée comme si c'était la fonction cos et où X et x se confondent (cela je n'avais pas encore eu l'opportunité de le signaler à tétras).
"La distance entre deux maximums ou minimums égaux permet de minorer la période."
... encore faut-il que les extrema soient choisis judicieusement ...
Oui, c'était trop vague !
"La distance entre deux maximums ou minimums égaux et successifs permet de minorer la période."
Est-ce mieux ainsi ?
Bonjour,
Attention alors de ne pas trouver que, dans l'exemple de mon dessin, on ne dise que T' est "la période".
C'est souvent bien plus "complexe" que cela n'y parait avec les fonctions "simplistes" étudiées en Secondaire.
salut
pour ma part j'aurai plutôt résolu ainsi :
or car cos est
périodique (cours toutes premières)
et (connaissant les formules sur les angles associés qu'on apprend en première STI mais pas en première G !!)
donc (l'inconnue est T)
et on en déduit que
Bonjour,
Si le minorant est une période ... c'est bon.
Sinon, cela n'aide pas.
Sur mon dessin, si on montre que T' est "l'écart" max entre 2 extrema identiques consécutifs, on sait que T >= T' ... mais cela n'aide en rien à trouver la période T (la plus petite possible) dans l'exemple donné.
La détermination de T (la plus petite) est parfois assez difficile et il n'y a pas de méthode qui puisse être appliquée systématiquement.
Souvent d'ailleurs (ailleurs que sur les bancs de l'école), une fonction périodique n'est pas dépendante d'une fonction trigonométrique (sin, cos ou autre), souvent aussi, elle n'est pas dérivable et se heurte alors aux méthodes classiques de recherches d'extrema...
Mais probablement pas de tels cas au niveau Secondaire.
effectivement vous m'avez perdu.
je vais essayer de retrouver mon chemin avec la methode de carpediem qui me parait plus digeste...pour une fois 
et quant à f(x+T)=f(T) c'etait une etourderie!
sans carré j'utiliserai très probablement la même méthode que candide2 en utilisant la formule ... après avoir factoriser par sin x cependant ...
à toi de jouer !!
PS : il est tout de même difficile en 1G de trouver et prouver la période car je crois bien qu'ils n'ont pas les formules d'addition (type sin (a + b) = ...) donc très souvent les exo demande de "prouver que ..." (ce qui ne prouve jamais que c'est la (plus petite) période mais une période)
Citation :
i(x)=3sin(x)+sin(2x)
une méthode simple niveau première G pour celle là?
Je propose :
i(x)=3sin(x)+sin(2x)
une méthode simple niveau première G pour celle là?
Factoriser i(x) par sin(x).
Le signe de i(x) est celui de sin(x).
La période du signe de sin(x) est 2
.Bonjour,
i(x) = 3sin(x)+sin(2x)
i(x) est la somme de 2 fonctions périodiques (3.sin(x) et sin(2x))
La période de 3.sin(x) est 2Pi
La période de sin(2x) est Pi
La période de i(x) est le PPCM de 2Pi et Pi ... soit 2Pi
-----
Généralement, la période d'une fonction somme (ou différence) de plusieurs fonctions périodiques est le PPCM des périodes des fonctions qui constituent la somme.
Il y a quand même un piège à éviter que je vais expliquer par un exemple simpliste :
Soit i(x) = sin(2x) + sin(3x) - 2.sin(x).cos(x)
La période de sin(2x) est Pi
La période de sin(3x) est 2Pi/3
La période de 2sin(x).cos(x) est Pi
MAIS si on fait le PPCM de Pi et 2Pi/3, soit ...
On s'est planté car il FALLAIT remarquer que :
sin(2x) - 2sin(x).cos(x) = 0 et que donc i(x) se simplifiait en sin(3x)
C'est évident ... cependant certains exercices peuvent "cacher" plus habilement une simplification qui peut ne pas être vue au premier coup d'oeil.