saalut

peut-être montrer que ce domaine n'est pas borné dans aucune direction autour de a ...

Salut,

pas facile comme exercice....

Je propose une piste:  Prendre une boule ouverte B(,r)\{} en considérant une fonction holomorphe avec une singularité essentiel en ; et en utilisant le théorème suivant:

Soit f dans B(a,r)\{a} une fonction holomorphe avec une singularité essentiel en a. Soit T={c/ (z_n)_n, z_na et lim_nz_n=a, f(z_n)=c n}
Alors soit T=, soit T=\{w} pour UN SEUL w.

L'idée est ensuite de prouver que w= et que le premier cas n'est pas possible;ce qui est loin d'être facile je le conçois...( ce n'est d'ailleurs peut être pas possible avec les maigres hypothèses que l'on a mais ça reste une piste)

soit D un ouvert connexe de frontière {a}

toute demi-droite d'origine le point A d'affixe a s'écrit avec r > 0 et t  réel positif ...

si D est borné ou plus précisément si D est inclus dans un quelconque demi-plan de frontière la droite d alors il existe un réel t tel que z appartienne à la frontière de D



une image pour comprendre ce que je veux dire : si la droite (BC) borne le domaine D alors les demi-droites [AD) et [AE) coupent la frontière de D

à mettre peut-être mieux en forme pour montrer qu'on la frontière contient au moins deux points si D est borné ""suivant une direction""

par contraposée on prouve donc que D n'est pas borné ...

Bonsoir,
on peut aussi prendre un point x dans le complémentaire D^C de D.
Et remarquer que si B est une boule ouverte de centre x incluse dans D^C alors B{} est un fermé.

encore plus simple peut-être :

soit t réel fixé,  d = {z = raexp (it) / r > 0}  la demi-droite d'origine a dans la direction angulaire t et E = d D

alors tout simplement si E d alors les les éléments de E sont des éléments de D différents de a



la demi-droite d = [AB) rencontre D et ici E= ]a, X] [Y, Z] [W, B) et les points X, Y, Z et W appartiennent à la frontière de D

PS : les points X, Y, ... ne sont pas marqués ...

Bonjour.

En reprenant toutes les idées, tu montres simplement que la boule et ce pour tout .

Tu le montres en disant que ce c'est pas le cas alors il y a un tel que et tu considères le segment qui rencontre alors la frontière de .

L'argument clé étant qu'il existe en vertu du fait que est ouvert.

Et que

Bon en fait, c'est pas suffisant.

Il faut commencer par dire que (car D étant ouvert, il ne pourrait pas être sur la frontière) et est adhérent à (car il est sur la frontière)

Donc il existe une suite de points de points de qui converge vers .

Pour chacun de ses points, il existe une suite telle que et


Et là tu reprends ma démo :

Soit avec et

Alors tu trouveras forcément un point dans une des boules tel que et donc le segment rencontrera en point différent de

Conclusion : toute boule et

NB : le segment ne rencontrera pas forcément sur la frontière d'une des

Merci jsvdb
Cette preuve est beaucoup plus élégante et concise que celle que j'avais trouvé.

je ne comprends pas toutes ces histoires de suites et sous-suites ...

mais effectivement c'est mon idée en plus concis ... et mieux formalisée ...


on considère les sphères avec r > 0

si pour un certain r alors il existe un complexe z <> a de cette intersection qui appartient à la frontière de D (puisque D est ouvert)

je ne comprends pas toutes ces histoires de suites et sous-suites ...

mais effectivement c'est mon idée en plus concis ... et mieux formalisée ...


on considère les sphères avec r > 0

si pour un certain r alors il existe un complexe z <> a de cette intersection qui appartient à la frontière de D et pas à D (puisque D est ouvert)

Oui  mais cette fois c'est trop concis car il faut préciser qu'on prend un r pour lequel l'intersection est non vide et préciser que si l'intersection est vide alors on peut trouver un r plus petit pour lequel l'intersection est non vide.
Ensuite rien ne nous garantit que l'on puisse trouver un r tel que  L'intersection soit différente de Sr.
  Si on est dans un tel cas alors D était en réalité une boule  (  sauf son centre  a) et on sait que la frontière d'une boule n'est pas réduite à un point .
Enfin après avoir éliminé tous ces cas alors effectivement c'est ton raisonnement qui s'applique.

Dans il y a 3 ouverts ayant {0} pour frontière .

Dans un -evn E  de dimension > 1 il n'y a que  E\{0} :

   On utilise les propriétés suivantes :
   1.Les ouverts connexes de sont les intervalles ouverts ]a , b[  ( - a b + )
  2.Les composantes connexes d'un ouvert de sont des ouverts ( donc des  intervalles ouverts )
3.Pour tout (x,y) E² tel que x y , t    x + t(y - x) réalise un homéomorphisme de sur la droite D(x,y) "passant par x et y " .

Soit donc U un ouvert de E n'ayant que 0 pour point frontière . U est donc non vide .  Soient a U  et := { t.a | t 1 }  (c'est la demi-droite fermée contenant 0 et d'extrêmité a  ) .

Soit x E \ .
U D(a,x) est un ouvert  de la droite  D(a,x) contenant a  . La composante connexe de U D(a,x) contenant a est donc un "segment " ouvert contenu dans D(a,x) . Si  on avait    D(a,x) une de ses extrémités serait un point fronntière de U . On a donc D(a,x) U .

Par suite U contient  E \ .
Si U   E \ {0}  il existe b tel que b U . b est alors point frontière de U .
Comme ce n'est pas le cas  on a U =  E \ {0} .

Rq :  Je n'ai  pas supposé que U était connexe .

Merci etniopal je ne m'étais même pas demandé si le résultat se généralisait mais je suis content de voir que oui

ouais ben c'est exactement ce que je dis (à 12h33) ... en plus symbolique ... avec rigueur et méthode comme à son habitude ...

effectivement tout provient des propriétés de et de ses connexes ...

pour tout z dans U = E - {a} on note D la demi-droite [a, z)

si l'ensemble U D n'a pas exactement une composante connexe alors la frontière de U contient un deuxième point ... ce qui contredit l'hypothèse ...

à noter comme l'a fait etniopal que l'hypothèse U connexe est inutile au raisonnement ... ce que j'avais remarqué dès le début ... (mais évidemment si U n'est pas connexe c'était immédiatement fini)