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Deux matrices semblables

Posté par
saadyas 09-01-16 à 11:11

Pouvez-vous m'aider SVP:
1- Donner un exemple de deux matrices carrées d'ordre 3 ayant même polynôme minimal mais qui ne sont pas semblables.
2-Montrer que si M est une matrice carré d'ordre n nilpotente d'indice n alors M est semblable à la matrice de jacobi J_{n}(0).

Posté par
carpediemre : Deux matrices semblables 09-01-16 à 11:18

salut

la matrice identité et la matrice

1 0 1
0 1 0
0 0 1

feront probablement l'affaire ....

ou un truc du genre ....

qu'est-ce que la matrice de Jacobi J(0) ?

Posté par
luzakre : Deux matrices semblables 09-01-16 à 13:59

Bonjour !
2. Si  

Posté par
luzakre : Deux matrices semblables 09-01-16 à 14:14

Bonjour !
1. Il faut chercher un exemple où le polynôme minimal n'est pas scindé à racines simples...

Essaies  A=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &1 &1 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} et B=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}

2. Si  M^n=0,\;M^{n-1}\neq0 il existe X tel que M^{n-1}X\neq0 et tu montres alors que la famille X,MX,M^2X,\ldots,M^{n-1}X est une base.

Posté par
luzakre : Deux matrices semblables 09-01-16 à 14:25

Désolé, B ne convient pas...
B=\begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ 0 &1 &1 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} peut-être ?

Posté par
luzakre : Deux matrices semblables 09-01-16 à 18:40

Finalement je propose
A=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} et B=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}.
Elles sont diagonales  de polynôme minimal X(X-1) et n'ont pas même trace.

Posté par
saadyasre : Deux matrices semblables 10-01-16 à 18:53

Merci Messieurs, c'est exactement la bonne réponse que je cherchais...  


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