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Deux suites qui n'ont pas de limite

Posté par Profil Ramanujan 12-09-23 à 23:59

Bonsoir,

Soit \theta \in \R \backslash \pi \Z.
Montrer qu'aucune des deux suites (\cos( n \theta))_{n \in \N} et  (\sin( n \theta))_{n \in \N} n'a de limite.

Pour une fois, je ne rends pas copie blanche, j'ai essayé des choses. J'ai cherché environ 30 minutes.
\cos ((n+1) \theta)= \cos (n \theta) \cos( \theta)- \sin (n \theta) \sin (\theta)
\sin ((n+1) \theta)= \sin (n \theta) \cos( \theta)+ \cos (n \theta) \sin (\theta)

Supposons que \cos (n \theta) \longrightarrow a \in \R et \sin (n \theta) \longrightarrow b \in \R.
Alors a=a \cos( \theta)- b \sin ( \theta)
b=b \cos( \theta)+a\sin ( \theta)

Donc :
\begin{cases}a( \cos ( \theta)-1) -b \sin ( \theta)=0 \\ b( \cos ( \theta) -1)+a \sin( \theta)=0 \end{cases}

Le déterminant du système vaut \det \mathcal S=\sin(2 \theta)-2 \sin (\theta)

\det( \mathcal S)=2(1- \cos( \theta) ) \ne 0

Donc le système est de Cramer et a=b=0.

Je trouve ça bizarre.

Posté par
lionel52re : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 00:30

Ton raisonnement par l'absurde est faux.

C'est quoi la négation de cos(n.t) et sin(n.t) n'ont pas de limite ?

Posté par Profil Ramanujanre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 01:42

Oui erreur de logique.

C'est \cos( n \theta) ou \sin (n \theta) admet une limite \ell \in \bar{\R}.

Posté par
luzakre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 08:24

L'utilisation de \cos(2n\theta) permet de conclure pour les cosinus.
De même, en utilisant \sin^2(2n\theta) tu obtiens les limites éventuelles...

Posté par
carpediemre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 10:04

salut

la proposition "les deux suites u et v ont une limite" n'est pas la négation de la proposition "les deux suites u et v n'ont pas de limites" ...

Posté par
carpediemre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 10:05

pardon lionel52 (je n'ai pas lu attentivement ton intervention)

Posté par Profil Ramanujanre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 17:53

Ok merci Luzak mais je n'ai pas réussi.

Supposons que \cos (n \theta) ou \sin (n \theta) admette une limite finie ou infinie \ell.

Premier cas :  \cos (n \theta) \longrightarrow \ell
On a \cos (2 n \theta)= \cos^2(n \theta)- \sin^2(n \theta)
\cos(2 n \theta)=1- 2 \sin^2(n \theta)
Si \ell \in \R alors ....

Je n'ai pas compris la logique pour résoudre l'exercice.

Posté par
carpediemre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 18:02

1/ franchement est-ce qu'un cos ou un sin peut devenir infini ?

2/ montre que si une suite admet une limite (donc nécessairement finie) alors l'autre admet deux valeurs d'adhérence

3/ détermine alors ces limites

4/ aboutir à une contradiction

Posté par
Rintarore : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 18:02

Bonsoir, je ne commente pas ton message de 17:53 car d'autres intervenants sont déjà sur ton cas.

Maintenant je me permets d'intervenir car j'enrage : OShine, penses-tu vraiment qu'une suite bornée qui converge peut avoir une limite autre part que dans \R ? Sérieusement ?! Lâche cette histoire de \overline{\R}.

Posté par
Rintarore : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 18:03

Eh bien carpediem, tu m'as devancé !

Bonne soirée à tous

Posté par Profil Ramanujanre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 18:20

Rintaro
En effet j'ai la tête dans le guidon, merci.

Carpediem.
Luzak a dit de faire d'abord \cos( 2n \theta) pour les cosinus puis \sin^2(2 n \theta)...

1) Non.
2) 3) 4) Je n'ai pas réussi. Ta méthode est-elle la même que celle de Luzak ?

\cos(2 n \theta)= \cos^2(n \theta)- \sin^2(n \theta)
Si \cos (n \theta) \longrightarrow \ell, alors \sin^2( n \theta) \longrightarrow \ell^2-\ell=\ell ( \ell -1)

Je bloque ici.

Posté par
carpediemre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 19:04

2/ une identité trigonométrique élémentaire de collège permet de conclure

3/ une identité trigonométrique liant cos (2a) et cos a (idée de luzak) permet de conclure

Posté par Profil Ramanujanre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 21:07

Je n'y arrive pas.

Posté par
carpediemre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 22:14

pour tout réel x : \cos^2 x + \sin^2 x = 1

si f(x) = \sqrt {1 - x^2} alors f(|\cos x|) = |\sin x| $ et$ f(|\sin x|) = |\cos x|

or f est continue donc si l'une des suites admet une limite alors l'autre admet (au plus) deux valeurs d'adhérence (à cause de la valeur absolue)

Posté par
jandri Correcteurre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 22:34

Bonjour,

il y a plusieurs façons de montrer que les suites (\cos( n \theta))_{n \in \N} et (\sin( n \theta))_{n \in \N} n'ont pas de limite quand \theta \in \R \backslash \pi \Z, par exemple :

1) si \lim\cos( n \theta)=a alors en utilisant \cos( (n+1) \theta)+\cos( (n-1) \theta)=2\cos( n \theta)\cos( \theta) on déduit 2a(1-\cos( \theta))=0 d'où a=0.
On reporte dans \cos( 2n \theta)=2\cos^2( n \theta)-1 pour obtenir 0=-1 : contradiction.

2) si \lim\sin( n \theta)=b alors en utilisant \sin( (n+1) \theta)+\sin( (n-1) \theta)=2\sin( n \theta)\cos( \theta) on déduit 2b(1-\cos( \theta))=0 d'où b=0.
On reporte dans \sin( (n+1) \theta)=\sin( n \theta)\cos( \theta)+\cos( n \theta)\sin( \theta) pour obtenir \lim\cos( n \theta)=0 : contradiction en reportant dans \cos( 2n \theta)=2\cos^2( n \theta)-1.

Posté par Profil Ramanujanre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 22:41

Pourquoi vous parlez de valeurs d'adhérences ? C'est quoi le rapport avec l'exercice ?
Pourquoi une valeur absolue ?

Je ne comprends toujours rien. Je suis resté au \cos (2 n \theta)=\cos^2( n \theta)- \sin^2( n \theta) et à partir de là je ne comprends plus ce qu'il faut faire.

Posté par AitOuglifre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 22:42

carpediem, tu poses comme prérequis l'infinitude des valeurs d'adhérence de \cos (n\theta)? Pas sûr que ce soit connu de Ramanujan…

Posté par AitOuglifre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 22:43

Ce que je disais carpediem….il vient de confirmer…

Posté par
carpediemre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 23:32

AitOuglif : dans son profil Ramanujan est professeur ... et ne connait pas la notion de valeur d'adhérence d'une suite

ou encore : Limite de suite à partir d'une inégalité

AitOuglif @ 13-09-2023 à 22:42

carpediem, tu poses comme prérequis l'infinitude des valeurs d'adhérence de \cos (n\theta)? Pas sûr que ce soit connu de Ramanujan…
je n'ai pas dit ça !! (voir à 22h14)

Posté par
carpediemre : Deux suites qui n'ont pas de limite 13-09-23 à 23:36

Ramanujan @ 13-09-2023 à 22:41

Pourquoi vous parlez de valeurs d'adhérences ? C'est quoi le rapport avec l'exercice ?
Pourquoi une valeur absolue ? ben parce que x^2 = (-x)^2 et que pour tout réel x \sqrt {x^2} = |x| ((une des) définition(s) de la valeur absolue)

Je ne comprends toujours rien. ben peut-être arrêter de poster wouatmille exo et travailler les corrigés des précédents !!! (que tu n'as pas su faire déjà)

Je suis resté au \cos (2 n \theta)=\cos^2( n \theta)- \sin^2( n \theta) et à partir de là je ne comprends plus ce qu'il faut faire.

Posté par Profil Ramanujanre : Deux suites qui n'ont pas de limite 14-09-23 à 00:17

Carpediem
Je connais la notion de valeur d'adhérence mais je ne vois pas le rapport avec l'exercice. Pareil pour les valeurs absolues, évidemment que je connais mais je ne vois pas le rapport avec l'exercice.
D'ailleurs Jandri n'a pas utilisé la notion de valeur d'adhérence dans sa solution. Il n'a pas non plus utilisé de valeur absolue.

Jandri
Merci beaucoup, on ne peut pas faire plus clair

Cet exercice semble être un exercice à astuce...

Posté par
lionel52re : Deux suites qui n'ont pas de limite 14-09-23 à 00:30

L'astuce, c'était le fait d'utiliser cos((n+1)theta)

Ensuite le reste est simple pour quelqu'un qui se revendique fort en calcul, ou alors je confonds avec Oshine

Depuis que tu es redevenu Ramanujan, tu as repris le niveau de Ramanujan (pas le vrai hein ! ), c'est à dire ton niveau d'avant CAPES, hallucinant comme tu as tout perdu aussi rapidement !

Posté par Profil Ramanujanre : Deux suites qui n'ont pas de limite 14-09-23 à 01:22

J'ai perdu en analyse car j'ai fait beaucoup trop d'arithmétique, d'algèbre et de théorie des groupes en finissant sur les actions de groupes où j'ai fait une pause, le niveau est trop relevé.
Ca fait plus de 6 mois que je n'ai pas travaillé réellement l'analyse.

L'exercice est classé difficile sur la fiche de Christophe Bertault . 3 étoiles de difficulté sur 3.
La difficulté ce n'est pas les calculs c'est de deviner les formules à utiliser.

Je vais donner une autre solution, qui me paraissait plus facile.
On a :
\cos( (n+1) \theta) = \cos ( n \theta) \cos( \theta) - \sin (n \theta) \sin ( \theta)
\sin( (n+1) \theta) = \cos ( n \theta) \sin( \theta) +\sin (n \theta) \cos ( \theta)

Le choix de \theta donne \sin ( \theta) \ne 0 donc :
\boxed{\begin{cases}  \sin (n \theta)= \dfrac{ \cos (n \theta) \cos (\theta)- \cos ((n+1) \theta)}{\sin ( \theta)} \\ \cos (n \theta)= \dfrac{ \sin ((n+1) \theta) - \sin (n \theta) \cos (\theta) }{\sin ( \theta)} \end{cases}}

On en déduit que la suite ( \cos (n \theta) ) converge si et seulement si la suite ( \sin (n \theta)) converge.

Supposons donc que l'une de ces suites converge. Elles convergent alors toutes les 2.
Soit \cos (n \theta) \longrightarrow a et \sin (n \theta) \longrightarrow b.

En passant à la limite on trouve :
{\begin{cases}  a=a \cos (\theta)-b \sin( \theta) \\ b=a \sin (\theta)+ b \cos (\theta) \end{cases}

Ce qui donne :
{\begin{cases}  (1- \cos (\theta) )a+ \sin( \theta)b=0 \\  \sin (\theta) a+ ( \cos (\theta)-1) b=0 \end{cases}

Le déterminant du système vaut 2 ( \cos (\theta)-1) \ne 0 c'est donc un système de Cramer qui possède une unique solution qui est a=b=0.

La relation \cos^2( n \theta)+ \sin^2(  n \theta)=1 donne par passage à la limite 0=1. Ce qui termine la preuve.


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