Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Deux types de différentiabilité

Posté par
Thomasdxb 17-06-22 à 07:22

Bonjour,

J'essaie de bien saisir la distinction entre "être $\mathbb{R}$ -différentiable" et "être $\mathbb{C}$ -différentiable".

Soit donc f une fonction de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ .
Dire que f est $\mathbb{C}$ -différentiable signifie que pour tout $z_0\in \mathbb{C}$ , $lim_{h\to 0} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=f'(z_0)$ .

Mais que signifie "être $\mathbb{R}$ -différentiable" dans le cas d'une fonction $f : \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ ?

Je vous remercie d'avance pour vos explications.

Posté par re : Deux types de différentiabilité 17-06-22 à 10:17

Bonjour,
une fonction de $\C$ dans $\C$ peut-être considéré comme une application du $\R$ espace vectoriel $\R^2$ dans lui même.

Une telle fonction est différentiable en un point a si il existe une application linéaire $D_a$ de $\R^2$ dans lui même telle que
$f(a+h)=f(a)+D_a(h)+\lVert h\rVert\epsilon(h)$ avec $\lim_{h\to0}\epsilon(h)=0$

Pour donner un exemple la fonction $f\ :\ z\mapsto\bar z$ n'est pas $\C$ -différentiable en zéro, mais elle est $\R$ -différentiable en zéro car c'est une application linéaire de $\R^2$ dans lui même.

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