Niveau Maths sup

Développement

Posté par
Ramanujan 26-02-19 à 02:21

Bonsoir,

Dans un corrigé, l'auteur donne une 2ème technique pour résoudre :

$(1+iz)^5 =(1-iz)^5$

Voici le corrigé (la méthode 1 étant assez rapide avec les racines 5ième de l'unité)

Méthode 2 : en développant et en réduisant, l'équation équivaut à :

$z(5-10z^2+z^4)=0$

Est-ce normal d'utiliser une méthode aussi calculatoire et lourde en calcul ? J'ai essayé les calculs mais je me suis perdu trop compliqué.

Posté par re : Développement 26-02-19 à 04:15

Bonsoir

En appliquant directement le binôme de newton, il n'y a pas de trop gros calculs, il suffit de les mener proprement et d'avoir en tête ce qu'on veut obtenir à la fin

$1 + 5iz + 10(iz)^2 + 10(iz)^3 + 5(iz)^4 + (iz)^5 \quad=\quad 1 - 5iz + 10(iz)^2 - 10(iz)^3 + 5(iz)^4 - (iz)^5$

$1 + 5iz + 10i^2z^2 + 10i^3z^3 + 5i^4z^4 + i^5z^5 \quad=\quad 1 - 5iz + 10i^2z^2 - 10i^3z^3 + 5i^4z^4 - i^5z^5$

$1 + 5iz -10z^2 - 10iz^3 + 5z^4 + iz^5 \quad=\quad 1 - 5iz -10z^2 + 10iz^3 + 5z^4 - iz^5$

$10iz - 20iz^3 + 2iz^5 = 0$

puis en divisant par 2i

$z(5 - 10z^2 + z^4) = 0$

une équation bicarrée est bien plus simple à résoudre qu'une équation du cinquième degré

Posté par re : Développement 26-02-19 à 08:51

bonjour

c'est surtout qu'avec la première méthode, puis celle-ci, cela te permet d'avoir l'écriture algébrique des racines 5eme de l'unité ... et donc les valeur exactes de cosinus et sinus de 2pi/5

Posté par re : Développement 26-02-19 à 12:44

Merci Zormuche, j'avais pas pensé à utiliser le binôme de Newton

Posté par re : Développement 26-02-19 à 12:50

Matheux, ici dans l'exo la suite était de calculer :

$\tan( \dfrac{\pi}{5})$

Dans la première méthode on sait que les racines seront : $z=\tan(\dfrac{k \pi}{5})$ avec $k \in [|0,4|]$

Et cette dernière méthode nous donner les formes algébriques.

En encadrant bien : $0 \leq \dfrac{\pi}{5} \leq \dfrac{\pi}{4}$

La fonction tangente étant strictement croissante sur $]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[$ , on en déduit que :

$0 \leq \tan(\dfrac{\pi}{5}) \leq 1$

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