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Posté par
boninmire : Contraire proposition 18-10-18 à 21:10

Simplifier, non.
Par contre, il serait important que tu sois capable d'énoncer la première proposition et son contraire au moyen d'une phrase pour chacune.

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 18-10-18 à 21:20

Je suis de nouveau bloqué sur une question.
Partie D : développement dyadique illimité.

On appelle suite dyadique toute suite (a_k)_{k \in \N^*} avec a_k \in \{0,1\}. Une suite dyadique est dite impropre s'il existe un entier m \in \N^* tel que pour tout k \geq m : a_k =1
Une suite dyadique est dite propre si elle n'est pas impropre.

1/ Démontrer que la série de terme général a_k 2^{-k} est convergente. On note s(a) sa somme.
Réussi.

2/ Soit N un entier naturel. Que vaut : \sum_{k=N}^{+\infty} 2^{-k}
J'ai trouvé : 2^{1-N}

3/ Vérifier que s(a) \in [0,1]
Réussi.

4/ Montrer que si a est une suite dyadique impropre alors s(a) \in [0,1[

Je n'arrive pas à faire la question 4

Posté par Profil Ramanujanre : Contraire proposition 18-10-18 à 21:22

Le contraire en français :

Pour tout entier non nul m,   il existe un entier non nul supérieur à m tel que a_k est différent de 1

*** message déplacé ***

Posté par
lafol Moderateurre : Changement d'indice somme 18-10-18 à 22:08

Bonsoir
l'erreur est avant ça ! la toute première égalité est déjà fausse, avant de parler de changement d'indice (et le changement d'indice décroissant, quand on va jusqu'à l'infini, c'est à éviter ....)

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Changement d'indice somme 18-10-18 à 22:18

Ah ok merci

*** message déplacé ***

Posté par
luzakre : Développement dyadique 19-10-18 à 05:04

Il suffit de montrer que 1 ne peut avoir une suite dyadique impropre.

Posté par
verdurinre : Développement dyadique 19-10-18 à 10:23

Bonjour,
pour compléter la remarque de luzak on peut calculer \sum_{k=1}^{\infty}2^{-k} qui correspond à la suite impropre définie par \forall k\in\N^*\ a_k=1

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 19-10-18 à 14:02

Finalement j'ai réussi !

Une suite dyadique propre est une suite qui vérifie : \forall m \in \mathbb{N^*} , \exists k \geq m \ , a_k =0

On fixe m=1 comme a est propre alors il existe un N \geq 1 tel que a_N=0

On a montré  précédemment que pour toute suite dyadique s(a) \leq 1

Introduisons une suite dyadique a' telle que : \forall k \ne N  \ , a'_k = a_k et a'_N = 1

On a alors : s(a') = s(a) + a'_N 2^{-N} = s(a) + 2^{-N}

D'où : s(a) = s(a') - 2^{-N} \leq 1 - 2^{-N} < 1

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 19-10-18 à 22:23

Je suis de nouveau bloqué...

On rappelle que si a=(a_k) est une suite dyadique alors  :

s(a) = \sum_{k=1}^{+\infty} a_k 2^{-k} =s(a_1 ,...., a_n ,....) \in [0,1]

Dans cette partie, soit x \in [0,1[. On lui associe la suite \alpha(x)=(\alpha_k(x))_{k \in \N^*} définie par :

\alpha_k(x) = E(2^k x) - 2E(2^{k-1}x})

Pour tout entier n \in \N^* : u_n(x)= \sum_{k=1}^{n} \alpha_k(x)2^{-k}
Et v_n(x)=u_n(x) + 2^{-n}

1/ Démontrer que la suite \alpha(x)=(\alpha_k(x))_{k \in \N^*} est une suite dyadique.
Réussi en montrant qu'elle prend la valeur 0 ou 1.

2/ Démontrer que les suites (u_n(x)) et (v_n(x)) prennent leur valeur dans [0,1]

On a d'après la propriété en rouge ci-dessus :

u_n(x) = s(\alpha_1(x),....,\alpha_n(x),0,....0)) \in [0,1] j'ai compris tous les termes sont nuls de la somme infinie à partir du rang n+1.

Par contre je comprends pas l'égalité ci-dessous :

v_n(x) = s(\alpha_1(x),....,\alpha_n(x),1,1,,...0)) \in [0,1]

Pourquoi c'est égal à 1 aux rangs n+1 et n+2 ?

Comment on introduit le 2^{-n} dans la suite ?

Posté par
luzakre : Développement dyadique 19-10-18 à 23:19

Tu n'as jamais fait une addition avec retenue ?

Si u_n=\sum_{1\leqslant k\leqslant n}a_k2^{-k} et que tu ajoutes 2^{-n il y a deux cas :
a_n=0 et alors u_n=\sum_{1\leqslant k\leqslant n-1}a_k2^{-k},\;v_n=\sum_{1\leqslant k\leqslant n}a_k2^{-k}+2^{-n} et la suite associée consiste à mettre un 1 en dernière position à la place du 0.
a_n=1 et dans ce cas il y aura "retenue" : si le dernier coefficient nul est a_p, dans v_n on aura le coefficient 1 en position p et le coefficient 0 à partir de la  position p+1.

Essaie d'ajouter 10^{-5} à 0.40994 et à 0.40999 en base dix.

Ceci dit, je ne vois pas pourquoi tu poses cette question  : tout ce qu'on te demande c'est de montrer que les suites sont adjacentes !
Vues les positions de u_n,\;v_n tu dois donc établir la croissance de n\mapsto u_n la décroissance de n\mapsto v_n.

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 20-10-18 à 01:40

J'ai pas compris votre raisonnement avec la retenue mais il fallait montrer que u_n \in D_2 \cap [0,1]

J'ai réussi d'une autre manière :

v_n (x) = u_n (x) + 2^{-n}

Or : 2^{-n}= \sum_{k=n+1}^{+ \infty} 2^{-k}

Donc : v_n(x)= \sum_{k=1}^{n} \alpha_k (x)2^{-k} +  \sum_{k=n+1}^{+ \infty} 1 \times 2^{-k}

On trouve bien la suite voulue :

v_n (x) = ((\alpha_1 ,...,\alpha_n , 1 ,1,...,1)) \in [0,1] d'après X.3

Par contre après, ça se corse, le niveau monte et je comprends pas le principe de l'algorithme.

On a montré  (j'ai bien souffert pour résoudre cette question) que tout nombre réel x dans l'intervalle [0,1[ admet une unique suite dyadique propre (a_k) telle que :

x = \sum_{k=1}^{+ \infty} a_k 2^{-k}

On note alors : x=\bar{0,a_1 a_2 a_3 ...}

Si d=(d_n) est une suite dyadique dyadique propre  on note x=s(d) et d' = (d_{n+1})
Justifier que d_1 = E(2x) et s(d')=2x -d_1

J'ai réussi à le démontrer.

Ecrire un algorithme qui prend en entrées un nombre réel x  \in [0,1[ et un entier n non nul et qui renvoie la liste des n premiers chiffres du développement dyadique propre de x.
Mais je comprends pas la signification du s(d') et à quoi il sert  

Pour avoir d_1 on fait E(2x)

Pour avoir d_2 on fait comment ?

Posté par
luzakre : Développement dyadique 20-10-18 à 09:42

Tu vas te mettre à réfléchir, oui ?
d_2=d'_1 et comme s(d')=2x-d_1 tu obtiendras d'_1=E(2x-d_1)

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 20-10-18 à 12:27

Merci j'ai compris donc l'algorithme c'est :

Variable
i nombre entier
D liste
x nombre réel

Initialisation
D \longleftarrow \emptyset

Entrée
Saisir la valeur de x dans [0,1[

Début algorithme
Pour i allant de 1 à n
d \longleftarrow floor (2x)
x \longleftarrow 2x-d
D \longleftarrow   concaténation de D et d
Fin pour

Afficher D

Par contre j'arrive pas à faire la question suivante :

Démontrer que D_2 \cap [0,1] est dense dans [0,1] En déduire que D_2 est dense dans \R

On a montré que la suite u_n(x) = \sum_{k=1}^{n} a_k 2^{-k}
On a montré que cette suite est à valeurs dans [0,1] \cap D_2
On a montré que la suite u_n(x) converge vers x

Il existe alors une suite dyadique d'éléments de D_2 \cap [0,1] qui converge vers x \in [0,1[
Ainsi D_2 est dense dans [0,1[.

Mais j'obtiens pas la densité en  [0,1[  fermé en 1 comment faire ?

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 20-10-18 à 13:04

luzak @ 20-10-2018 à 09:42

Tu vas te mettre à réfléchir, oui ?
d_2=d'_1 et comme s(d')=2x-d_1 tu obtiendras d'_1=E(2x-d_1)


En fait j'ai réfléchi pendant 30 min je n'arrive pas à comprendre :

Pour d_2=d'_1 et  s(d')=2x-d_1  je suis d'accord.

Mais comment on arrive à  d'_1=E(2x-d_1) ? Je vois pas comment vous avez fait...

Posté par
lafol Moderateurre : Développement dyadique 20-10-18 à 13:40

Et en une demi heure tu n'as pas réussi à relire le début de l'énoncé ?

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 20-10-18 à 14:14

J'ai tout relu mais je n'arrive toujours pas à comprendre d'où sort le :

d_2 = d_1 ' = E(2x-d_1)  

Posté par
lionel52re : Développement dyadique 20-10-18 à 16:03

Tu sais que dense dans ]0,1[ implique dense dans [0,1]?

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 20-10-18 à 16:09

lionel52 @ 20-10-2018 à 16:03

Tu sais que dense dans ]0,1[ implique dense dans [0,1]?


Non jamais vu ce résultat dans le cours

Posté par
lionel52re : Développement dyadique 20-10-18 à 16:13

Tu sais il ny a pas un résultat dans le cours pour tout...

Si à chaque fois quil y a un truc où tu dois un peu réfléchir tombe sur toi tu te braques et tu dis "ah pas vu dans le cours" bah on ira pas loin.

Essaie de voir par toi meme pourquoi cest le cas...

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 20-10-18 à 16:30

Ok je vais essayer de le démontre en partant de la définition :

A est dense dans  [0,1[  alors : \forall x,y \in [0,1[ , \exists a \in A : x < a < y

Soient (x,y) \in [0,1[^2 alors \exists a \in A : x < a < y

Soient (x',y') \in [0,1]^2 donc : x'=x et y' \geq y

On a donc : \exists a \in A : x' < a < y  \leq y'

Finalement : \exists a \in A : x' < a <  y'

D'où le résultat ! Si A est dense dans [0,1[ alors A est dense dans [0,1]

Pourriez vous m'aider pour d_2 = d_1 ' = E(2x-d_1)  je n'ai pas réussi à comprendre depuis hier soir

Après je finirai la question sur la densité.

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 20-10-18 à 16:40

Quelle est l'utilité de préciser 1 \in D_2 pour la densité de D_2 \cap [0,1] dans [0,1] ?

Posté par
luzakre : Développement dyadique 20-10-18 à 16:54

Citation :

Mais comment on arrive à  d'_1=E(2x-d_1) ? Je vois pas comment vous avez fait...

Mais tu as démontré que d_1=E(2s(d)) donc d'_1=E(2s(d'))=E(2(2x-d_1))
Il manquait un 2 mais tu aurais pu le mettre tout seul : c'est ça, réfléchir !

Posté par
luzakre : Développement dyadique 20-10-18 à 17:04

Ramanujan @ 20-10-2018 à 16:40

Quelle est l'utilité de préciser 1 \in D_2 pour la densité de D_2 \cap [0,1] dans [0,1] ?

Tu avais x\in D_2\cap[0,1[ limite d'une suite de D_2 \cap [0,1] .
Si 1\in D_2 c'est la limite d'une suite (constante) de D_2 \cap [0,1] .

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 20-10-18 à 18:27

luzak @ 20-10-2018 à 16:54

Citation :

Mais comment on arrive à  d'_1=E(2x-d_1) ? Je vois pas comment vous avez fait...

Mais tu as démontré que d_1=E(2s(d)) donc d'_1=E(2s(d'))=E(2(2x-d_1))
Il manquait un 2 mais tu aurais pu le mettre tout seul : c'est ça, réfléchir !


Ah ouai bien vu en fait

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 20-10-18 à 18:37

luzak @ 20-10-2018 à 17:04

Ramanujan @ 20-10-2018 à 16:40

Quelle est l'utilité de préciser 1 \in D_2 pour la densité de D_2 \cap [0,1] dans [0,1] ?

Tu avais x\in D_2\cap[0,1[ limite d'une suite de D_2 \cap [0,1] .
Si 1\in D_2 c'est la limite d'une suite (constante) de D_2 \cap [0,1] .


J'ai pas du tout compris ce résultat d'où il sort et à quoi il va nous servir ici ?

D'après ce qu'à dit Lionel comme D_2 \cap [0,1] est dense dans [0,1[ (grâce aux questions précédentes) alors D_2 \cap [0,1] est dense dans [0,1]. On a montré la 1ère partie de la question.

Après il reste à montrer que : D_2 est dense dans \R

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 20-10-18 à 23:13

Comment savez vous que la suite est constante ?

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 21-10-18 à 00:19

J'ai envie d'abandonner je comprends rien à ces questions de densité et je peux plus avancer

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 21-10-18 à 00:51

Je viens de comprendre votre remarque 5 heures après  Luzak

Il existe une suite (a_k) d'éléments de D_2 \cap [0,1] qui converge vers x \in [0,1[

Si on prend la suite constante égale à 1 : 1 \in D_2 \Rightarrow 1 \in D_2 \cap [0,1] et cette suite converge vers x=1

Ainsi : la suite d'éléments de  D_2 \cap [0,1]   converge vers x \in [0,1]

Et D_2 \cap [0,1]   est dense dans [0,1].

Maintenant je dois montrer que D_2 est dense dans \R

D'après la caractérisation d'une partie dense :

Soit \varepsilon >0 Soit x \in D_2 \cap [0,1]

Alors : \exists  y \in [0,1]: |x- y| \leq \varepsilon

Je suis bloqué ici.

Posté par
lionel52re : Développement dyadique 21-10-18 à 00:54

Ptain mais c'est le même raisonnement que depuis le début x = ENTIER + REEL ENTRE 0 ET 1

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 21-10-18 à 01:29

Merci Lionel.

On a montré une dizaine de questions avant que \Z \subset D_2 faudra peut être l'utiliser ici.

Sois x \in \R et soit \varepsilon >0
Je dois montrer qu'il existe un élément d \in D_2 tel que |x-d| \leq \varepsilon

Soit y \in [0,1[ \subset [0,1]
Je peux écrire : x=E(x) + y   où y désigne la partie fractionnaire de x alors 0 \leq y < 1

Mais on a montré que D_2 \cap [0,1] est dense dans [0,1].

Il existe donc un élément d' \in D_2 \cap [0,1] tel que :

|y - d'| \leq  \varepsilon

Par ailleurs : y=x-E(x)

D'où : |x - E(x) - d'| \leq  \varepsilon

Posons :

d = d' + E(x)

On sait que E(x) \in \Z \subset D_2 et d' \in D_2 \cap [0,1] \subset D_2
La somme de 2 éléments de D_2 reste un élément de D_2

Ainsi : Pour tout réel x il existe d \in D_2 tel que |x-d| \leq \varepsilon

On a montré : D_2 est dense dans \R

C'est juste ?

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 21-10-18 à 07:30

J'ai calculé le développement dyadique de 2x pour 2x \in [0,1[ et je trouve :

2x = \sum_{k=1}^{+\nfty} a_{k+1} 2^{-j}

a_1 = E(2x)=0

x=\bar{0,0 a_2 a_3 ...}

Mais dans le corrigé ils mettent :  x=\bar{0, a_2 a_3 ...} sans placer le 0 correspondant à la valeur de a_1

Avez-vous une idée du pourquoi ?

Posté par
lafol Moderateurre : Développement dyadique 21-10-18 à 09:16

C'est quoi ce j dans ta somme ?

Posté par
luzakre : Développement dyadique 21-10-18 à 09:38

Toujours le même défaut !
Tu restes collé à tes sigmas sans réfléchir au fait que la multiplication par 2 c'est juste un déplacement de virgule.
Donc, si x=\bar{0,a_1a_2\dots} alors 2x=\bar{a_1,a_2\dots}.
Comme a_1=0 le corrigé a raison et tu as tort !

Posté par
luzakre : Développement dyadique 21-10-18 à 11:49

Encore une remarque de bon sens :
Tu t'approches de la fin d'une partie (que tu dois évidemment terminer dans ce fil) mais je te conseille, si tu ne veux pas obliger ceux qui t'aident à une gymnastique désagréable d'ouvrir un nouveau fil pour la partie suivante concernant les suites \cos(n\theta).

Ce ne sera pas du multipost  si tu signales correctement qu'il s'agit d'utiliser éventuellement les résultats actuels pour une nouvelle étude sur un sujet différent.
Prends les devants pour ne pas obliger un administrateur.e à faire une recopie de messages pour un nouveau fil.

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 21-10-18 à 14:13

Salut Lafol et Luzak.

J'avais fait une erreur de frappe j'ai fait :

Soit 2x \in [0,1[
Comme a_1 = E(2x)=0

2x = 2 \sum_{k=2}^{+\infty} a_k 2^{-k}= \sum_{k=2}^{+\infty} a_k 2^{1-k}

Posons le changement d'indice : -j = 1-k

Alors : 2x = \sum_{j=1}^{+\infty} a_{1+j} 2^{-j}

Soit : 2x = a_2 2^{-1} + a_3 2^{-3} +...

Ah en gros le coefficient devant 2^{-1} est le premier chiffre après la virgule du développement dyadique ?

Du coup ça donne bien : 2x = \bar {0,a_2 a_3 ...}

Après je dois déterminer le développement dyadique de 2^l x avec l \in \Z et 2^l x \in [0,1[

Je me demande si on doit faire 2 cas : l \geq 0 et l \leq 0 mais je suis pas sûr.

Car j'ai fait : Soit x \in [0, \dfrac{1}{2^l}[

a_1 = E(2x) = 0
a_2 = E(2(2x-d_1))= E(2^2 x - 2d_1)= E(2^2 x ) car d_1 =0
Par récurrence on peut montrer :
Si a_{l-1}=0 comme : 2^l x \in [0,1[
a_l = E(2^l x) =0

Ainsi :

2^l x = 2^l \sum_{k=l+1}^{+\infty} a_k 2^{-k}= \sum_{k=l+1}^{+\infty} a_k 2^{l-k}

Posons le changement d'indice : l-k = -j

On obtient : 2^l x = \sum_{j=1}^{+\infty} a_{j+l} 2^{-j} = a_{l+1}2^{-1} + a_{l+2}2^{-2} + ...

Donc le développement dyadique est :  2^l x = 2x = \bar {0,a_{l+1} a_{l+2} ...}

Mais j'ai un doute si l \leq 0 ça m'a l'air bizarre pourtant j'aurai des indices négatifs quel est votre avis ?

Posté par
luzakre : Développement dyadique 21-10-18 à 15:19

Il n'y a aucun problème si tu écris correctement pour \ell<0 :
x=\sum_{n\geqslant 1}a_k2^{-k} donc 2^{\ell}x=\sum_{k\geqslant 1}a_k2^{-k+\ell}
Par changement d'indice : j=k-\ell c'est aussi  2^{\ell}x=\sum_{j\geqslant 1-\ell}a_{j+\ell}2^{-j et il n'y a aucun indice négatif (la sommation commence à 1-\ell>1 et les coefficients manquants entre 1 et 1-\ell sont nuls)

Encore une fois c'est clair par décalage de virgule :
Si \ell\geqslant0 alors 2^{\ell}x=\bar{0,a_{\ell+1}\dots a_{\ell+k}}
Si \ell<0 alors 2^{\ell}x=\bar{0,0\dots0 a_1\dots a_{k-\ell}} (il y a -\ell chiffres 0 avant a_1).

Remarque : tu as une égalité étrange 2^{\ell}x=2x et inexplicable.

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 21-10-18 à 16:06

Ah bien vu Luzak ça marche nikel

J'ai fait une erreur de frappe le 2x est à effacer.

Pour l <0

2^l x = \sum_{j=1-l}^{+\infty}a_{j+l} 2^{- j}

Avec 1 - l > 1 soit 1-l \geq 2

Par exemple si : l= - 3 alors 1-l = 1+3 = 4

Et 2^l x = \sum_{j=4}^{+\infty}a_{j+l} 2^{- j} = a_1 2^{-4} + a_2 2^{-5} + ...

On a bien le résultat voulu.

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 23-10-18 à 00:32

J'ai fini le sujet non sans mal.

Luzak pourriez-vous me donner votre avis concernant la difficulté du sujet ?

Ayant entendu par ci  par là que les sujets du CAPES étaient faciles, je trouve ce sujet d'un  niveau assez costaud.  Y a des questions assez difficiles et il est très long.

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