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Posté par Profil Ramanujandeveloppements dyadiques 16-10-18 à 21:43

Bonsoir,

On suppose qu'une suite qui vérifie les conditions suivantes existe.
Il existe un unique entier n \geq 1 et une unique suite (a_0,a_1,...,a_n) avec a_0 \in \N et (a_1,...,a_n) \in \{0,1\}^n tels que :

x = \sum_{k=0}^n a_k 2^{-k} avec a_n \ne 0

Montrer que a_0=E(x) puis montrer que la suite (a_0,...,a_n) est déterminée de manière unique.

J'ai démontré l'unicité de a_0 car : a_0 \leq x < a_0 +1

Par récurrence sur p: on veut montrer que \forall p \in [|0,n|] : a_p = a'_p

Initialisation :
a_0 est unique par unicité de la partie entière de x

Hérédité :
Supposons que pour 0 \leq k <p \leq n on  a : a_k =a'_k et montrons que a_p=a'_p

x = \sum_{k=0}^{p-1} a_k 2^{-k} + \sum_{k=p-1}^n a_k 2^{-k}

Là je suis bloqué

*** message déplacé ***

*** message déplacé ***

Posté par
Neex34re : Entier en base deux 16-10-18 à 22:26

Pour montrer a_0 = E(x), majorer bêtement  la somme \sum_{k=1}^{n}_{a_{k}2^{-k}} (en enlevant a_0) devrait suffire

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Entier en base deux 16-10-18 à 22:32

Salut Neex !

Comme n \ne 0

Oui : 0 \leq x - a_0  \leq \sum_{k=1}^{n} (\dfrac{1}{2})^k =\dfrac{1}{2} \dfrac{1-(\dfrac{1}{2}^n)}{ 1-\dfrac{1}{2}}=1-(\dfrac{1}{2}^n) <1

Je bloque sur l'hérédité.

*** message déplacé ***

Posté par
Neex34re : Entier en base deux 16-10-18 à 22:36

Tu y es, c'est dommage de bloquer en étant si près

Si tu as un entier si N=n+r avec n entier et r \in [0,1[ , alors la partie entière de N vaut quoi à ton avis ? (fais un dessin si tu vois pas)

si tu le vois, prouve le avec la définition de la partie entière

*** message déplacé ***

Posté par
Neex34re : Entier en base deux 16-10-18 à 22:37

désolé pour le double post, mais pas besoin de faire une récurrence au passage

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Entier en base deux 16-10-18 à 22:45

J'ai étudié ça quand on a n entier :

E(n+x)=n + E(x)

Mais je vois pas comment l'utiliser ici :

x = \sum_{k=0}^{p-1} a_k 2^{-k} + \sum_{k=p-1}^n a_k 2^{-k}

*** message déplacé ***

Posté par
Neex34re : Entier en base deux 16-10-18 à 22:49

Certes, mais x \in [0,1[ , ne me dis pas que tu ne peux prévoir sa partie entière !

Et ensuite, ce sera à utiliser avec a_0, et le reste de la somme

*** message déplacé ***

Posté par
verdurinre : Entier en base deux 16-10-18 à 22:50

Bonsoir Ramanujan .

Ramanujan @ 16-10-2018 à 21:43

Bonsoir,

On suppose qu'une suite qui vérifie les conditions suivantes existe.
Il existe un unique entier n \geq 1 et une unique suite (a_0,a_1,...,a_n) avec a_0 \in \N et (a_1,...,a_n) \in \{0,1\}^n tels que :

x = \sum_{k=0}^n a_k 2^{-k} avec a_n \ne 0

Montrer que a_0=E(x) puis montrer que la suite (a_0,...,a_n) est déterminée de manière unique.

[ . . . ]

Si la suite est unique par hypothèse, on peut conclure de l'hypothèse qu'elle est unique.

Essaye de réécrire l'énoncé correctement, c'est un bon exercice.

Et souvient toi que l'on peut faire des démonstrations sans utiliser la récurrence.

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Entier en base deux 16-10-18 à 22:59

Verdurin j'ai fait une erreur d'énoncé il faut montrer l'unicité de la suite.

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Entier en base deux 16-10-18 à 23:00

Neex34 @ 16-10-2018 à 22:49

Certes, mais x \in [0,1[ , ne me dis pas que tu ne peux prévoir sa partie entière !

Et ensuite, ce sera à utiliser avec a_0, et le reste de la somme


Bah si 0 !

Mais je vois pas par où commencer

*** message déplacé ***

Posté par
lafol Moderateurre : Entier en base deux 16-10-18 à 23:03

Bonjour
tu pourrais commencer par recopier un énoncé sans erreur et complet
je ne peux pas croire que x ne soit jamais défini, dans cet énoncé

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Entier en base deux 16-10-18 à 23:08

Mon x est défini à la page 2 et mon énoncé est complet.

*** message déplacé ***

Posté par
Neex34re : Entier en base deux 16-10-18 à 23:10

Je me suis embrouillé moi aussi d'ailleurs, je voulais dire r ou lieu de x.

Bref, maintenant tu sais que x s'écrit a0 + un truc <1 (ce que tu as montré tout à l'heure)

et donc ?

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Entier en base deux 16-10-18 à 23:11

On suppose qu'une suite qui vérifie les conditions suivantes existe.
Soit n \geq 1
Il existe une  suite (a_0,a_1,...,a_n) avec a_0 \in \N et (a_1,...,a_n) \in \{0,1\}^n tels que :

x = \sum_{k=0}^n a_k 2^{-k} avec a_n \ne 0

Montrer que a_0=E(x) puis montrer que la suite (a_0,...,a_n) est déterminée de manière unique.

*** message déplacé ***

Posté par
lafol Moderateurre : Entier en base deux 16-10-18 à 23:16

et où x a-t-il été défini ?

*** message déplacé ***

Posté par
luzakre : Entier en base deux 16-10-18 à 23:16

Donc tu n'as rien compris avec les questions précédentes.
Tu écris les deux formules pour x, l'une avec les a_k, l'autre avec les a'_k.
Tu soustrais la partie commune connue, tu obtiens deux représentations pour y2^p et tu retrouves l'égalité a_p=a'_p pour la partie entière de y2^p.

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Entier en base deux 16-10-18 à 23:17

Bah E(x)=a_0

Mais je vois pas comment l'utiliser.

*** message déplacé ***

Posté par
luzakre : Entier en base deux 16-10-18 à 23:22

Citation :
Là je suis bloqué

Donc tu n'as rien compris avec ce que tu as fait pour les entiers !

y=x-\sum_{0\leqslant k<p}a_k2^{-k} s'écrira : y=\sum_{p-1\leqslant k\leqslant n}a_k2^{-k}=\sum_{p-1\leqslant k\leqslant n}a'_k2^{-k}.
Donc tu as deux représentations pour y2^p et a_p=a'_p=E(y2^p).

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Entier en base deux 16-10-18 à 23:25

J'en reviens à ma récurrence : hérédité

x = \sum_{k=0}^{p-1} a_k 2^{-k}+ \sum_{k=p}^{n} a_k 2^{-k}= \sum_{k=0}^{p-1} a'_k 2^{-k}+ \sum_{k=p}^{n} a'_k 2^{-k}

D'après l'hypothèse de récurrence les a_k sont uniques pour k \in [|0,p-1|] donc :

\sum_{k=p}^{n} a_k 2^{-k} = \sum_{k=p}^{n} a'_k 2^{-k}

Soit :

2^{-p} \sum_{k=p}^{n} a_k 2^{p-k} = 2^{-p} \sum_{k=p}^{n} a'_k 2^{p-k}

D'où :

\sum_{k=p}^{n} a_k 2^{p-k} =\sum_{k=p}^{n} a'_k 2^{p-k}

Soit :

a_p + \sum_{k=p+1}^{n} a_k 2^{p-k} = a'_p +  \sum_{k=p+1}^{n} a'_k 2^{p-k}

Je vois pas où utiliser la partie entière

*** message déplacé ***

Posté par
lafol Moderateurre : Entier en base deux 16-10-18 à 23:27

si vraiment tu ne vois pas les évidences, fais les changements d'indice pour avoir des 2 puissance un seul nombre ....

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Entier en base deux 16-10-18 à 23:34

@Lafol

Je comprends pas votre indication, j'ai déjà la même puissance dans les 2 sommes.

J'arrive à : a_p + \sum_{k=p+1}^{n} a_k 2^{p-k} = a'_p +  \sum_{k=p+1}^{n} a'_k 2^{p-k}

Où intervient la partie entière ici ?

*** message déplacé ***

Posté par
luzakre : Entier en base deux 16-10-18 à 23:45

Et comment as-tu fait pour a_0=a'_0 ?

L'indication de lafol (bonne nuit !) consiste à écrire a_p + \sum_{k=p+1}^{n} a_k 2^{p-k} =a_p+ \sum_{r=1}^{n-p} a_{p+r} 2^{-r}

Et si tu ne vois toujours pas, tu poses b_r=a_{p+r} et tu retrouveras y=b_0+\sum_{1\leqslant r\leqslant n-p}b_r2^{-r}

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Entier en base deux 16-10-18 à 23:47

luzak @ 16-10-2018 à 23:22

Citation :
Là je suis bloqué

Donc tu n'as rien compris avec ce que tu as fait pour les entiers !

y=x-\sum_{0\leqslant k<p}a_k2^{-k} s'écrira : y=\sum_{p-1\leqslant k\leqslant n}a_k2^{-k}=\sum_{p-1\leqslant k\leqslant n}a'_k2^{-k}.
Donc tu as deux représentations pour y2^p et a_p=a'_p=E(y2^p).


Y a pas une erreur de calcul ? C'est pas plutôt ?

y=x-\sum_{0\leqslant k<p}a_k2^{-k} = \sum_{p\leqslant k\leqslant n}a_k2^{-k}=\sum_{p\leqslant k\leqslant n}a'_k2^{-k}

Après ça donne :

E(y 2^p) = a_p + E( \sum_{p\leqslant k\leqslant n}a_k2^{-p-k}) =  a'_p + E( \sum_{p\leqslant k\leqslant n}a'_k2^{-p-k})

Et là je dois montrer que : \sum_{p\leqslant k\leqslant n}a_k2^{-p-k} < 1 ?

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Entier en base deux 16-10-18 à 23:49

luzak @ 16-10-2018 à 23:22

Citation :
Là je suis bloqué

Donc tu n'as rien compris avec ce que tu as fait pour les entiers !

y=x-\sum_{0\leqslant k<p}a_k2^{-k} s'écrira : y=\sum_{p-1\leqslant k\leqslant n}a_k2^{-k}=\sum_{p-1\leqslant k\leqslant n}a'_k2^{-k}.
Donc tu as deux représentations pour y2^p et a_p=a'_p=E(y2^p).


Y a pas une erreur de calcul ? C'est pas plutôt ?

y=x-\sum_{0\leqslant k<p}a_k2^{-k} = \sum_{p\leqslant k\leqslant n}a_k2^{-k}=\sum_{p\leqslant k\leqslant n}a'_k2^{-k}

Après ça donne :

E(y 2^p) = a_p + E( \sum_{p\leqslant k\leqslant n}a_k2^{-p-k}) =  a'_p + E( \sum_{p\leqslant k\leqslant n}a'_k2^{-p-k})

Et là je dois montrer que : \sum_{p\leqslant k\leqslant n}a_k2^{-p-k} < 1 ?



luzak @ 16-10-2018 à 23:45

Et comment as-tu fait pour a_0=a'_0 ?

L'indication de lafol (bonne nuit !) consiste à écrire a_p + \sum_{k=p+1}^{n} a_k 2^{p-k} =a_p+ \sum_{r=1}^{n-p} a_{p+r} 2^{-r}

Et si tu ne vois toujours pas, tu poses b_r=a_{p+r} et tu retrouveras y=b_0+\sum_{1\leqslant r\leqslant n-p}b_r2^{-r}


Ah d'accord je vois

J'ai fait pour a_0
0 \leq x - a_0  \leq \sum_{k=1}^{n} (\dfrac{1}{2})^k =\dfrac{1}{2} \dfrac{1-(\dfrac{1}{2}^n)}{ 1-\dfrac{1}{2}}=1-(\dfrac{1}{2}^n) <1

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Entier en base deux 17-10-18 à 00:10

Luzak en fait y a aucun calcul ! J'ai compris

On a déjà montré que : x-a_0 = \sum_{k=1}^{n} a_k 2^{-k}<1

Alors forcément : \sum_{k=p+1}^{n} a_k 2^{p-k} <1 car cette somme est plus petite ou égal à x-a_0 pour p  variant de 0 à n.

Donc : E(\sum_{k=p+1}^{n} a_k 2^{p-k})=1

*** message déplacé ***

Posté par
luzakre : Entier en base deux 17-10-18 à 08:32

Tu aurais pu te rendre compte plus tôt que si on écrit \pi=3.141592\cdots on a 3=E(\pi),\;1=E(10(\pi-3)),\;\cdots,\;9=E(10^5(\pi-3.1415)) et que cela se produit pour toutes les bases.

..............................
Remarque importante.
Il est clair, depuis ton post du 16/10 21:43, que tes questions ne concernent plus le thème "Entier en base 2" et que tu aurais dû ouvrir un autre fil.
Il n'est pas trop tard et, avec l'accord d'un administrateur, tu devrais ouvrir un nouveau sujet, disons "Développement dyadique" en demandant de reporter les messages déjà faits ou ajouter un lien.
Tu es en train de nous faire expliquer et détailler un "énoncé-corrigé" de 17 pages et le sujet actuel est celui de la page 8.

Si tu continues sur le même fil tu auras de plus en plus de mal à avoir de l'aide. Pour ma part, je vais me "déconnecter" du fil "Entiers en base 2" que je considère comme terminé !

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Entier en base deux 17-10-18 à 10:37

@Luzak

J'avais ouvert un autre post sur "nombre dyadiques" mais j'ai été sanctionné et le sujet a été déplacé ici. Pas envie d'être banni 10 jours

En plus je suis bloqué sur une question dans la partie "nombre dyadiques" je suis resté 2h dessus et j'arrive pas à trouver le bon truc.

Je détaille pas un corrigé ! Par exemple la question sur la récurrence j'ai suivi votre indication, j'ai pas du tout suivi le corrigé !

D'ailleurs je trouve certaines réponses incomplètes.

*** message déplacé ***

Niveau Maths sup
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Développement dyadique

Posté par Profil Ramanujan 17-10-18 à 11:11

Bonjour,

Les modérateurs, pourriez-vous ne pas déplacer ce sujet SVP ? En effet, les personnes du forum m'ont conseillé d'ouvrir un nouveau post sur les nombres dyadiques afin que ce soit plus clair. Vous pouvez reporter les messages du post "entier en base deux" en rapport avec les nombres dyadiques ici. Merci.

L'ensemble D_2 = \{\dfrac{a}{2^p} , a \in \Z, p \in \N \} est appelé ensemble des nombres dyadiques. On note D_2^+ l'ensemble des nombres dyadiques positifs ou nuls.

Soit x \in D_2^+ -\{  \N \} On se propose de démontrer qu'il existe un unique entier n \geq 1 et une unique suite (a_0,a_1,...,a_n) avec a_0 \in \N et (a_1,...,a_n) \in \{0,1\}^n tels que :

x = \sum_{k=0}^n a_k 2^{-k} avec a_n \ne 0

On rappelle que tout entier N \geq 2 s'écrit de manière unique :

N=\sum_{k=0}^{n-1} d_k 2^k avec n \geq 2 et \forall k \in [|0,n-2|] : d_k \in [|0,1|] et d_{n-1}=1

1/ On suppose qu'une telle suite existe. Montrer que a_0=E(x) puis montrer que la suite (a_0,...,a_n) est déterminée de manière unique.
Traité.

2/ On souhaite à présent montrer l'existence d'une telle suite. A l'aide du résultat ci-dessous montrer l'existence d'un entier a_0, d'un entier p \geq 1 et d'une suite de nombres entiers d_0,...,d_{p-1} égaux à 0 ou 1 non tous nuls tels que :

x = a_0 + \sum_{k=0}^{p-1} d_k 2^{k-p}

3/ Conclure.

Pour la question 2 et surtout la 3, j'éprouve des difficultés.

Soit x \in  D_2^+ -\{  \N \} alors il existe a \in \N et p \in \N tel que : x= \dfrac{a}{2^p}
Mais p \ne 0 sinon on aurait : x \in \N contradiction.

Donc il existe un couple (a,p) \in \N \times \N^* tel que : a = x 2^p \in \N

Et là pour utilisé le résultat avec a=N je bloque car j'ai pas forcément a \geq 2 ...

Posté par
luzakre : Entier en base deux 17-10-18 à 11:24

J'ai fait un signalement à la modération : on verra ce qu'ils décident !

Je ne te reproche pas de "détailler le corrigé" ! Si les idées que nous apportons te semblent plus simples, pourquoi pas ?

En attendant on va continuer sur ce fil ! Quel est le truc qui te bloque deux heures ?

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Développement dyadique 17-10-18 à 11:57

bon pas évident à faire quand on doit transférer, et que c'était sur plusieurs pages au départ...
l'auteur ne semble pas connaître la concision....

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 17-10-18 à 12:29

Merci Malou !

Ici on a : p \geq 1 et a=x 2^p et pour utiliser l'existence et l'unicité de l'écriture en base 2, il faut selon le théorème N=a \geq 2

Du coup je vois pas comment faire car a peut valoir 0 ou 1

Posté par
luzakre : Développement dyadique 17-10-18 à 12:39

Citation :

Et là pour utilisé(sic) le résultat avec a=N je bloque car j'ai pas forcément a \geq 2 ...

Le résultat pour N\geqslant2 rappelle une condition suffisante !
Tu ne peux pas, tout seul, penser à écrire

1=\sum_{0\leqslant k\leqslant0}d_02^0 avec d_0=1 ?

et 0=\sum_{0\leqslant k\leqslant0}d_02^0 avec d_0=0  ?
C'est vrai que dans le dernier cas on n'a pas d_{n-1}=1...

Posté par
luzakre : Développement dyadique 17-10-18 à 12:56

De toute façon, si a=0 tu as une valeur de x interdite !

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 17-10-18 à 12:59

D'accord merci

Du coup soit p \geq 1 on a :

  a = x 2^p  \sum_{k=0}^{n-1} d_k 2^k

Soit :   x=  \sum_{k=0}^{n-1} d_k 2^{k-p}

Là je suis bloqué je vois pas le lien entre le n-1 qu'on a ici et le p-1 demandé.  On sait même pas si p est plus petit ou plus grand que n...

Posté par
lionel52re : Développement dyadique 17-10-18 à 14:40

Tu te compliques trop la vie c'est fou ! Un peu de hauteur sur les choses ça serait bien !
Arrête d'utiliser trop le symbole sigma ça te fait perdre de vue ton objectif

Dans l'écriture
x = a_0 + \sum_{k=0}^{p-1} d_k 2^{k-p}  = a_0 + d_0 2^{-p} + d_1 2^{-p + 1} + ... + d_{p-1} 2^{-1}

tu vois bien que tu as un entier (a_0) + somme d'uniquement des puissances de 2 négatives. Tu veux obtenir ça.


Dans la somme x=  \sum_{k=0}^{n-1} d'_k 2^{k-p}  = d'_0 2^{-p} + ... + d'_{n-1} 2^{n-1-p} tu as des puissances de 2 négatives mais oui peut être positives aussi (ça dépend si n >= p ou pas)

Mais les termes où la puissance est positive, ce sont les entiers qui rentrent dans le a_0

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 17-10-18 à 15:10

Salut Lionel, vous avez raison on voit mieux sous la forme que vous avez écrite ! Je viens de comprendre

Donc je traite le cas n-1 < p puis je traiterai le cas n-1 \geq p

1er cas :
Si n-1 <p alors n-1 \leq p-1

On a alors : x = \sum_{k=0}^{p-1}d_k 2^{k-p}

On a alors :  a_0 =0 \in \N  et d_n = d_{n+1} =...= d_{p-1} = 0

2ème cas :
Si n-1 \geq p

Alors : x = \sum_{k=0}^{p-1}d_k 2^{k-p}+ \sum_{k=p}^{n-1}d_k 2^{k-p}

Pour la somme de droite, comme : k-p \geq 0 alors on peut poser :

a_0 =  \sum_{k=p}^{n-1}d_k 2^{k-p} \in \N

D'où : x = a_0 + \sum_{k=0}^{p-1}d_k 2^{k-p}

Maintenant démontrons que les d_0,...,d_{p-1} ne sont pas tous nuls.

Supposons par l'absurde que : d_0=...=d_{p-1}=0

Alors : x=a_0 \in \N ce qui est contradictoire avec x \in D_2^+  -\{\N \}

C'est OK ?

Par contre la question 3 hier j'ai passé 3 heures à faire des changements d'indice etc j'ai pas réussi, je me suis perdu dans des calculs.

J'ai pas réussi à montrer que : x= \sum_{k=0}^{n}a_k 2^{-k} avec a_n \ne 0  et (a_1,...,a_n) \in \{0,1\}^n

Posté par
lionel52re : Développement dyadique 17-10-18 à 15:22

Pour la question 3, encore une fois si tu es perdu, tu te débarrasses du symbole somme.

Tu as écrit x = a_0 + \sum_{k=0}^{p-1} d_k 2^{k-p}  = a_0 + d_0 2^{-p} + d_1 2^{-p + 1} + ... + d_{p-1} 2^{-1}

Ben c'est exactement ce qu'il faut

x = a_0 2^0 + d_{p-1} 2^{-1} + ... + d_{0} 2^{-p} c'est un truc de la forme \sum_{k = 0}^n a_k 2^{-k} avec a_0 \in \mathbb{N} et les a_i \in \{0,1\}


Beaucoup plus clair qu'un changement d'indice abstrait et qui encore une fois t'empêche complètement de prendre de la hauteur et de faire le lien entre ce que tu as et ce que tu veux obtenir

Posté par
lionel52re : Développement dyadique 17-10-18 à 15:25

Et si a_n = 0 dans l'égalité précédente, pas de panique, y a au moins un des termes a_i, i \geq 1 qui est non nul sinon x est entier.

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 17-10-18 à 19:17

J'ai compris ici merci Lionel

x  = a_0 + d_0 2^{-p} + d_1 2^{-p + 1} + ... + d_{p-1} 2^{-1} =  a_0 2^0 + d_{p-1} 2^{-1} + ... + d_{0} 2^{-p}

Du coup on choisira : a_1 = d_{p-1} , a_2 = d_{p-2} ...

Comme \forall k \in [|1,p|] : d_{p-k}=a_k on prend n tel que :

n = \max \{ k \in [[1,p|] : d_{p-k} \ne 0 \}

Ma formule pour n est juste ?

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 17-10-18 à 19:28

Dans le corrigé officiel il est écrit : "soit n le plus grand entier inférieur ou égal à p-1 tel que d_n =1"

Je trouve ça faux c'est le plus petit k car d_{p-k}=a_k donc si on veut le plus grand a_k non nul faut le plus petit indice dans d_{p-k} ...

Posté par
lafol Moderateurre : Développement dyadique 17-10-18 à 21:12

comment une définition peut-elle être fausse ILs appellent bien n ce qu'ils veulent, non ?

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 18-10-18 à 01:58

lafol @ 17-10-2018 à 21:12

comment une définition peut-elle être fausse ILs appellent bien n ce qu'ils veulent, non ?


Non en fait en travaillant sur un exemple leur raisonnement est cohérent.

Ok mais ma définition de n avec le Max est-elle cohérente et juste  ?

Posté par
lionel52re : Développement dyadique 18-10-18 à 10:55

Allez un peu d'autonomie... Tu n'es pas obligé de poser une question pour chaque mot de ta copie

Posté par Profil Ramanujanre : Développement dyadique 18-10-18 à 12:27

En fait j'ai compris en testant sur l'exemple de la question suivante le développement dyadique de \dfrac{35}{4}

Posté par Profil RamanujanChangement d'indice somme 18-10-18 à 20:19

Bonsoir,

Je fais un changement d'indice mais le résultat m'a l'air bizarre :

\sum_{k=N}^{+\infty} 2^{-k} = 2^N  \sum_{k=N}^{+\infty} 2^{N-k}

Si je pose k' = N-k

Je trouve : \sum_{k=N}^{+\infty} 2^{-k} = 2^N  \sum_{k'=0}^{-\infty} 2^{k'}

*** message déplacé ***

Posté par Profil RamanujanContraire proposition 18-10-18 à 20:37

Bonsoir,

Soit (a_k)_{k \in \N^*} une suite.

J'aimerais déterminer le contraire de la proposition suivante :

\exists m \in \N^* , \forall k \geq m : a_k = 1

Je sais pas s'il faut changer le k \geq m ...

*** message déplacé ***

Posté par
boninmire : Contraire proposition 18-10-18 à 20:46

Bonsoir,

Il y a une règle générale: changer en , en et prendre la négation de la proposition quantifiée. Ce qui est sous le quantificateur ne change pas. Donc k≥m ne change pas, mais la dernière égalité, si.

*** message déplacé ***

Posté par
boninmire : Changement d'indice somme 18-10-18 à 20:52

Bonsoir,

Ça ne serait pas plutôt 2-N (et non 2N) ?
Ecris chaque somme sans le symbole pour y voir plus clair. Ensuite, avec l'habitude, tu éviteras cette écriture intermédiaire.

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Changement d'indice somme 18-10-18 à 20:54

Ah oui j'ai compris, il fallait que j'écrive : N-k = - (k-N) pour que le 2 se retrouve au dénominateur ensuite c'est bon le changement d'indice j=k-N fonctionne

*** message déplacé ***

Posté par Profil Ramanujanre : Contraire proposition 18-10-18 à 20:58

Merci

Ça donne : \forall m \in N^* : \exists k \geq m : a_k \ne 1

On peut simplifier non ?

*** message déplacé ***

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