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Niveau Maths sup
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Développement limité

Posté par
Matlaz 30-10-11 à 17:23

Bonjour,

Je ne parviens pas à finir cet exercice, pouvez vous m'aider?

Citation :
Soit f la fonction définie par l'expression f(x)= arcsin x / x
1. Donner l'ensemble de définition Df et de dérivabilité de f et sa parité. Montrer que f se prolonge par continuité en 0. Calculer la dérivée de f.
2. Déterminer un DL à l'ordre 2 de arcsin' en 0, puis un DL à l'ordre 2 de f en 0.
3. Montrer que le prolongement de f est dérivable en 0 et que f' est continue en 0. pour ce dernier point, on pourra utiliser un DL pour déterminer la limite de f'(x) quand x tend vers 0.


1) Df = [1;0[U]0;1] Dérivable sur ]1;0[U]0;1[, f est paire.
f'(x) = (1/x²)*[(x/(1-x²)) - arcsin x ]

je n'ai par contre pas su comment démontrer que f se prolonge en 0

2) DL à l'ordre 2 de arcsin' en 0:
1+ 0.5 * x + (3/8) * x² + o(x²)

Ensuite j'ai trouvé, par primitive, le DL à l'ordre 2 en 0 de arcsin:
arcsin x = 1 + (1/3) x^3 + (3/40) x^5 + o(x^4)

Est-ce juste jusque là? Ensuite je n'ai pas su finir la question 2 ni même entamer la 3...

Merci d'avance pour votre aide,

Matlaz

Posté par
dhaltere : Développement limité 30-10-11 à 18:14

\lim_{x\rightarrow0}\frac{\arcsin(x)}x
peut s'interpréter comme la limite du taux de variation suivant
\frac{\arcsin(x)-\arcsin(0)}{x-0}
c'est donc le nombre dérivé de \arcsin(x) en 0, qui existe puisque \arcsin est une fonction dérivable en 0

et \arcsin'(0) = 1

donc \lim_{x\rightarrow0}\frac{\arcsin(x)}x=\arcsin'(0)=1

Posté par
Matlazre : Développement limité 30-10-11 à 22:50

Bonsoir dhalte,

En effet, je n'avais pas fait attention au taux d'accroissement, merci pour ton aide.
Peux tu également me filer un coup de pouce pour la suite?

Bonne soirée,

Matlaz.

Posté par
dhaltere : Développement limité 30-10-11 à 22:58

demain, ce soir je fais la fête.

Posté par
dhaltere : Développement limité 31-10-11 à 10:00

Quelques rappels qui peuvent être utiles

g(x)=\arcsin(x) est la fonction réciproque de la fonction \sin(x) restreinte à l'intervalle [-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2]

Développement limité

Soit h une fonction définie et continue sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J, bijective de I sur J

alors elle admet une fonction réciproque notée h^{-1}, définie et continue sur l'intervalle J, à valeurs dans I, et bijective de J sur I

h^{-1} est dérivable en tout point y_0 de J, d'antécédent x_0 tel que f soit dérivable en x_0 et tel que f'(x_0) n'est pas nul.

sa fonction dérivée quand elle est définie est (h^{-1})^{'}=\frac1{h^{-1}\circ h}

donc sur ]-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2[, la fonction sinus est dérivable non nulle, à valeurs dans ]-1;1[
arcsinus est donc dérivable sur ]-1;1[
et on a
\arcsin'(x)=\frac1{\cos(\arcsin(x))}

puisque \arcsin(x))\in]-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2[,\quad \cos(\arcsin(x))>0
et nous pouvons écrire
\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-\sin(\arcsin(x))^2}

et puisque sinus et arcsinus sont réciproques, \sin(\arcsin(x))=x

Donc sur l'intervalle ]-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2[,
\arcsin'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}

Passons aux DL (je vais aux DL d'ordre supérieur à celui de l'énoncé parce que je suis masochiste)

étape 1
pour x au voisinage de 0,
(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+o(x^2)

donc pour x au voisinage de 0, -x^2 est aussi un infiniment petit, et nous avons
\frac1{\sqrt{1-x^2}}=(1+(-x^2))^{-\frac12}=1+(-\frac12)(-x^2)+\frac{(-\frac12)(-\frac12-1)}{2!}(-x^2)^2+o((-x^2)^2)

Qu'on simplifie en
\frac1{\sqrt{1-x^2}}=1+\frac12x^2+\frac38x^4+o(x^4)

Voilà un DL d'ordre 4 au voisinage de 0 de la fonction dérivée de arcsinus

Etape 2
Pour trouver un DL d'ordre 5 au voisinage de 0 de la fonction arcsinus, nous intégrons ce DL, et la constante d'intégration vaut \arcsin(0)=0

\arcsin(x)=x+\frac16x^3+\frac3{40}x^5+o(x^5)

et donc la fonction
f(x)=\frac{\arcsin(x)}x
définie sur [-\frac{\pi}2;0[\;\cup\;]0;\frac{\pi}2]
continue sur chacun de ces intervalles, dérivable sur
]-\frac{\pi}2;0[\;\cup\;]0;\frac{\pi}2[
admet pour DL d'ordre 4
f(x)=1+\frac16x^2+\frac3{40}x^4+o(x^4)

On retrouve le résultat :
\lim_{x\rightarrow0}f(x)=1

Donc on prolonge f par continuité en 0, et on la définit par
\large \left\{\begin{array}{ccc}x\neq0&:&f(x)=\frac{\arcsin(x)}x\\&&f(0)=1\end{array}\right.

est-elle dérivable en 0 ?
si oui, sa dérivée en 0 est-elle continue ?

Etape 3
en 0, on va étudier la limite du taux de variation pour déterminer s'il en a une et donc si f y est dérivable;

\Large \Delta=\frac{\frac{\arcsin(x)}x-1}x=\frac{\arcsin(x)}{x^2}-\frac1x

et pour étudier la limite de cette expression, j'utilise le DL préalablement établi de \arcsin(x) en 0

\Delta=\frac1x+\frac16x+\frac3{40}x^3+o(x^3)-\frac1x

\Delta=\frac16x+\frac3{40}x^3+o(x^3)

\lim_{x\rightarrow0}\Delta=0

Donc f est dérivable en 0 et f'(0)=0

Etape 4
en dehors de 0, la fonction dérivée se calcule classiquement, comme tu l'as fait :
\Large f'(x)=\frac{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-\arcsin(x)}{x^2}

qu'on peut écire de différentes manières
\Large f'(x)=\frac1x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac1{x^2}\arcsin(x)}

ou encore
\Large f'(x)=\frac1x(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-f(x))

cette expression admet-elle une limite en 0, et cette limite est-elle égale à f'(0) ?

Là encore, j'utilise les DL en 0 établis précédemment pour \arcsin(x) et pour \frac1{\sqrt{1-x^2}} et j'obtiens :

\Large f'(x)=\frac1x(1+\frac12x^2+\frac38x^4+o(x^4))-\frac1{x^2}(x+\frac16x^3+\frac3{40}x^5+o(x^5))

ce qui se simplifie en
f'(x)=\frac13x+\frac3{10}x^3+o(x^3)

et nous avons
\lim_{x\rightarrow0}f'(x)=0

Conclusion : la dérivée de la fonction f es définie en 0, continue en 0
On vient de montrer que 0 = 0
je connais des mathématiciens qui se sont suicidés pour moins que ça

question subsidiaire :
on peut donc prolonger f' par continuité en 0 en la définissant par
\large \left\{\begin{array}{ccc}x\neq0&:&f'(x)=\frac1x\frac1{\sqrt{1-x^2}}-\frac1{x^2}\arcsin(x)\\&&f'(0)=0\end{array}\right.

cette nouvelle fonction g, continue en 0, est-elle dérivable en 0 ? si oui, cette dérivée est-elle continue en 0 ?

réponse succincte :
\Delta=\frac{g(x)}x=\frac13+\frac3{10}x^2+o(x^2)\rightarrow \frac13

g'(x)=(1-x^2)^{-\frac32}(3-\frac2{x^2})+\frac2{x^3}\arcsin(x)=\frac13+\frac9{10}x^2+o(x^2)\rightarrow \frac13

Posté par
Tetsukare : Développement limité 31-10-11 à 12:09

Bonjour,

Eh bien, ca fait beaucoup d'un coup! Je vais prendre le temps de potasser tout ça tranquillement, je te recontacte si j'ai un problème.

Merci pour ton aide!

Posté par
Tetsukare : Développement limité 31-10-11 à 14:10

Re-bonjour,

Je pense avoir compris toute ta démarche, ce n'est, en fait, pas si compliqué ^^.

J'ai néanmoins quelques questions, peut être bêtes:

Au départ, tu as trouvé des DL d'ordre 4 et d'ordre 5, comment puis-je faire pour me ramener à un DL d'ordre 2 ? Je garde les termes de degré inférieurs ou égaux à 2?

Ensuite, dans l'étape 4, tu utilises les différents DL à partir de la deuxième expression de la dérivée, mais comment arrive-tu à une telle simplification?

Matlaz

Posté par
Tetsukare : Développement limité 31-10-11 à 14:14

(Au passage, Matlaz = Tetsuka, je sais bien que les double comptes sont interdits mais je ne retrouvais plus mon mot de passe et j'avais un problème de boite mail, jusqu'à ce matin)

Posté par
dhaltere : Développement limité 31-10-11 à 14:23

ce n'est, en fait, pas si compliqué
tes deux questions suivantes prouvent que ce n'est pas encore aussi simple que tu le voudrais pour toi-même

Je garde les termes de degré inférieurs ou égaux à 2? pas tout à fait, il faut tenir compte des divisions qui font baisser la précision.

comment arrives-tu à une telle simplification? huile de coude, ou de méninge

Posté par
Tetsukare : Développement limité 31-10-11 à 14:31

-Ne jouons pas sur les mots, je me comprend .

-C'est à dire? Je ne suis pas sûr de bien avoir saisi ce point là...

-Certes, ne crois pas non plus que je t'ai posé la question sans même avoir essayé... Pour être plus précis je suis embêté avec les o(x^4) et o(x^5).

Posté par
dhaltere : Développement limité 31-10-11 à 15:15

\frac1{\sqrt{1-x^2}}=1+\frac12x^2+o(x^2)

\arcsin(x)=x+\frac16x^3+o(x^3)

f(x)=1+\frac16x^2+o(x^2)

f'(x)=\frac1x(1+\frac12x^2+o(x^2))-\frac1{x^2}(x+\frac16x^3+o(x^3))

f'(x)=\frac13x+o(x)

parfois o(x^2)  parfois o(x^3)  parfois o(x)

ce n'est pas si simple (sans même jouer avec les mots).


je rappelle quelques règles de calcul avec les résidus :
si on a x^m dans le polynôme et o(x^n) avec m>n, on peut effacer x^m
si on a o(x^m) et o(x^n) dans des sommes avec m>n, on peut effacer o(x^m)
o(x^m)o(x^n)=o(x^{m+n})

Posté par
Tetsukare : Développement limité 31-10-11 à 15:45

Ok ok, je devrais m'en sortir.

Merci pour ton aide, je vais essayer d'autres exos pour voir si tout va bien (ou mieux)

Posté par
dhaltere : Développement limité 31-10-11 à 15:50

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