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Développement limité au voisinage de 0
Bonjour,
Je viens d'aborder une nouvelle notion: celle de développement limité. Je rencontre quelques difficultés, surtout quand le fonction polynôme dépasse l'ordre donné. J'explique par un exemple:
Soit f(x) = x/(1-x²)=x*1/(1-x²)
Je pose X = x²
Si j'essaye de trouver le DL3(0) de f(x), j'obtiens:
x(1+X+X2+X3+X3
(x)
= x(1+x2+(x2)2+(x2)3+(x2)3(x)
=x(1+x2+x4+x6+x6(x)
Or l'ordre est de 3, donc on ne doit pas prendre en compte: x4+x6+x6(x) (1)
Ce qui nous fait x(1+x2+0x3+x31(x) (et là je n'ai pas du tout compris comment on est arrivé à ce résultat)
Pour comprendre j'ai essayé de factoriser par x3 l'expression (1): x3(x+x3+x3(x). Mais ensuite je suis bloquée...
Pouvez-vous m'aider?
Bonjour smogy,
Tu as l'expression correcte du DL pour f
Je ne vois pas trop où est le problème.
Si on reprend ton expression
Tu recherches un DL d'ordre 3, et donc tous les termes de puissance supérieure seront négligés, c'est-à-dire les termes en x^4 et x^6, ce qui donne l'expression plus haut.
Mais je ne suis pas sûre de répondre à ta question... 
Oui, mais dans ce cas (en enlevant x^4 et x^6), f(x) = x (1 + x^2 + Ox^6) et non pas f(x) = x (1 + x^2 + Ox^3)?
En fait c'est tout ce qu'il fallait faire?? Mais c'est hyper simple! (enfin pour l'instant)
Je n'ai jamais eu de cours la-dessus, et je suis tombée sur ça comme exercice à faire... du coup je m'aide seulement d'internet et j'ai un peu de mal à tout comprendre.
Merci!
Pour le fait que être un O(x^6) implique être un O(x^3), ça n'a rien à voir avec les limites, reprends ta définition de la domination (indice: x^6<x^3 localement).
si une fonction tend vers 0 plus vite que x6 elle tend vers 0 plus vite que x3 (la réciproque est fausse évidemment)
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