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Développement limité d'une fonction exp
Bonjour
Je cale sur un développement limité en 0 à l'ordre 3 de la fonction
x--> exp(sin(x))
Ci dessous la dérivée première
F'(x)=cos(x).e^{sin(x)}
Dérivé seconde :
F"(x)= e^{sin(x)}.(cos^{2}(x)-sin(x))
Dérivé troisième :
F^{3}(x)=???
J'imagine que nous devons utiliser u.v
Avec
U=e^{sin(x)}
U'=cos(x)e^{sin(x)}
V=cos^{2}(x)-sin(x)
V'= -2sin(x)cos(x)-cos(x)
On a donc
F^{3}(x)=(cos(x)e^{sin(x)}.cos^{2}(x))-(sin(x)+e^{sin(x)}. -2sin(x)cos(x)-cos(x))
Il me manque une formule....Trigo... Mais je ne sais pas laquelle..?
Pouvez vous m'aider svp?
C'est une mauvaise idée de calculer les dérivées successives ! C'est long, difficile et pénible... Tu connais les DL de l'exponentielle et du sinus ? Tu sais composer les DL ?
Oui je sais ce qu'est un DL mais justement je dois le calculer... Je ne le connais pas... Je dois calculer le développement limité en 0 à l'ordre 3.
F(x)=f(a)+(x-a).f'(a).....etc
Il me faut la dérivée première seconde et troisième...Non ?
Auriez vous une autre méthode ?
Déjà faut oublier "DL à l'ordre n = calculer les n première dérivées" !
Connaissant les DL de exp et sin, en composant tu obtiens le résultat.
Bonjour Fox43.
D'ordinaire, je suis assez pour la méthode que tu décris. Mais sur ce coup, je vais rejoindre l'ami SkyMtn à cause de la tête peu sympa de la fonction.
Donc tu vas devoir composer
avec
En ayant en tête que tu vas pouvoir "jeter" des termes en cours de route 
Tu es train de me dire qu'il faut splitté les 2...
C'est ça, comme le banana du même nom
Dans mon
Je crois avoir compris
e^{sin(x)}= 1+(((x-(x^{3}/6))^2)/2)+(((x-(x^{3}/6))^3)/6)+x^{3} =1+x+(x^{2}/2)+x^{3}
Fini 😁
Je crois que tu as oublié un terme dans l'exponentielle.
On va mettre des balises pour la lisibilité
Là, clairement, il faut jeter des termes :
Du coup, on peut en déduire, que
Attention à mon abus de langage :
jeter des termes = incorporer les puissances de x supérieures ou égales à 4 dans le fourre-tout noté
Bonjour
il y a une disposition pratique qui permet de ne calculer que ce qui est nécessaire et tout ce qui est nécessaire sans rien oublier, mais pas facile à taper en LaTeX
Pas le temps là, je reviens ce soir tâcher de l'exposer (ou fouiller pour trouver un post où je l'aurais déjà fait)
Bonjour lafol.
Ah oui ! que ne peut-on pas faire en LaTex ? 
Ça m'intéresse ... alors à tout-à-l'heure
Alors je savais que j'avais déjà fait un post pour montrer la disposition pratique
ce n'est pas pour la même substitution, mais ça montre le truc
c'est là : 
dl
on calcule les produits (u² etc) en calculant pour une puissance de x après l'autre : on part à gauche dans la ligne du haut, et le plus à droite possible dans celle du bas pour obtenir par produit la puissance souhaitée de x, puis on avance d'un cran dans la ligne du haut tout en reculant d'un cran dans celle du bas, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on bute sur le début de ligne dans la ligne du bas. Ainsi on a tous les produits qui donnent une puissance donnée de x, il suffit de les additionner . on calcule ainsi les x², puis les x cube (si on doit aller à l'ordre 3 ou plus) etc
ensuite on recommence la manip pour multiplier u par u², puis u par u cube si on doit dépasser l'ordre 3 etc
et tout ça en respectant la disposition en colonnes : une même puissance de x toujours dans la même colonne dans toutes les lignes, ça simplifie la tâche lorsqu'il faut faire les additions en tenant compte des coeffs portés en début de ligne
ainsi on calcule tous les termes nécessaires, sans en oublier, et seulement eux, pas de tentation de calculer des x^4 alors qu'on n'avait que les x^3 dans les dl de départ, par exemple
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