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Niveau Maths sup
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Développement limité dans x^n + x - 1

Posté par
Sidemony
27-02-19 à 20:33

Bonjour, je bloque à la question 3 de l'exercice, j'espère que quelqu'un pourra m'aider

1) Soit n ∈ ℕ*, montrer que l'équation xn + x - 1 = 0 d'inconnue x ∈ [0,1] admet une unique solution qu'on notera un.

Là j'ai juste utilisé le TVI et la croissance stricte de la fonction f avec f(x) = xn + x - 1, aucun soucis de ce côté.

2) Etudier la monotonie de u puis sa convergence.

J'ai raisonné par l'absurde : on suppose que pour tout entier naturel non nul n, on a xn > xn+1
donc (xn)n > (xn+1)n > (xn+1)n+1 (car xn ∈ [0,1])
d'où (xn)n + xn + 1 > (xn+1)n+1 + xn+1 + 1

Or (xn)n + xn + 1 = 0 = (xn+1)n+1 + xn+1 + 1

C'est absurde, donc pour tout entier naturel n, xn < xn+1
Donc la suite (xn) est croissante.

De plus elle est majorée par 1 donc elle converge vers un réel l tel que l ∈ ]0,1]

Je ne vais pas détailler parce que ça me semble assez trivial mais je démontre facilement par l'absurde que la limite de (xn) est 1.

3) Déterminer le développement asymptotique de (xn).

Alors c'est là que je commence à avoir du mal... Je suis passée par les équivalences.
J'ai posé une suite v telle que vn = 1 - xn

En remplaçant dans f on obtient (1 - vn)n - vn = 0
soit (1 - vn)n = vn
En passant au logarithme népérien on obtient n*ln(1 - vn) = ln(vn)
Donc ln(vn) ~ - n*vn
(vn → 0 car xn → 1 donc on peut utiliser l'équivalent usuel du ln)

Je sais ensuite d'après ce que m'a dit la prof qu'il faut que je démontre l'équivalent suivant : ln(vn) ~ - ln(n)
mais je ne sais pas comment m'y prendre.

Etapes suivantes :
- ainsi je montre que vn ~ ln(n)/n (ça j'ai compris comment faire)
- il faut que j'écrive ces résultats sous forme d'un développement asymptotique de un et là je ne vois pas non plus comment faire.


Merci d'avance pour l'aide que vous voudrez bien m'apporter ! ^^

Posté par
boninmi
re : Développement limité dans x^n + x - 1 27-02-19 à 21:14

Bonsoir,

Ça n'aide sans doute pas pour le point qui te bloque, mais pourquoi le un devient-il xn, pour redevenir un un à la fin ... ?

Posté par
Sidemony
re : Développement limité dans x^n + x - 1 27-02-19 à 21:46

Oups effectivement erreur de ma part, c'est bien xn tout le temps j'ai fais une confusion ^^

Posté par
boninmi
re : Développement limité dans x^n + x - 1 27-02-19 à 21:53

C'est ce que j'ai supposé. Désolé, je ne trouve pas pour le point qui te bloque.

Posté par
larrech
re : Développement limité dans x^n + x - 1 27-02-19 à 22:03

Bonsoir,

On a  ln(vn) =- n*vn(1+o(1))

En reprenant les log :

ln(-ln(vn) )= ln(n)+ln(vn)+o(1)

En divisant par ln(vn), et en faisant tendre n vers +, le membre de gauche tend vers 0, d'où l'équivalent cherché.

Sauf erreur

Posté par
Sidemony
re : Développement limité dans x^n + x - 1 27-02-19 à 22:23

larrech

larrech @ 27-02-2019 à 22:03

Bonsoir,

On a  ln(vn) =- n*vn(1+o(1))

En reprenant les log :

ln(-ln(vn) )= ln(n)+ln(vn)+o(1)

En divisant par ln(vn), et en faisant tendre n vers +, le membre de gauche tend vers 0, d'où l'équivalent cherché.

Sauf erreur


Merci beaucoup pour votre réponse, cependant je ne comprends pas très bien le passage où vous divisez par ln(vn), comment en concluez-vous que le membre de gauche tend vers 0 ? c'est une forme indéterminée non ?

Posté par
larrech
re : Développement limité dans x^n + x - 1 27-02-19 à 22:27

Comme vn tend vers 0, ln(vn) tend vers -.

On a donc une forme du type ln(u)/u quand u tend vers l'infini. Et ça, on sait que ça tend vers 0.

Posté par
Sidemony
re : Développement limité dans x^n + x - 1 27-02-19 à 22:38

Effectivement j'avais oublié !
Merci beaucoup pour votre aide j'ai passé plus d'une heure sur ce passage ^^

Posté par
Sidemony
re : Développement limité dans x^n + x - 1 27-02-19 à 22:41

Oh il me manquait juste une petite partie, lorsque on doit trouver le développement limité de xn à l'aide des formules que vous venez de démontrer, je ne sais pas trop comment me débrouiller, sachant que je me retrouve avec un ln(n) et je ne sais pas trop comment le simplifier

Posté par
larrech
re : Développement limité dans x^n + x - 1 27-02-19 à 23:10

Vous ne pouvez pas le "simplifier", il reste.

Vous aurez xn=1-(ln(n))/n +o((ln(n))/n ), c'est un éveloppement asymptotique.

On pourrait chercher les termes suivants , il y a fort à parier qu'on aurait des ln(ln n) qui apparaîtraient.

Posté par
Sidemony
re : Développement limité dans x^n + x - 1 27-02-19 à 23:38

D'accord j'ai confondu avec le développement limité en fait, en tout cas merci beaucoup d'avoir pris votre temps pour m'expliquer !

Posté par
larrech
re : Développement limité dans x^n + x - 1 27-02-19 à 23:41

Posté par
boninmi
re : Développement limité dans x^n + x - 1 28-02-19 à 09:43

Merci larrech

Posté par
Misterlolo
re : Développement limité dans x^n + x - 1 13-03-24 à 07:47

Bonjour, j'avais pas mal poussé le développement asymptotique de cette suite et m'étais demandé si je serais capable de prévoir les termes suivants au fur et à mesure. Voici (bien trop tard) le point auquel j'en étais arrivé. J'aurais voulu pouvoir donner une formule qui donne directement le développement après un nombre donné d'étapes, mais n'y étais pas arrivé.
Si jamais quelqu'un a une idée, je suis intéressé.
Le pdf qui résume ce que j'avais fait est joint à ce message.
Merci

pdf
PDF - 31 Ko

Posté par
carpediem
re : Développement limité dans x^n + x - 1 13-03-24 à 13:20

salut

2/ un raisonnement par l'absurde est inutile :

en posant f_n(x) = x^n + x - 1 alors :

f_n(u_n) = 0 \iff 0 = u_n^{n + 1} + u_n^2 - u_n = f_{n + 1} (u_n) + u_n^2 + 2u_n + 1 = f_{n + 1} (u_n) + (u_n + 1)^2

donc f_{n + 1}(u_n) \le 0 = f_{n + 1} (u_{n + 1})

et puisque la fonction f est (strictement) croissante on en déduit que u_n < u_{n + 1}



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