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Développement limité pour un équivalent

Posté par
Fractal 30-04-06 à 14:53

Bonjour, dans un exercice portant sur les développements limités, on me demande de trouver un équivalent simple en 0 de la fonction suivante : xx-(sin x)x

Le problème est que ni xx ni (sin x)x n'admettent de DL en un ordre supérieur à 0 et je ne connais aucune formule permettant de transformer xx-(sin x)x en une expression plus simple à étudier.
A priori cet exercice n'est pas censé être compliqué car il s'agit d'un des premiers exercices et que les deux autres questions de l'exercice se font sans problème.

Merci à ceux qui essayeront de m'aider.

Posté par
kaiser Moderateurre : Développement limité pour un équivalent 30-04-06 à 15:01

Bonjour Fractal

\Large{(sin(x))^{x}=e^{xln(sin(x))}}.

Ensuite, effectue un DL du sinus.

Kaiser

Posté par
Fractalre : Développement limité pour un équivalent 30-04-06 à 15:11

J'ai essayé comme ca mais ca me donne

(\sin(x))^x=e^{x\ln(\sin(x))}=e^{x\ln(x-\frac{x^3}{6}+o(x^5))}

Mais après qu'est ce que je peux faire? Il n'y a pas de formule pour le ln d'une somme, j'ai essayé de factoriser le DL de sin(x) par x mais sans résultat :

e^{x\ln(x-\frac{x^3}{6}+o(x^5))}=e^{x(\ln(x)+ln(1-\frac{x^2}{6}+o(x^4))}=x^x\times(1-\frac{x^2}{6}+o(x^4))^x

Je ne vois pas trop à quoi ca m'avance...

Posté par
Fractalre : Développement limité pour un équivalent 30-04-06 à 15:12

En plus on ne peut pas composer le DL du sinus avec le ln car ln(sin(x)) n'admet pas non plus de DL en 0.

Posté par
kaiser Moderateurre : Développement limité pour un équivalent 30-04-06 à 15:13

Peut-être mais tu connais le DL de ln(1+u), non ?

Posté par
Fractalre : Développement limité pour un équivalent 30-04-06 à 15:31

Je trouve finalement comme équivalent de xx-sin(x)x, \frac{x^{3+x}}{12}. Ca me semble bizarre comme résultat. C'est ce que je suis censé trouver?

Posté par
kaiser Moderateurre : Développement limité pour un équivalent 30-04-06 à 15:39

Déjà, en 0, on sait que l'on a \Large{x^{x}} qui est équivalent à 1.
Donc on a un aurait un équivalent qui serait de la forme \Large{\frac{x^{3}}{12}}.
Par contre, je trouve la même chose que toi à la différence près que j'ai un 6 à la place du 12.

Posté par
Fractalre : Développement limité pour un équivalent 30-04-06 à 15:53

D'accord, par contre je ne comprends pas pourquoi ce que j'ai fait est faux :
J'ai (\frac{\sin(x)}{x})^x \sim 1-\frac{x^3}{12} donc 1-(\frac{\sin(x)}{x})^x \sim \frac{x^3}{12}. Mais la bonne réponse semble effectivement être \frac{x^3}{6}. Pourquoi est-ce que ce que j'ai fait est faux?

Posté par
kaiser Moderateurre : Développement limité pour un équivalent 30-04-06 à 15:55

Apparemment, je ne vois d'où sort le 12. Je prépare un message où je détaille mon calcul.

Posté par
kaiser Moderateurre : Développement limité pour un équivalent 30-04-06 à 15:58

Fait attention tout de même : pas de somme d'équivalents !

Posté par
kaiser Moderateurre : Développement limité pour un équivalent 30-04-06 à 16:02

\Large{\frac{sin(x)}{x}=\frac{x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})}{x}=1-\frac{x^{2}}{6}+o(x^{2})}

On en déduit que \Large{\(\frac{sin(x)}{x}\)^{x}=e^{xln(1-\frac{x^{2}}{6}+o(x^{2}))}}

Or \Large{ln(1-\frac{x^{2}}{6}+o(x^{2}))=-\frac{x^{2}}{6}+o(x^{2})}

Ainsi, \Large{\(\frac{sin(x)}{x}\)^{x}=e^{-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})}=1-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})}

D'où \Large{1-\(\frac{sin(x)}{x}\)^{x}=\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})}

Posté par
Fractalre : Développement limité pour un équivalent 30-04-06 à 16:03

Ah oui c'est vrai, j'avais oublié, je ne suis pas encore très à l'aise avec les équivalents .

Posté par
Fractalre : Développement limité pour un équivalent 30-04-06 à 16:08

D'accord, d'accord, merci beaucoup, je m'étais trompé dans le DL de exp, j'avais divisé par 2 .
Juste une dernière chose, la réponse finale est-ce \frac{x^{3+x}}{6} ou simplement \frac{x^3}{6}?

Posté par
kaiser Moderateurre : Développement limité pour un équivalent 30-04-06 à 16:11

Etant donné que dans l'énoncé, il est demandé un équivalent simple, je pencherais plutôt pour la deuxième.

Posté par
Fractalre : Développement limité pour un équivalent 30-04-06 à 16:14

Ok, merci beaucoup pour toute votre aide et peut-être à bientôt .

Fractal

Posté par
kaiser Moderateurre : Développement limité pour un équivalent 30-04-06 à 16:15

Mais je t'en prie !


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