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développements de Taylor et applications conformes

Posté par
GWa 20-05-17 à 15:06

Bonjour,
Là je suis entrain de lire un cours qui utilise pas mal d'analyse complexe et j'ai un peu de peine.
A un moment l'auteur montre qu'une application conforme peut s'écrire comme
\Psi(z)=z+bz^2+cz^3+O(|z|^4),  quand z\to\infty avec b,c\in\R. Notez que l'application est définie sur un ``convex hull" de \mathbb{H} qui est le semi-plan complexe supérieur ouvert.
Ensuite il explique l'application g définie par
g(z)=\frac{-1}{\Psi(\frac{-1}{z})}-b, admet le développement limité suivant:
g(z)=z+\frac{r}{z}+O(|z|^{-2}), quand z\to\infty, avec r=b^2-c
en disant que c'est facile à voir.
Mais moi je vois pas trop comment on passe d'un développement limité à l'autre. Quelqu'un y voit-il plus clair que moi?

Posté par
carpediemre : développements de Taylor et applications conformes 20-05-17 à 19:20

salut

peut-être faire les choses proprement

f(z) = z + bz^2 + cz^3 + O(|z|^4) \\ \\ f(-\frac 1 z) = ... \\ \\ g(z) = ...

Posté par
GWare : développements de Taylor et applications conformes 20-05-17 à 21:20

Bonsoir Carpediem,
Merci pour ta réponse. Oui c'est ce que j'ai essayé de faire. Voici ce que j'obtiens:
\Psi(z)=z+bz^2+cz^3+O(|z|^4) lorsque z\to 0,
\Psi(-1/z)=-\frac{1}{z}+\frac{b}{z^2}-\frac{c}{z^3}+O(|z|^{-4}) lorsque z\to\infty,
mais ensuite que faire? Si j'avais un développement limité de 1/z autour de 0, je l'utiliserais, mais j'en connais pas. Après, il y a peut-être des ruses d'analyse complexe que j'ignore.

Posté par
etniopalre : développements de Taylor et applications conformes 20-05-17 à 22:01

1.
" quand z    "  n'a pas de sens   .
C'est  " quand |z|    en restant dans  le semi-plan complexe supérieur ouvert "  qui en a .


2.
Quand  z  ...... ,
1/z tend vers 0 donc  g(z) =  -b  + z/(1  - u(z))  où u(z) 0 .
Tu utilises  alors le DL de t 1/(1 - t) en 0 .

Posté par
GWare : développements de Taylor et applications conformes 21-05-17 à 10:47

Merci beaucoup etniopal. Ce que tu conseilles marche parfaitement. Une fois de plus votre aide m'est d'un grand secours!
Bon dimanche!

Posté par
carpediemre : développements de Taylor et applications conformes 21-05-17 à 11:33

Citation :
mais ensuite que faire?
ben peut-être calculer g(z) ... pour tomber sur ce qu'etniopal a dit ...

il faut peut-être aller au bout des choses !!!

Posté par
GWare : développements de Taylor et applications conformes 22-05-17 à 09:00

Merci pour ta réponse carpediem. Calculer g(z), je veux bien, mais je voyais pas comment faire. J'ai pas pensé à mettre 1/z en évidence, à poser u(z)=... et à développer 1/(1-t). Je sais qu'une fois qu'on l'a sous les yeux, ça paraît assez facile, mais je voyais pas. Je t'assures que j'ai pourtant essayé avant de poster ma question sur le forum. Mais la prochaine fois, je saurais qu'il faut essayer de découper sa série en termes plus faciles à traiter.
Merci encore à vous deux et bonne semaine!

Posté par
etniopalre : développements de Taylor et applications conformes 22-05-17 à 09:07

A retenir que dans la recherche  des développements asymptotiques    on " met en facteur la partie principale "
Ici  dans  (-1/z)  c'était  -1/z  à " mettre en facteur   "

Posté par
GWare : développements de Taylor et applications conformes 22-05-17 à 10:05

D'accord, merci pour le conseil! On ne me l'a hélas jamais appris, mais ça semble être un truc très utile. J'essayerai de m'en souvenir.

Bonne semaine.

Posté par
carpediemre : développements de Taylor et applications conformes 22-05-17 à 15:37

et pour compléter la réponse d'etniopal on met surtout en facteur ce qui permet de faire un dl connu ensuite dans l'autre facteur ...

et vu l'énoncé il semblait raisonnable  de penser à quelque chose du genre  : g(z) = h(z) \dfrac 1 {1 \pm k(z)} avec \lim_{z \to + \infty} k(z) = 0

Posté par
GWare : développements de Taylor et applications conformes 23-05-17 à 12:51

Merci pour ta réponse carpediem. J'en prends note pour le prochain développement limité que je croise!

Bonne journée

Posté par
carpediemre : développements de Taylor et applications conformes 24-05-17 à 12:12

de rien


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