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Niveau Licence Maths 1e ann
Développent de Laurent de exp(z + 1/z)
Posté par LeoZ
Bonjour,
On me demande de développer en série de Laurent la fonction .
La fonction est bien holomorphe autour de la singularité essentielle 0, donc le développement existe.
Mais en pratique, comment faire ?
Je peux l'écrire comme produit de deux séries, mais le produit est atroce à calculer. Je ne pense pas qu'on l'attend sous une forme non simplifiée avec plein de sigmas...
Je me demande si en général, il existe d'autres méthode que le développent en séries entières. On pourrait par exemple utiliser la formule de Cauchy, mais là ça n'a pas l'air beaucoup mieux.
Pouvez-vous m'indiquer les différentes méthodes pour développer une fonction en série de Laurent ?
Merci d'avance
Léo
salut
soit le cofficient de
pour tout
alors
avec
le cercle unité .en suite on utilise
et donc
; maintenant je te laisse continuer ;tu dois utiliser le theoreme des residus pour calculer l'integrale et conclure.
Sinon, un truc bête : Regarder le coefficient de dans
dans le triangle de Pascal. Sommer les séries que l'on trouve semblent faire appel à une fonction spéciale (fonction de Bessel).
D'accord merci, je vais regarder ça plus tard. Par contre je ne connais pas les fonctions de Bessel donc je vais plutôt essayer la méthode de milton. L'échange série-intégrale se justifie en disant que le cercle est compact et que les fonctions y sont holomorphes ? (ou continues suffit ?)
Je ne suis pas sûr que la méthode de milton te donne autre chose que les séries que tu peux lire directement dans le triangle de Pascal. Les fonctions de Bessel interviennent ensuite pour l'expression de la somme de ces séries. Enfin, à toi de voir...
Salut,
Ce n'est pas que je n'ai pas envie d'étudier les fonctions de Bessel, c'est juste que cette question était posée dans l'examen de licence de l'année dernière, et que ces fonctions ne sont pas dans le cours, donc il doit bien y avoir une autre méthode...
Je crois que tu n'as pas compris.
Que ce soit la méthode de milton ou celle que je suggère, tu obtiendras les coefficients de la série de Laurent sous forme de séries numériques (les mêmes quel que soit la méthode, d'ailleurs).
Les deux méthodes se valent.
Après, il n'y a pas moyen à ma connaissance d'exprimer simplement les sommes de ces séries, sauf à utiliser une fonction de Bessel. Et ceci, que tu aies employé le calcul de résidu de milton ou l'inspection du triangle de Pascal.
Oui oui, je me suis bien rendu compte que je retombais sur le premier produit de Cauchy de toutes les manières. Du coup je pense qu'il fallait laisser les coefficients sous forme de sommes de séries, je ne vois pas quoi faire de mieux. Je vais quand même jeter un oeil à ces fonctions de Bessel dont j'ai déjà entendu parler en optique
salut
LeoZ c'est vrai ce que te dit Gabou;et puis il ne s'agit pas ici d'etudier les fonctions de Bessel certe apres calcul tu aura un resulta sous forme de serrie ;mais il faut remarquer que ce n"est pas n'importe quelle serrie