Niveau Maths sup

devoir de vacances

Posté par
svezj 18-08-11 à 18:13

Bonjour à tous!
Je viens d'entrer en classe BCPST et mon professeur m'a donné des devoirs à faire pour les vacances mais je suis un peu bloqué... SI vous pouviez m'aider ce serait vraiment tres gentil! merci d'avance!

voici l'exercice:
Soit un réel.
1. Justifier que: eⁱ - e^-i / 2i = sin.
En déduire que: 1-eⁱ = -2i*e^i/2*sin /2.

2. Soit n un entier naturel non nul. on pose S_n = 1 + eⁱ + ... + eⁱⁿ.
  a. Calculer S_n dans le cas où = 2k, où k est un entier relatif.
  b. On suppose dans la suite que 2k (k )

    (i) Justifier que pour tout n ^*, S_n = 1-eⁱ⁽ⁿ⁺¹⁾ / 1-eⁱ .

    (ii) En déduire que pour tout n ^*, S_n = sin((n+1/2)) / sin ( x/2) * e^i*n/2.

alors j'ai réussi la premier question mais pour la deuxieme partie je ne parviens pas à trouver le sin/2, je comprends pas pk...
pour la deuxieme question j'ai appliqué la formule 1-qⁿ⁺¹ / 1-q d'une suite géométrique. est ce que je suis sur la bonne voie? Enfin pour les dernieres questions je suppose qu'il faut utiliser un raisonnement par récurrence, non?
je vous remercie encore de bien vouloir m'aider!

Posté par re : devoir de vacances 18-08-11 à 18:29

On a $\frac{e^{i \beta}-e^{-i \beta}}{2i}=sin \beta$
$-e^{-i \beta}\frac{1-e^{2i \beta}}{2i}=sin \beta$
On pose $2 \beta=\alpha$
On obtient $-e^{-i\frac{\alpha}{2}}\frac{1-e^{i\alpha}}{2i}=sin \frac{\alpha}{2}$
...